Num´eraire

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Preuve: Nous commen¸cons par montrer la premi`ere propri´et´e.

⇒ Soitδune strat´egie admissible et sans risque, de valeur initialeV0. La strat´egieVt−V0St0=Vt(˜δ) est autofinan¸cante, admissible, de valeur initiale nulle, et sans risque, c’est `a dire `a variation finie.

La strat´egiebδd´efinie parδbt =1{Vt(tildeδ)>0}˜δt est autofinan¸cante et financeVT(˜δ)+ puisque, d’apr`es la formule de diff´erentiation compos´ee pour les fonctions `a variation finie

dVt(˜δ)+=1{Vtδ)>0}dVt(˜δ) =1{Vtδ)>0} <δ˜t, dSt>=<δbt, dSt>

D’autre partVt(˜δ)+ =1{Vtδ)>0}<δ˜t, St>=<δbt, St>

C’est donc une opportunit´e d’arbitrage siP(VT(δ)+6= 0)>0.

Le cas n´egatif est trait´e de la mˆeme fa¸con.

Ainsi, p.s.VT(δ) = 0 et cette propri´et´e est valable pour toutT.

⇒ Montrons la propri´et´e des rendements. Siσt est inversible, le r´esultat est ´evident puisqu’alors il existe un seul vecteurλt tel que :bt =rttλt.

Sinon, construisons `a partir d’une richesses initiale nulle, une strat´egieδ, adapt´ee et born´ee, telle que pour tout t, (δS)t soit dans le noyau deσt dP×dt p.s. La valeur du portefeuilleVt(δ) autofinan¸cant, associ´e `a cette strat´egie satisfait

dVt(δ) =rtVt(δ)dt+<(δS)t, bt−rt1> dt

Il s’agit d’un portefeuille admissible3, p.s. sans risque, donc de rendementrt, par absence d’opportunit´e d’arbitrage. Mais ceci entraˆıne que :

<(δS)t, bt−rt1>≡0 dP×dt p.s

Comme cette propri´et´e est vraie pour tous les (δ S)t, (δ(t) born´e) dans le noyau de σt, bt −rt1 appartient n´ecessairement `a l’image deσt dP×dt p.s. L’existence d’un vecteurλt v´erifiant de bonnes propri´et´es de mesurabilit´e est la cons´equence d’un th´eor`eme ”dit” de s´election (assez complexe `a

´etablir en toute g´en´eralit´e). Il existe donc un vecteurλt adapt´e tel que bt =rt1+σtλt dP×dt p.s.

⇒ Revenons `a l’´etude d’un portefeuille autofinan¸cant et admissible. Sa valeur financi`ere est compl´etement caract´eris´ee par l’´equation (5.2.10). Il suffit de remplacer le vecteurbt par son expression en fontion dert et de la prime de risque pour avoir la formulation ´equivalente de la proposition.

Les conditions d’int´egrabilit´e expriment que la strat´egieδest admissible.

D´efinition 5.4.1 Un num´eraire est une r´ef´erence mon´etaire dont la valeur en Euros est une fonction al´eatoire d’Itˆo, adapt´ee, strictement positive, continue.

Proposition 5.4.1 (i) La notion de strat´egie simple autofinan¸cante est invariante par changement de num´eraire.

(ii) une strat´egie de portefeuille qui est un arbitrage dans un num´eraire donn´e est un arbitrage dans tout num´eraire.

(iii) Si un des actifs de r´ef´erenceS0est choisi comme num´eraire, toute int´egrale stochastique Sx0 0+Rt

0 <

δ(u), d(Su

Su0)>de processus simple δ est la valeur financi`ere d’un portefeuille autofinan¸cant.

Cette propri´et´e s’´etend aux strat´egies g´en´erales dans le cas des processus d’Itˆo.

Preuve: SoitXt la valeur en Euros d’un num´eraire. Le prix `a la datet de l’actifiexprim´e dans ce num´eraire est de XSti

t et la valeur financi`ere d’une strat´egie de portefeuille VtX(δ)

t .

⇒ Si δ est une strat´egie simple, qui satisfait l’´equation d’autofinancement, < nk, Stk+1 >=<

nk+1, Stk+1 >dans le num´eraire initial,δ satisfait `a la mˆeme ´equation dans le nouveau num´eraire :

< nk, Stk+1

Xtk+1

>=< nk+1, Stk+1

Xtk+1

>

⇒ Pour des strat´egies ren´egoci´ees en temps continu, il est n´ecessaire de d´evelopper un calcul un peu plus complexe, que nous traiterons ci-dessous.

⇒ La propri´et´e sur l’arbitrage d´ecoule simplement de cette extension.

⇒ Pour montrer le dernier point de la proposition, supposons par exemple que S0 soit choisi comme num´eraire de r´ef´erence. Dans ce nouveau syst`eme mon´etaire, le prix du titre 0 est constant et donc de variation nulle. L’int´egrale stochastiqueIt0(δ) d´efinie par :

It0(δ) = Z t

0

< δ(u), d(Su

Su0)>=

Z t 0

Xd i=0

δi(u)d(Sui Su0)

ne met pas en jeu cet actif. Il est possible de construire un portefeuille autofinan¸cant de valeur

x

S00 +It0(δ), en investissant `a l’instantt dans l’actif 0 la quantit´eδ0(t) donn´ee par : δ0(t) = x

S00 +It0(δ)− Xd i=1

δi(t)(Sti St0) Lemme 5.4.2 SoitX une f.a. d’Itˆo strictement positive.

dXt1

Xt1 =−dXt

Xt

+covt(dXt

Xt

,dXt

Xt

) (5.4.1)

Pour toute f.a. d’ItˆoS, SX =XS est une f.a. d’Itˆo telle que dStX

StX = dSt

St −dXt

Xt −covt(dSt

St −dXt

Xt

,dXt

Xt

) (5.4.2)

Dans le cas d’un portefeuille autofinan¸cant,Vt(δ) =< δt, St>, dVt(δ) =< δt, dSt >, nous avons que Vt(δ)

Xt =< δt, St

Xt >, dVt(δ)

Xt =< δt, dSt

Xt > (5.4.3)

Preuve: C’est une simple cons´equence de la formule d’Itˆo, appliqu´ee aux rendements.

⇒ D’apr`es la formule d’Itˆo, nous avons en utilisant les covariances instantan’´ees des rendements, dXt1

Xt1 =−dXt

Xt

+covt(dXt

Xt

,dXt

Xt

) et que

dStX

StX = dSt

St

+dXt1

Xt1 +covt(dSt

St

,dXt1 Xt1 )

= dSt

St −dXt

Xt

+covt(dXt

Xt

,dXt

Xt

)−covt(dSt

St

,dXt

Xt

) Ce n’est autre que la formule de l’´enonc´e.

⇒ Cette derni`ere formule s’´ecrit sous une forme moins conviviale, mais mieux adapt´ee `a l’´etude de l’autofinancement

dSXt = 1 Xt

(dSt−covt(dSt,dXt

Xt

)− St

Xt2(dXt−covt(dXt,dXt

Xt

) Dans le cas d’un portefeuille autofinan¸cant, o`uVt(δ) =< δt, St>, dVt(δ) =< δt, dSt >,

dVt(δ) Xt

= 1 Xt

[< δt, dSt>−< δt, covt(dSt,dXt

Xt

)]−Vt(δ)

Xt2 [(dXt−covt(dXt,dXt

Xt

)] =< δt, dStX >

5.4.2 Primes de risque et changement de num´ eraire

Soit (Xt) un num´eraire de dynamique dXt

Xt

= rt dt−rXt dt+< γtX,(dcWttdt)> (5.4.4) Nous supposons que le X-vecteur de volatilit´eγtX appartient `a l’image de (σt), c’est `a dire qu’il existe un vecteur πtX tel que γtX = (σt)πXt Nous faisons r´ef´erence au march´e o`u les prix sont donn´es dans le num´eraireX, comme au X-march´e financier et d´esignons par SXt = XStt le nouveau processus de prix.

Nous caract´erisons les param`etres (taux court, primes de risque) du X-march´e.

Th´eor`eme 5.4.1 Supposons le march´e initial viable.

a) Les param`etres du X-march´e sont :

λXtt−γtX , rXtXt (5.4.5)

b) Soit(Zt)un processus de prix admissible, avec vecteur de volatilit´eσtZ dZt

Zt

= rtdt+< σtZ, dcWttdt > (5.4.6) Le vecteur de volatilit´e de ZX est donn´e par σZXZt −γtX. et

dZtX

ZtX =rtXdt+< σtZ−γXt , dcWt+ (λt−γXt )dt > (5.4.7)

Preuve: Par le lemme pr´ec´edent, (ZtX) est une semimartingale d’Itˆo de d´ecomposition dZtX

ZtX =dZt

Zt −dXt

Xt −covt(dZt

Zt −dXt

Xt ,dXt

Xt ).

Substituant les param`etres de la d´ecomposition d’Itˆo de (Zt) et (Xt), nous obtenons la d´ecomposition explicite

dZtX

ZtX =rXt dt+< σZt −γtX, dcWt+ (λt−γtX)dt >

La th´eorie de l’arbitrage conduit `a interpr´eter le vecteur (λt−γtX) comme le vecteur des primes de risque dans le nouveau march´e, o`u le taux sans risque estrX.

Remarque 5.4.1 L’invariance par num´eraire peut ne pas ˆetre compl`ete, car les strat´egies admissibles dans les deux march´es ne sont pas les mˆemes. Duffie ([?, Duff]992) appelle r´egulier, les num´eraires pour lesquels ces deux ensembles sont les mˆemes. Dybvig et Huang en 1986 ([?, Dy.Hu], ou Karatzas et Shreve en 1987 ([?, Ka.Sh1], Delbaen, Schachermayer en 1995 ([?, DeSc] remplacent la condition de carr´e int´egrable par une condition de minoration sur la valeur du portefeuille et retrouvent les mˆemes cons´equences de l’arbitrage. Toutefois, la condition de minoration n’´etant pas sym´etrique, vendre un portefeuille admissible n’est pas n´ecessairement admissible.

Quand la borne inf´erieure est 0, l’invariance par num´eraire est valable sans restriction et le point de vue est vraiment efficace pour tout ce qui concerne l’´evaluation.

5.4.3 Le num´ eraire de march´ e

Parmi tous les num´eraires possibles, l’un m´erite une attention sp´eciale : le num´eraire M, appell´e num´eraire de march´e, en r´ef´erence au portefeuille de march´e de Markowitz.

Les prix exprim´es dans ce num´eraire n’ont aucune r´enum´eration sp´ecifique au cours du temps. Ce sont des bruits purs, sous la probabilit´e historique. Dans le M-march´e, taux d’int´erˆet et primes de risque sont nuls. Le nouveau march´e est ditrisque-neutre pour la probabilit´e historique et les nouveaux prix des processus de base sont donc des martingales locales. Le th´eor`eme suivant rassemble les principales propri´et´es du M-march´e. 4.

Th´eor`eme 5.4.2 Soit M le num´eraire de march´e, c’est `a dire le processus de valeur initiale ´egale `a1 et de volatilit´e(λt), le vecteur des primes de risque. 5

dMt

Mt = rtdt+ (λt)(dcWttdt) =rtdt+|λt|2dt+λtdcWt (5.4.8) Dans le M-march´e, les investisseurs sont risque-neutres.

4Le num´eraire de march´e a ´et´e introduit pour la premi`ere fois par Long 1990 ([?, Long], Conze-Viswananthan en 1991 ([?, CoVi], Bajeux and Portait en 1993 ([?, BaPo]. Voir aussi El Karoui, Geman, Rochet 1992 ([?, GeEKRo]

5Ce num´eraire de march´e correspond `a un portefeuille construit de la mani`ere suivante : nous supposons que λt est dans l’image de (σt), c’est-`a-dire qu’il existe un vecteurαt tel que λttαt Cette condition n’est pas restrictive : en effet, on peut toujours d´ecomposerλt en (λ1t, λ2t) o`uλ1t appartient au noyau deσt etλ2t `a l’espace orthogonal de Ker(σt)=Image(σt). La prime de risque (λt) and (λ2t) ont le mˆeme impact sur la dynamique des prix car elles sont toujours reli´ees `a la volatilit´e parσtλttλ2t.

Consid´erons la strat´egie autofinan¸cante dont les poids dans les actifs risqu´es sont donn´es par φMt = (αSiti

t

)di=1 , correspondant `a un investissement initial de 1 F et supposons cette strat´egie admissible. La valeur actuelle de cette strat´egie admissible est not´ee Mt et appel´eenum´eraire de march´e.

Le M-prixZtM =MZt

t d’un titre de base ou la M-valeur pr´esente d’un portefeuille est une martingale locale.

SiM est un num´eraire r´egulier, ce sont des vraies martingales ii) ”Arbitrage Pricing Theory”

Dans le march´e initial, le rendement esp´er´e d’un titre Z est donn´e par le taux sans risque, plus la covariance infinit´esimale entre le rendement risqu´e du titre et celui du num´eraire de march´e.

µZt =rtZ,M(t) o`u σZ,M(t)dt=covt(dMt

Mt

,dZt

Zt

) (5.4.9)

Dans une formulation plus proche de l’APT, l’exc`es de rendement par rapport au cash est m´esur´e par le

“beta” du rendement du portefeuille par rapport au num´eraire de march´e.

µZt −rt= σZ,M(t)

σM,M(t)(µMt −rt)

Preuve: La premi`ere partie du th´eor`eme n’est que le th´eor`eme pr´ec´edent explicit´e dans le cas o`u la volatilit´e du num´eraire est ´egale au vecteur des primes de risque.

⇒ Montrons la deuxi`eme partie, qui fait le lien entre la th´eorie classique de la gestion de portefeuille et l’arbitrage en temps continu.

Par des arguments d’arbitrage, nous avons prouv´e queµZt −rt=< σtZ, λt> p.s.o`uσZt est la volatilit´e deZ etλt le vecteur des primes de risque.

⇒ De plus,λt est aussi la volatilit´e du num´eraire de march´e. Ainsi, covt(dMt

Mt

,dZt

Zt

) =< σZt , λt > dt

covt(dMt

Mt

,dMt

Mt

) =|λt|2dt= (µMt −rt)dt

Constantinid`es (??Cons]) interpr`ete ce r´esultat en notant qu’il suffit de se donner le num´eraire de march´e pour caract´eriser compl´etement le march´e financier dans lequel les prix sont cˆot´es.

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