Sous la probabilit´e QTC, le contrat forward Bt(TC, T) = B(t, T)
B(TC, T) est une martingale de vecteur de volatilit´e Γ(t, T)−Γ(t, TC). Dans le cas o`u ces volatilit´es sont d´eterministes, on peut appliquer la formule de Black, qui donne le prix sous la forme
Ct(TC, K, T) = B(t, T)N(d1)−KB(t, TC)N(d0) (10.4.23)
d1 = 1
Σt,TC
√TC−tLog B(t, T) KB(t, TC)
+1 2Σt,TC
pTC−t
d0 = d1−Σt,TC
pTC−t
|Σt,TC|2 = Z TC
t |Γ(s, T)−Γ(s, TC)|2ds (10.4.24)
La couverture se fait `a partir deN(d1) z´ero-coupon de maturit´eT etN(d0) z´ero-coupon de maturit´eTC.
Caplet
Un caplet de strike et de maturit´eT est un produit d´eriv´e qui garantit la possibilit´e d’emprunter en TC au taux Euribor de maturit´eδ au niveau maximum deK. Le flux garanti est δ(L(TC, δ)−K)+ en TC+δ. Mais l’op´eration est ´equivalente `a acheter enTCune option de vente sur z´ero-coupon de maturit´e T de strike 1+δK1 , en nombre 1 +δK.
C’est donc un Put sur un z´ero-coupon , que nous pouvons ´evaluer de mani`ere tr`es similaire.
Le march´e, comme nous le verrons dans le chapitre suivant travaille plutˆot avec une mod´elisation log-normale du taux Euribor, ce qui l’am`ene `a appliquer la formule de Black et Scholes au taux forward directement.
de telle sorte qu’en posant Kj =B(TC, Tj, rK), le prix de l’option devient Call(t, TC, K, TC+δ) = X
i=1d
B(0, Ti)CiN(dj)−KB(t, TC)N(dj)
dj = 1
Σt,TC
√TC−tLog B(t, Tj) KjB(t, TC)
+1 2Σt,TC
pTC−t
d0 = d1−Σt,TC
pTC−t
(10.5.4) Cel`a permet d’obtenir une g´en´eralisation de la formule de Black, o`u il n’est pas difficile de montrer que le prix de l’obligation est une fonction monotone deZt (Hypoth`ese 7). Le prix de l’option prend alors la forme d’une formule de Black g´en´eralis´ee.
LE MODELE LOG-NORMAL sur TAUX PIBOR
Introduction
Dans les travaux r´ecents sur les taux d’int´erˆet, le mod`ele log-normal de Brace-Gatarek-Musiela a re¸cu un echo important dans de nombreux ´etablissements financiers, parce qu’il semble utiliser au mieux les donn´ees du march´e sur les caps et floors, garantit que les taux forwards restent positifs et donc aussi les taux de swaps. Il est `a mettre en regard avec les mod`eles `a volatilit´e d´eterministe sur les prix z´ero-coupon , calibr´es`a partir de la courbe des taux aujourd’hui du type Heath, Jarrow, Morton, ou encore Hull et White.
Des r´ef´erences importantes sur le sujet sont aussi les travaux de Miltersen-Sandmann-Sondermann.
Plus difficile `a mettre en oeuvre que les mod`eles log-normaux sur les prix, car il n’existe pas de formules exactes pour le pricing des swaptions, ce mod`ele est malgr´e tout calibrable, car au prix de petites approximations, il est possible de donner des m´ethodes de calcul num´erique rapides des prix de swaptions.
Ceci est indispensable pour faire tourner rapidement les proc´edures de minimisation quadratique pour l’identification des param`etres, qui incluent en g´en´eral une vingtaine d’options.
Nous nous proposons de montrer rapidement les fondements de ces deux mod`eles, et d’en discuter l’efficacit´e en termes de mod´elisation et de calibration.
Pour amorcer la discussion, commen¸cons par quelques remarques sur le pricing des caplets.
11.1 Pricing des caplets
Nous abordons sur l’exemple des caplets l’incidence d’une mod´elisation log-normale en prix et une mod`elisation en log-normale en taux. Or la discussion sur l’existence d’un lien structurel entre les options sur taux et celles sur prix, ne se rev`ele pertinente que si on prend en compte les dates de paiement des flux optionnels. L’analogie est avec la sym´etrie Call domestique-Put foreign entre deux march´es m´erite d’ˆetre soulign´ee.
Ceci nous am`ene `a introduire les deux march´es `a terme qui sont naturellement associ´es au probl`eme.
1. Le march´e `a terme d’´ech´eanceT +δ o`u T +δ est l’´ech´eance du caplet, dans lequel est pay´e le diff´erentiel de taux, lorsque l’option est exerc´ee.
2. Le march´e `a terme d’´ech´eanceT correspond `a l’´ech´eance des options sur prix z´ero-coupon .
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Ces march´es sont r´ef´erenc´es sur des num´eraires diff´erents. Le ”taux de change” “franc de terme (T+δ )-franc de terme T” est ´egal au z´ero-coupon forward, not´eBt(T, T+δ) et inversement le taux<<franc `a terme T -franc de terme T+δ >>est ´egal au facteur de capitalisation forward
Bt(T, T+δ)−1= 1 +δLt(T, δ) =Lbt(T, δ) (11.1.1) La question pos´ee en terme de pricing sur taux ou pricing sur prix est alors une question de choix du march´e d’´evaluation.
Sym´ etrie Call sur taux- Put sur prix
L’absence d’arbitrage entre ces deux march´es `a terme implique qu’une option d’achat sur les taux d’int´erˆet pay´es `a ´ech´eanceT+δ, transform´ee par le taux de change est ´equivalente `a une option de vente d’´ech´eanceT, sur un z´ero- coupon forward.Bt(T, T+δ). En effet
date flux flux
T+δ 1 +δL(T, δ) 1 +δK=Kb
T 1 (1 +δK)B(T, T+δ)
En r´esum´e, on a la sym´etrie suivante :
Callforwardt(bL, T+δ,K) = Callforwardb t(L, T+δ, K) (11.1.2)
=Lbt(T, δ)KPutforwardb t(B, T,Kb−1) (11.1.3) Cette formule conduit naturellement `a son analogue en prix d’aujourd’hui, qui, bien que plus simple, est en fait moins utilisable, car les prix forwards n’ont pas de propri´et´es simples dans le march´e d’aujourd’hui.
Callt(L, T+δ, K) = (1 +δK)Putt(B, T,(K)b −1) (11.1.4)
11.1.1 Dynamique des taux-dynamique des prix
Si nous souhaitons poursuivre l’analogie avec les taux de change, notons que puisque les deux march´es de r´ef´erence n’ont pas de taux d’int´erˆet, dans le T-march´e le ”taux de change” Bt(T, T +δ) est de rendement nul, et qu’il en est de mˆeme dans le (T+δ)-march´e pour 1 +δLt(T, δ) et ces deux processus ont la mˆeme volatilit´e, al´eatoire ´eventuellement.
Plus pr´ecis´ement, la dynamique du z´ero-coupon est donn´ee par sa volatilit´e{σs(T, δ);s≤T}, dBt(T, δ)
Bt(T, δ) =−Γt(T, δ)dWtT (11.1.5)
A priori WT est un mouvement brownien pour le T-march´e, multidimensionnel, et la fonction σ est al´eatoire et vectorielle. De mˆeme
dbLt(T, δ)
Lbt(T, δ) = Γt(T, δ)dWtT+δ (11.1.6) o`uWT+δ est un brownien multidimensionnel dans le (T +δ)-march´e.
Il est utile de noter pour la suite que les liens entre ces deux processus sont simples
dWtT+δ =dWtT+δ+ Γt(T, δ)dt (11.1.7)
Lt(T, δ) est aussi de rendement nul, et sa volatilit´e {σs(T, δ);s≤T}est reli´ee `a celle des prix forwards par,
Γs(T, δ) = δLs(T, δ)
1 +δLs(T, δ)σs(T, δ) (11.1.8)
En particulier, siBt(T, T+δ) est log-normaldans le T-march´e, Lbt(T, δ) est log-normalavec la mˆeme volatilit´e dans le (T+δ)-march´e et la distribution deL(T, δ) est la loi log-normale d´ecal´ee.
11.1.2 Pricing en taux et pricing en prix
Cette remarque permet de simplifier consid´erablement la discussion sur le mod`ele en taux ou en prix.
1. La pr´esence d’un march´e de futures de taux d’int´erˆet conduit naturellement le march´e `a pr´ef´erer une mod´elisation en terme de taux, sur le march´e `a terme d’´ech´eanceT+δ.
2. La formule du march´e suppose que dans le (T +δ)-march´e, le taux forward Lt(T, δ) diffuse de mani`ere lognormale `a partir du taux forward.
3. Consid´erons maintenant une mod´elisation log-normale sur les prix des z´ero-coupon , dans le T -march´e. Le facteur de capitalisation Lbt(T, δ) est d’apr`es la remarque pr´ec´edente log-normal dans le (T +δ)-march´e, et la discussion sur le pricing se ram`ene simplement `a savoir si on applique la formule de Black au taux ou au facteur de capitalisation.
Le r´esultat est sensiblement diff´erent puisque dans le premier cas, nous aurons Caplettxt = B(t, T+δ)δ[Lt(T, δ)N(dtx1 )−KN(dtx0 )]
dtx0 = 1 Σt,T√
T−tLn[Lt(T, δ) K ]−1
2Σt,T√
T−t (11.1.9)
dtx1 = dtx0 + Σt,T√ T−t o`u Σ2t,T(T−t) =RT
t |σs(T, δ)|2dsd´esigne le carr´e de la volatilit´e moyenne du taux Pibor.
Dans le deuxi`eme cas,
Capletpxt = B(t, T+δ)[(1 +δLt(T, δ))N(dpx1 )−(1 +Kδ)N(dpx0 )]
dpx0 = 1 Γt,T√
T −tLn[1 +δLt(T, δ) (1 +Kδ) ]−1
2Γt,T√
T −t (11.1.10)
dpx1 = dpx0 + Γt,T
√T−t
o`u Γ2t,T(T−t) =RT
t |Gammas(T, δ)|2dsd´esigne le carr´e de la volatilit´e moyenne du z´ero-coupon sur la p´eriodet,T.
Remarque
– Dans le cas des options `a la monnaie, cela conduit `a Caplettxt = B(t, T+δ)δ[Lt(T, δ)N(1
2Σt,T
√T −t)−N(−1 2Σt,T
√T−t))]
Capletpxt = B(t, T+δ)[(1 +δLt(T, δ))N(1 2Γt,T
√T−t)−N(−1 2Γt,T
√T−t))]
Comme la volatilit´e des z´ero-coupon est tr`es petite par rapport `a celle des taux, nous avons l’ap-proximation suivante, pour les volatilit´es implicites suivant le mod`ele retenu,
√1 2πΓt,T
√T−t= δLt(T, δ) 1 +δLt(T, δ)[N(1
2Σt,T
√T−t)−N(−1 2Σt,T
√T −t))] (11.1.11)
Le d´ebat amorc´e sur la log-normalit´e taux versus log-normalit´e prix se ram`ene `a un d´ebat sur la log-normalit´e de Lt(T, δ) versus 1 +δLt(T, δ).
En d’autres termes, la question est de savoir si la distribution forward du taux L(T, δ) est une loi log-normale ou une loi log-normale d´ecal´ee. Seules les options en dehors de la monnaie donnent une information sur ce point.