8.7 Calibration de la courbe des taux
8.7.4 Sensibilit´es aux param`etres de risque
On peut de mˆeme calculer la sensibilit´e de ce prix th´eorique par rapport `a chacun de ces param`etres.
La sensibilit´e du prix Pt par rapport au param`etrepest d´efinie par : St= 1
Pt
∂Pt
∂p
Les sensibilit´es par rapport aux diff´erents param`etres s’interpr`etent comme suit : – La sensibilit´e par rapport au taux long
La sensibilit´e par rapport au taux longSR∞= P1
t
∂Pt
∂R∞ repr´esente une sensibilit´e par rapport `a une translation de la courbe des taux. Cette sensibilit´e est donc de la mˆeme nature que la duration, qui est la sensibilit´e du prixPt de l’actif par rapport `a son taux actuarielT A, d´efinie par :
Dt=−1 Pt
(1 +T A)∂Pt
∂T A – La sensibilit´e par rapport au spread taux long-taux court
La sensibilit´e par rapport `a ce param`etre,SS = P1
t
∂Pt
∂S, est en fait une sensibilit´e par rapport au taux court, le taux long et le param`etre de courbure ´etant suppos´es constants. Cette sensibilit´e d´efinit une duration spread.
– La sensibilit´e par rapport au param`etre de courbure La sensibilit´e par rapport `a ce param`etre,Sγ = P1
t
∂Pt
∂γ, est une sensibilit´e par rapport `a un chan-gement de courbure, le niveau des taux long et des taux courts ´etant inchang´es.
∆ APPENDICE
∇
Etude du temps d’atteinte de 0 par le processus de CIR
L’´etude repose sur le r´esultat suivant, que nous appliquons `a l’´equation 8.7.3 `a laquelle on peut toujours ramener l’´equation 8.5.1 par le th´eor`eme de Girsanov.
dr(t) =ab dt−σp
r(t)dW(t) r(0) =r (8.7.3)
Lemme 8.7.1 Soientαet β deux nombres positifs (α < β)et Tβ= inf{t; rt< β }On pose Vα,β(r) = P(Tβ< Tα), o`ur0=r
V satisfait `a l’´equation aux d´eriv´ees partielles, Lv(r) = 0,v(α) = 1, v(β) = 0, o`u :
LVα,β(x) = 1
2σ2rdV2
dr2 +abdV
dr = 0 si 0< α < r < β dont la solution est
Vα,β(r) = r1−v−α1−v
β1−v−α1−v o`u v=2ab σ2
(8.7.4)
Si v >1,T0est infini p.s. ; siv <1,V(r) tend versV0(r) = r β
1−v
.
Preuve: On proc`ede par v´erification. Il est clair que la fonctionV(r) d´efinie en 8.7.4 est une fonction r´eguli`ere, qui v´erifie l’´equation 8.7.3.
Appliquons la formule d’Itˆo `a cette fonction et au processusrt arrˆet´e en Tα∧Tβ. Il vient : dV(r(t)) = V0(r(t))σp
r(t)dW(t) surt < Tα∧Tβ
Puisque V(β) = 1 etV(α) = 0 V(r) =E[V(r(Tα∧Tβ))] =P(Tβ< Tα)
PuisqueV(β) = 1 etV(α) = 0, nous obtenonsV(r) =E[V(r(Tα∧Tbβ))] =P(Tbβ < Tα). Lorsqueµ >1, les int´egrales du num´erateur et du d´enominateur divergent, mais sont ´equivalentes.
LES MOD` ELES de
DEFORMATION de la COURBE des TAUX
Comme nous l’avons vu, mod´eliser les d´eformations futures de la courbe des taux est un enjeu majeur pour les ´etablissements financiers. Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons vu quels liens peuvent exister entre les taux de diff´erentes maturit´es, si nous partons d’une mod`elisation a priori du taux court. Dans un mod`ele stationnaire, la courbe des taux aujourd’hui ainsi que les courbes futures ne d´ependent que de la valeur aujourd’hui du taux court et des param`etres du mod`ele. La cons`equence en est une recons-truction, coh´erente avec le mod`ele de d´eformation, mais ´eventuellement imparfaite, de la courbe des taux aujourd’hui.
Pour ´evaluer et couvrir les principaux produits d´eriv´es de taux d’in´erˆet, le march´e cherche `a ˆetre exact sur les valeurs de march´e des sous-jacents. En d’autres termes, la courbe des taux aujourd’hui, et non seulement la valeur du taux court devient une donn´ee initiale de la mod´elisation. Le probl`eme devient un probl`eme de mod´elisation de dimension infinie, repr´esenter la dynamique de la courbe des taux dans le futur, tout en respectant l’absence d’opportunit´e d’arbitrage. La cons´equence en est une complexit´e ac-crue, et une quasi-impossibilit´e de traiter des produits de type am´ericain. D’o`u une recherche de mod`eles mixtes, c’est `a dire `a facteurs, mais exacts sur la courbe des taux aujourd’hui comme nous l’avons ´evoqu´e dans le mod`ele de Vasicek g´en´eralis´e.
Les travaux dans cette direction ont ´et´e initialis´es par Ho & Lee (1985) dans les mod`eles d’arbre, puis par Heath, Jarrow & Morton (1987-1992) pour les mod`eles en temps continu.
Comme nous le montrons dans la premi`ere partie de ce chapitre, l’hypoth`ese fondamentale d’absence d’opportunit´e d’arbitrage dans le march´e permet de d´ecrire alg´ebriquement ces contraintes `a partir de la seule connaissance de la volatilit´e, fonction de la maturit´e, des z´ero-coupons.
Le plan de ce chapitre est le suivant : apr`es avoir pr´esent´e le cadre dans lequel nous travaillons, nous montrons en toute g´en´eralit´e la nature des contraintes qui lient les diff´erents taux et les cons´equences qui en r´esultent sur l’estimation des d´eformations futures de la gamme des taux d’int´erˆet dans le cas o`u les volatilit´es locales sont d´eterministes. La courbe des taux aujourd’hui, et la courbe des taux forwards que
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l’on d´eduit, apparaˆıssent des ´elements essentiels `a la pr´evision des taux dans le futur, mais non suffisants.
Une attention particuli`ere doit ˆetre port´ee `a la forme de la fonction de volatilit´e locale. La mod´elisation par arbitrage des taux futurs permet de disuter la th´eorie des anticipations rationnelles.
Une premi`ere application `a la gestion de portefeuilles de taux est propos´ee.
9.1 Le mod` ele en absence d’opportunit´ e d’arbitrage
Comme nous l’avons vu dans les chapitres pr´ec´edents, l’absence d’arbitrage introduit des contraintes sur les rendements des titres financiers, qu’ils soient de base, ou valeur de march´e de produits d´eriv´es.
Lorsqu’on s’int´eresse aux probl`emes li´es aux taux d’int´erˆet, ce ne sont pas les taux eux-mˆemes sur lesquels on va a priori ´ecrire les contraintes, mais sur les prix des op´erations financi`eres auxquels ils ont associ´es.
La r´ef´erence de base sera donc les prix des z´ero-coupon , mˆeme si pour des maturit´es sup´erieures `a un an, il n’y a pas de march´e vraiment liquide, le march´e traitant plutˆot de titres avec coupons dont la valeur de march´e sera r´eli´ee `a celle des z´ero-coupon par la r`egle de non arbitrage :
le prix d’un titre qui verse des flux fixes dans le futur est donn´e par la somme de ses flux pond´er´es par les prix des z´ero-coupon des dates de paiement