Section empirique

Plusieurs auteurs ont estimé des VAR paramétriques, en contexte inconditionnel et conditionnel de même qu’en contexte univarié et multivarié. Chrétien, Coggins et Gallant (2008) évaluent quatorze modèles de VAR mensuelles univariées pour les indices S&P500 et S&P/TSX composite. Parmi ces modèles, huit correspondent à des VAR par simulation historique (inconditionnels et conditionnels), et six correspondent à des VAR paramétriques, dont deux sont inconditionnelles et quatre sont conditionnelles. Pour les modèles de VAR paramétriques inconditionnels, les auteurs estiment la VAR avec la loi normale et avec la loi t de Student. Pour les modèles de VAR paramétriques conditionnels, les auteurs estiment trois modèles avec la loi normale, soit les modèles Riskmetrics, GARCH et GJRGARCH, ainsi qu’un modèle GJRGARCH avec la loi t de Student. Parmi les modèles paramétriques, les auteurs indiquent que la VAR Riskmetrics et les VAR utilisant la loi de Student sont les plus performantes selon les tests de dépassement de Christoffersen (une section portant sur ces tests sera présentée un peu plus loin).

Un peu plus tard, Chrétien et Coggins (2010) évaluent seize modèles de VAR mensuelles, dont sept sont des VAR par simulation historique (inconditionnels et conditionnels) et neuf sont des VAR paramétriques. Parmi les modèles de VAR paramétrique, quatre sont inconditionnels et cinq sont conditionnels. En plus d’utiliser la loi normale et la loi t de Student comme les auteurs l’avaient fait précédemment dans Chrétien, Coggins et Gallant (2008), les auteurs ajoutent une nouvelle distribution de probabilités dans le cadre de leur estimation de VAR paramétrique ; l’approximation de Cornish-Fisher. Cette approximation, introduite par Cornish et Fisher (1937), permet de transformer une réalisation d’une loi normale en une réalisation tenant compte d’un moment d’ordre 3 (Skewness) négatif et d’un moment d’ordre 4 (Kurtosis) supérieur à 3. Les quatre modèles de VAR paramétriques inconditionnelles sont estimés en utilisant la loi normale, la loi t de Student et l’approximation de Cornish-Fisher. Les cinq modèles de VAR paramétrique conditionnelles comptent trois modèles utilisant la loi normale, soit MA(1)-GARCH(1,1), MA(1)-GJRGARCH(1,1) et Riskmetrics. Les deux autres sont des modèles utilisant le filtre GJRGARCH(1,1), dont l’un utilise la loi t de Student et l’autre utilise l’approximation de Cornish-Fisher. Les auteurs mentionnent que les VAR paramétriques utilisant la loi normale performent moins bien que celles utilisant la t de Student et l’approximation de Cornish-Fisher, particulièrement au seuil de signification de 1%.

Engel et Gizycki (1999b) estiment trois familles de modèles de VAR paramétrique en contexte multivarié sur les devises et les taux d’intérêt de plusieurs marchés géographiques. Ces trois groupes comptent un modèle inconditionnel, deux modèles de lissage exponentiel EWMA et deux modèles GARCH multivariés. Les modèles GARCH multivariés sont : le CCC-GARCH et le BEKK-GARCH introduit par Engle et Kroner (1995). Étonnamment, les auteurs concluent que le modèle inconditionnel et le modèle EWMA sont aussi performants, sinon plus performants que les modèles GARCH.

Hendricks (1996) compare les modèles VAR par simulation historique inconditionnelle avec les modèles VAR paramétrique inconditionnel et VAR paramétrique conditionnel

utilisant le modèle EWMA. Les modèles inconditionnels sont effectués sur des échantillons de différentes tailles, alors que les modèles conditionnels, dont le coefficient λ est estimé avec les valeurs 0.94, 0.97 et 0.99, sont tous effectués avec le même échantillon. L’auteur constate que la VAR par simulation historique inconditionnelle estimée sur un échantillon de 1250 rendements journaliers est le seul modèle couvrant correctement la VAR aux niveaux de confiance de 95% et de 99%, alors que les autres modèles ne la couvrent pas correctement pour au moins un des niveaux de confiance.

En ce qui concerne la VAR par simulation historique conditionnelle, Hull et White (1998a) utilisent la VAR par simulation historique en utilisant deux filtres de prévision de la variance : le filtre EWMA et le filtre GARCH. Les auteurs examinent les VAR d’un jour sur les rendements de dix taux de change et de cinq indices avec 9 ans de données quotidiennes. Ils comparent la simulation historique filtrée avec la méthode BRW introduite par Boudoukh, Richardson et Whitelaw (1998), qui consiste à accorder un poids de moins en moins élevé aux rendements passés à mesure qu’ils s’éloignent dans le temps. Hull et White (1998a) constatent que la simulation historique filtrée performe beaucoup mieux que la méthode BRW. Chrétien, Coggins et Gallant (2008) comparent des modèles de VAR paramétrique et de VAR par simulation historique filtrée en utilisant les modèles EWMA et GARCH et concluent que les VAR par simulation historique filtrée performent mieux selon les tests de couverture et d’indépendance de Christoffersen (1998).

Chrétien, Coggins et Trudel (2010) estiment des VAR par simulation Monte-Carlo inconditionnelles et conditionnelles. La VAR Monte-Carlo inconditionnelle est estimée en assumant une distribution normale utilisant la moyenne historique des rendements et l’écart-type des rendements journaliers du portefeuille. Pour la VAR Monte-Carlo conditionnelle, tel que mentionné précédemment, les auteurs utilisent le modèle MA(1) pour spécifier le premier moment et les modèles Riskmetrics, GARCH et GJRGARCH pour spécifier les deuxièmes moments de leur distribution des rendements du portefeuille, qui suit théoriquement une loi normale. Dans leur estimation des VAR Monte-Carlo multivariés, Chrétien, Coggins et Trudel (2010) utilisent encore une fois le modèle MA(1) pour spécifier le premier moment, mais utilisent le modèle CCC-GARCH pour spécifier le deuxième moment de la distribution des rendements des différents titres du portefeuille, qui suit une loi normale multivariée. Les auteurs concluent que le modèle univarié MA(1)- GJRGARCH est le modèle le plus performant parmi les modèles Monte-Carlo. Santos, Nogales et Ruiz (2013) comparent des modèles univariés et multivariés en estimant des VAR par simulation Monte-Carlo. Tous les modèles sont conditionnels et sont estimés avec la loi normale et avec la loi t de Student. Parmi ces modèles, les auteurs ont estimé les variances prévisionnelles GARCH, DCC-GARCH, GJRGARCH, DCC-GJRGARCH, EGARCH et DCC-EGARCH. Les auteurs concluent qu’en général, les modèles multivariés sont préférables aux modèles univariés et que les modèles utilisant la t de Student comme distribution de probabilités sont préférables aux modèles utilisant la loi normale. Hull et White (1998b) présentent un modèle où l’hypothèse de normalité peut être remplacée par un modèle où l’on transforme les nombres aléatoires tirés d’une normale

multivariée en nombres aléatoires provenant d’une autre distribution de probabilités multivariée comme la t de Student, la Khi-deux ou encore une combinaison de lois normales. Ce modèle permet de mesurer la VAR en tenant compte des troisièmes et quatrièmes moments propres à la distribution des rendements financiers. Engel et Gizycki (1999a) estiment des modèles de VAR multivarié comprenant des VAR historiques, des VAR paramétriques, des VAR par simulation Monte-Carlo ainsi que des VAR par estimation de valeur extrême (extreme-value estimation models). Parmi les VAR Monte- Carlo, les auteurs estiment deux modèles, soit un modèle supposant la normalité des rendements des titres ainsi qu’un modèle utilisant une combinaison de lois normales, similaire au modèle proposé par Zangari (1996), qui permet de refléter le caractère leptokurtique (leptokurtosis) des rendements financiers. Les deux modèles sont estimés avec la méthode d’estimation de la matrice variance-covariance inconditionnelle EQWMA. Les auteurs constatent que la VAR Monte-Carlo utilisant une combinaison de lois normales permet une estimation plus conservatrice et plus précise du risque du portefeuille que la VAR Monte-Carlo utilisant la loi normale.

Chrétien, Coggins et Trudel (2010) comparent les modèles de VAR univariés par rapport aux modèles de VAR multivariés, et ce, pour les VAR par simulation historique filtrée et les VAR par simulation Monte-Carlo. Dans le cas du modèle de VAR par simulation historique filtrée multivarié, les auteurs ont utilisé les modèles de variance conditionnelle suivants : Riskmetrics multivarié, CCC-GARCH et CCC-GJRGARCH. Leurs résultats confirment que les modèles univariés par simulation historique avec filtre GJRGARCH et GARCH et le modèle univarié de simulation Monte-Carlo utilisant le modèle GJRGARCH sont parmi les modèles les plus performants. Quant aux modèles multivariés, tous les modèles de simulation historique filtrée sont rejetés avec le test de couverture conditionnelle de Christoffersen (1998) aux niveaux de confiance de 95% et 99%, alors qu’au niveau de confiance de 90%, les modèles avec filtre CCC-GJRGARCH et CCC- GARCH ne sont pas rejetés.

Xu et Chen (2012) explorent des modèles de VAR paramétrique, de VAR par simulation historique et de VAR par simulation Monte-Carlo en contexte multivarié. Les auteurs estiment différents modèles de VAR paramétrique dans le cadre de leur recherche, en utilisant les lois normales et t de Student multivariées. Ces modèles sont la VAR inconditionnelle, la VAR avec filtre DCC-GARCH et la VAR avec filtre EWMA. Les auteurs estiment également quatre modèles de VAR par simulation historique en contexte multivarié. Le premier modèle est le modèle inconditionnel, le deuxième modèle est la simulation historique BRW, et les troisièmes et quatrièmes modèles sont des simulations historiques avec filtre DCC-GARCH et EWMA, respectivement. Concernant les modèles de VAR paramétriques, les auteurs concluent que les modèles inconditionnels sont peu performants dans l’estimation des pertes futures et échouent les tests de Christoffersen alors que les modèles de Variance conditionnelle EWMA et DCC-GARCH estiment bien la volatilité multivariée et passent les tests de Christoffersen. En ce qui concerne les modèles de simulations historiques, les auteurs concluent que le modèle inconditionnel et le modèle

BRW sont peu performants, alors que les simulations historiques avec filtres DCC- GARCH et EWMA sont performants au sens de Christoffersen (1998).

Plusieurs auteurs de la littérature ont également estimé des Valeurs à risque sur les REITs. Une section portant sur cette branche de la littérature est présentée à l’annexe 2.