Nous d´ecrivons d’abord les deux mod`eles les plus classiques, le mod`ele gaussien deVasicek([Vasi]) et le mod`ele dit en “racine carr´ee” de Cox, Ingersoll, Ross ([CIR2]). Ce mod`ele qui date de 1977, utilise une structure tr`es simple pour mod´eliser la dynamique du taux court.
Nous proposons deux m´ethodes diff´erentes pour mod´eliser les taux et les z´ero-coupon de diff´erentes ma-turit´es.
1. La premi`ere utilise les propri´et´es particuli`eres du taux court dans le mod`ele de Vasicek, et mˆeme un calcul probabiliste explicite pour la r´esolution du probl`eme.
2. La deuxi`eme introduit l’EDP d’´evaluation, dont les coefficients sont lin´eaires par rapport au taux court. Des solutions explicites sont alors propos´ees.
Vasicek suppose qu’il y a un seul al´ea (Wt), qui influe sur le taux spot, dont la dynamique, dansl’univers risque-neutre, est de la forme :
drt =a(b−rt)dt−σ dWt r0=r (8.4.1)
8.4.1 L’´ equation des taux
L’´equation suivie par le taux court est celle d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck, c’est `a dire d’un processus gaussien, qui oscille autour d’une tendance centraleb, avec une force de rappel d’intensit´e a.
L’´equation (8.4.1) se r´esoud comme une ´equation diff´erentielle ordinaire, bien que son second membre soit al´eatoire.
Proposition 8.4.1 La solution de l’´equation (8.4.1) est donn´ee par : rt=r0e−at+b(1−e−at)−σ
Z t 0
e−a(t−s)dWs. (8.4.2)
C’est donc un processus gaussien, dont la distribution est stationnaire si r0 est une variable gaussienne, de moyenne b et de variance σ2a2, ind´ependante du brownien W. La variableI(t, T)d´efinie par
I(t, T) = Z T
t
rsds
est gaussienne, de moyenne (rt ´etant donn´e) m(T−t), et de variance Σ2(T−t), o`u : m(T−t) = b(T−t) + (rt−b)1−e−a(T−t)
a et Σ2(T−t) = −σ2
2a3(1−e−a(T−t))2+σ2
a2(T−t−1−e−a(T−t)
a )
Preuve : Le mod`ele de taux court est celui de l’ornstein Uhlenbeck dont les porpri´et´es sont bien connues.
⇒ La solution de l’´equation lin´eaire (??) s’obtient comme dans le cas d´eterministe par la m´ethode de variation des constantes, en ´etudiant le processus{eatrt;t∈[0, T]}, solution dedρt =beatdt−σeatdWt. Le caract`ere stationnaire, qui signifie querta une distribution ind´ependante detse v´erifie facielement.
⇒ Pour montrer les propri´et´es de I(t, T), le plus simple est de calculer I(t, T) `a partir de l’´equation diff´erentielle en notant que
aI(t, T) =−(rT−rt) +ab(T −t)−σ Z T
t
dWs
Reportons dans cette ´equation la forme int´egrale du taux spot. Il vient : I(t, T) =b(T−t) + (b−rt)1−e−a(T−t)
a −σ
Z T t
1−e−a(T−s)
a dWs
Le calcul de la variance se fait `a partir de l’int´egraleσ2RT
t (1−e−a(T−s) a )2ds.
Nous aurons souvent `a utiliser des processus d’Ornstein-Uhlenbeck non stationnaires, v´erifiant
drt =at(bt−rt)dt−σtdWt r0=r (8.4.3)
La solution est donn´ee par :
rs=rte− tsaudu+ Z s
t
e− usavdv(budu+σudWu) (8.4.4) Le calcul de I(t, T) s’obtient en utilisant une formule d’int´egration par parties dans l’int´egrale stochas-tique, soit
I(t, T) =rt
Z T t
e− tsaududs+ Z T
t
Z T u
e− usavdvds(budu+σudWu) Les r´esultats pr´ec´edents se g´en´eralisent alors facilement `a cette situation.
Les prix des z´ero-coupon et la forme g´en´erale des taux actuariels continus se d´eduisent alors ais´ement du caract`ere gaussien deI(t, T).
Th´eor`eme 8.4.1 Dans le mod`ele de Vasicek, le prix d’un z´ero-coupon de maturit´e T est donn´e par : B(t, T) = exp−h
R∞(T−t)−(R∞−rt)1−e−a(Ta −t) +4aσ23(1−e−a(T−t))2i o`u R∞=b−2aσ22
(8.4.5)
et sa volatilit´e par
ΓaV(t, T) =σ1−e−a(T−t)
a (8.4.6)
La courbe des taux de la date t est donn´ee par :
R(t, θ) =R∞−(R∞−rt)1−e−aθ aθ + σ2
4a3θ(1−e−aθ)2 (8.4.7) avec R(t,+∞) =R∞ pour toutt.
Preuve : La repr´esentation des z´ero-coupon est essentiellement une cons´equence des calculs pr´ec´edents et des propri´et´es de la transform´ee de Laplace d’une v.a. gaussienne.
⇒ Il nous suffit de calculerB(t, T) comme :
B(t, T) =EQ[e−I(t,T)| Ft] =e−E(I(t,T)+12var(I(t,T)=e−m(T−t)+12Σ2(T−t)
car la variableI(t, T) ´etant gaussienne, sa transform´ee de Laplace ne d´epend que son esp´erance et de sa variance. La formule explicite est obtenue en regroupant les termes de mˆeme nature. L’´equation des taux s’en d´eduit ais´ement `a partir de la formuleR(t, θ) =−1θln[B(t, t+θ)].
⇒ Il reste `a noter queR(t, θ) tend vers :R∞=b−2aσ22 (ind´ependante de t) si θtend vers l’infini.
8.4.2 La courbe des taux issue du mod` ele de Vasicek
Le mod`ele de Vasicek donne la forme analytique de la courbe des taux aujourd’hui et plus g´en´eralement de n’importe quelle date.
Le graphe de la fonction θ→R(t, θ) ressemble effectivement `a de nombreuses courbes de taux observ´ees sur le march´e. Toutefois, certaines d’entre elles, notamment les courbes dites “invers´ees”, o`u le taux court rest plus haut que le taux longR∞, et o`u apparaˆıt un creux ne peuvent ˆetre atteintes par un mod`ele de ce genre.
8.4.3 Le mod` ele de Vasicek g´ en´ eralis´ e
En g´en´eral, le march´e pr´ef`ere introduire la courbe des taux d’aujourd’hui comme une donn´ee du probl`eme et d’ajuster les param`etres des mod`eles pour qu’il y ait un ajustement exact avec cette entr´ee.
Dans le cas de Vasicek, il est toujours possible d’introduire une fonction bt pour que l’ajustement soit parfait.
Pour cela remarquons que la courbe des taux aujourd’hui est associ´ee `a un mod`ele stationnaire (bt
constant) de Vasicek, si la courbe des taux spot forwards aujourd’hui v´erifie f(0, t) = R∞−(R∞−r0)e−at+ σ2
2a2(1−e−at)e−at (8.4.8)
= b+ (r0−b)e−at− σ2
2a2(1−e−at)2 (8.4.9)
Cette fonction v´erifie donc l’´equation diff´erentielle en maturit´e
∂tf(0, t) +a(f(0, t)−f(0,+∞))−σ2a2e−2at= 0
f(0,+∞) =R∞=b−2aσ22 (8.4.10)
∂tf(0, t) +a(f(0, t)−b) +σ2
2a(1−e−2at) = 0
Proposition 8.4.2 Le taux courtrt v´erifie le mod`ele de Vasicek ´etendu `a des coefficients d´ependant du temps (Pour simplifier nous avons suppos´e les volatilit´es stationnaires) g´en´eralis´e, ajust´e `a la courbe des taux forwards (f(0, T);T ∈R+ si
drt = [∂tf(0, t) +af(0, t) +σ2
2a(1−e−2at)]dt−artdt−σdWt (8.4.11) Preuve: NotonsrVt la dynamique d’un Vasicek de mˆeme fonction de volatilit´e, mais de niveau de rappel constant,b=f(0,+∞) +2aσ22, partant der0=f(0,0) aujourd’hui.
La courbe des spots forwards issue de ce mod`elefV(0, t) v´erifie
fV(0,+∞) =f(0,+∞), fV(0,0) =f(0,0) =r0
La diff´erencert−rVt satisfait `a l’´equation lin´eaire, non stochastique
d(rt−rVt ) = [a(bt−b)−a(rt−rtV)]dt, (8.4.12) Cette diff´erence d´eterministe est encore ´egale `a la diff´erence des taux forwards aujourd’hui associ´es `a chacun des deux mod`eles Par suite, les deux courbesf(0, t) et fmod(0, t) la courbe forward d´eduite du mod`ele sont ´egales car
dfmod(0, t) +afmod(0, t)dt=dfV(0, t) +afV(0, t)dt+a(bt−b)dt
=ab−σ2
2a(1−e−2at) +∂tf(0, t) +af(0, t) +σ2
2a(1−e−2at)−ab]
=∂tf(0, t) +af(0, t)dt
8.4.4 L’EDP d’´ evaluation et le prix des options sur z´ ero-coupons
Nous pouvons employer une m´ethode plus num´erique pour calculer la forme de la courbe ds taux et le prix des options sur z´ero-coupon. Elle consiste `a introduire une EDP d’´evaluation. Nous avons vu que le prix d’un z´ero-coupon est une fonction exponentielle affine du taux courtB(t, r, T).Nous allo,s retrouver ce r´esultat par une m´ethode num´erique,
Th´eor`eme 8.4.2 1. Si le prix d’un z´ero-coupon est une fonction r´eguli`ere du taux court B(t, r, T), n´ecessairement B est solution de l’EDP
1
2σ2 Br00r(t, r, T) +a(b−r)B0r(t, r, T)−rB(t, r, T) +Bt0(t, r, T) = 0
B(T, r, T) = 1 (8.4.13)
2. R´eciproquement, supposons qu’il existe une fonction r´eguli`ere du temps et du param`etre r , C(t, r, K, T, T+θ), solution dans ]0, T[⊗R+ de l’´equation aux d´eriv´ees partielles :
1
2σ2 C00rr(t, r) +a(b−r)Cr0(t, r)−rC(t, r) +Ct0(t, r, T) = 0
C(T, r, K, T, T+θ) = (B(T, r, T+θ)−K)+ (8.4.14) 3. Alors le prix d’une option de maturit´eT, de prix d’exercice K sur z´ero-coupon de maturit´eT+θ
est donn´e par
C(t, K, T, T+θ) =B(t, T+θ)N(d1)−KB(t, T+θ)N(d0)
d0= 1
Σt,T√
T −tLog B(t, T+θ) KB(t, T)
−1 2Σt,T
√T−t (8.4.15)
d1=d0+ Σt,T
√T −t
Σ2t,T = 1 T−t
Z T
t |Γ(u, T +θ)−Γ(u, T+θ)|2du (8.4.16) Preuve: La preuve de l’EDP est tr`es similaire `a celle utilis´ee pour montrer la formule de Black et Scholes.
⇒ Nous appliquons la formule d’Itˆo `a la fonctionB(t, r, T) et `a la solutionrt de l’´equation diff´erentielle stochastique. La comparaison avec l’´equation d’autofinancement donne imm´ediatement le r´esultat. La v´erifivation est imm´ediate.
⇒ L’´equation aux d´eriv´ees partielles ne donne pas imm´ediatement une solution explicite. L’id´ee est de faire `a la fois un changement de variable en posanty =B(t, r, T) et de fonction en posantv(t, y) =
u(t,r,f)
B(t,r,T), pour se ramener `a une EDP de type Black et Scholes et appliquer la formule connue.
⇒ C’est la traduction en termes de changement de variables de l’observation que le z´ero-coupon forward Bt(T, T+θ) est une martingale log-normale de volatilit´e Γt(T, T+θ) =σe−a(T−t)(1−e−aθ), sous la probabilit´e forwardQT, de densit´e exp−RT
t rsdsB(t, T)−1. Comme
C(T, r, K, T, T+θ) =EQ exp− Z T
t
rsds(B(T, T+θ)−K)+|rt
!
=B(t, T)EQT BT(T, T+θ)−K)+|rt
Nous pouvons appliquer la formule de Black et Scholes, sans taux d’int´erˆet, au sous-jacentBt(T, T+θ) de volatilit´e d´ependant du temps Γt(T, T+θ).