R´esolution de l’EDP

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2.6 La formule de Black et Scholes

2.6.1 R´esolution de l’EDP

La strat´egie de couverture dynamique permet au vendeur d’option d’ˆetre couvert contre les mouvements d´efavorables du march´e. Il a annul´e le risque dˆ u ` a la tendance du march´e.

Que le march´e soit haussier, ou baissier le prix de l’option d’achat sera le mˆeme.

Sur le plan statistique, ou de l’identification de mod`ele, cela fait un param`etre de moins `a estimer. Ce point est important, car il est tr`es difficile d’estimer correctement la tendance.

Le risque dˆ u aux fluctuations est toujours pr´esent et influe significativement sur le prix

de l’option par l’interm´ediaire du param`etre de volatilit´e. C’est la gestion de ce param`etre

qui va d´ecrire le savoir-faire du trader.

2. Nous pouvons encore ´ecrire

v(0, x) = R

+h(z)π(t, x, z, T

)dy o` u le noyau d’´evaluation

π(t, x, z, T

) est construit ` a partir de la densit´e log-normale de param`etres r et

σ2

“ac-tualis´ee”

π(t, x, y, T

) =

e−r(T−t)l(T−t, x, y,

r, σ

2

) (2.6.6)

l(T −t, x, y, r, σ2

) = 1

σyp

2π(T

−t)

exp

1

2

d0

(T

−t, xerT−t, y)2

(2.6.7)

d0

(t, x, y) = 1

√σ2t

Log(

x y

)

1

2

σ√ t

3. La fonction

π(t, x, y, T

) est la solution fondamentale de l’EDP d’´evaluation (2.5.1) dans les variables

t

et

x, avec comme condition terminale δy

(dx).

Preuve: Ces r´esultats sont des simples cons´equences des propri´et´es des solutions de la chaleur.

⇒ D’apr`es le th´eore`eme (2.5.1),v(0, x) =u(0,Log(x)σ ). En appliquant la repr´esentation des solutions de l’EDP de la chaleur donn´ees ci-dessus, il vient une repr´esentation du prix d’un produit d´eriv´e

v(0, x) =erT Z

h xexp

(r−1

2)T+σy 1

√2πT exp

−y2 2T

dy Cette formulation est valable `a toute date t, `a condition de changerT enT −t

⇒ (2.6.5) a la mˆeme forme que la repr´esentation int´egrale (2.3.6) qui permet de calculerE[h(ST(x, r, σ)]

lorsqueST(x, r, σ) suit une loi log-normale de tendance ret de volatilit´eσ.

⇒ La densit´e gaussiennesg(t, w, y, T) est solution “fondamentale” de l’´equation de la chaleur avec comme condition terminale la masse de Dirac eny δy(dx). Il en est de mˆeme pour la fonctionπ(t, x, y, T) qui est est lasolution fondamentale de l’EDP d’´evaluation (2.5.1) dans les variables t et x, avec comme condition terminaleδy(dx).

Interpr´ etation financi` ere

En termes financiers,

π(t, x, y, T

) s’interpr`ete comme la “densit´e des prix d’´etats”, c’est

`a dire le prix qu’on est prˆet `a payer pour toucher 1 Euro si on se trouve dans “l’´etat

y”

(en fait dans l’intervalle (y,y+dy)). La lin´earit´e des prix sugg`ere ensuite que le prix d’un d´eriv´e de pay-off

h(ST

) est la somme des h(y)

×

le prix d’ˆetre en “y”. Cette notion a ´et´e introduite par des arguments purement ´economiques en 1953 par Arrow et Debreu (on parle aussi de prix d’Arrow-Debreu) qui ont ensuite r´e¸cu le prix Nobel.

Les propri´et´es de moments de la loi log-normale de param`etres (r, σ

2

) (2.3.5) et la r`egle d’´evaluation impliquent que le prix de

ST

(h est la fonction identit´e) est

x, ce qui est

coh´erent avec l’absence d’arbitrage, puisque pour poss`eder de l’action `a la date

T

il suffit de l’acheter aujourd’hui.

Les param` etres de couverture

Ces formules int´egrales permettent ´egalement de calculer la couverture

δ(t, x) de l’option.

Deux voies sont possibles.

Proposition 2.6.2 Supposons que le pay-off de l’option soit d´erivable, en presque tout point, et ` a d´eriv´ee ` a croissance polynomiale.

1. La d´eriv´ee du prix de l’option, c’est ` a dire le Delta, est donn´ee par :

Delta(0, x) = v0x

(0, x) (2.6.8)

=

e−rT Z

exp

(r

1

2

σ2

)T +

σy

h0x

x

exp

(r

1

2

σ2

)T +

σy

g(T, y)dy

Calculer le delta de l’option ( la d´eriv´ee du prix) `a la date 0 revient `a ´evaluer le prix d’un produit financier de flux terminal

ST

x h0x

(S

T

).

L’´evaluation des “deltas” se fait en int´egrant la d´eriv´ee du pay-off par une densit´e log-normale de param`etre de tendance

r

+

σ2

.

Delta(0, x) = Z

+

h0x

(z)l(T, x, z, r +

σ2, σ2

)dz (2.6.9) 2. Utilisons la d´erivation du noyau d’´evaluation.

Delta(0, x) = e−rT Z

h(y)lx0

(T, x, y, r, σ

2

)dy (2.6.10)

lx0

(T, x, y, r, σ

2

) =

l(T, x, y, r, σ2

)(

−d0

(T, xe

rT, y))

1

xσ√

T

(2.6.11)

Calculer le delta de l’option ( la d´eriv´ee) revient `a ´evaluer le prix d’un produit financier de flux terminal 1

xσ√

T

(

−d0

(T, xe

rT, ST

))h(S

T

).

(xσ

T

)

−1

(

−d0

(T, xe

rT, ST

)) peut ˆetre interpr´et´e comme un noyau de d´erivation.

Remarque 2.6.1 Ces formules sont tr`es utiles lorsqu’on calcule le prix par des m´ethodes de Monte-Carlo. Comme l’erreur est proportionnelle `a la variance de la variable dont on cherche l’esp´erance, on a in´etrˆet `a retenir celle des deux m´ethodes qui conduit `a une variable ayant la variance la plus petite.

Preuve: Nous distinguons le cas o`u la fonctionhest d´eribale de l’autre.

⇒ Dans ce cas, la formule int´egrale utilisant mla densit´e gaussienne met en ´evidenc la d´ependance par rapport `a la condition initiale. Comme le noyau gaussien est tr`es r´egulier, les hypoth`eses assurent que l’on peut d´eriver sous le signe int´egrale. D’o`u la formule de la porposition

⇒ Pour interpr´eter cette int´egrale `a l’aide d’un noyau remarquons que d0(T, xerT, y)2−2Log( y

xerT = ( 1 σ√

TLog(xerT y )−1

2σ√

T)2+ 2Log(xerT y ) ( 1

σ√

TLog(xerT y )−1

2σ√

T)2+ 2 1 σ√

TLog(xerT y )(1

2σ√ T) ( 1

σ√

TLog(xerT y ) +1

2σ√

T)2=d1(T, xerT, y)2=d0(T, xer+σ2T, y)2

En termes de densit´e, nous observons que y

xerTl(T, x, y, r, σ2) = 1 y√

2πT y

xerT exp −d0(T, xerT, y)2

= 1

y√

2πT exp

−1

2 d0(T, xerT, y)2−2 ln( y xerT)

= 1

y√

2πT exp

−1

2(d0(T, xe(r+σ2)T, y)2)

= 1

y√

2πT exp

−1

2(d1(T, xerT, y)2)

=l(T, x, y, r+σ2, σ2) ce que l’on cherche `a d´emontrer.

⇒ L’autre voie est d’utiliser la formule int´egrale (2.3.6) dans laquelle la d´ependance par rapport `a la condition initiale est exprim´ee uniquement dans le noyau d’´evaluation log-normal et de d´eriver

vx0(0, x) = erT Z

h(y)l0x(T, x, y, r, σ2)dy l0x(T, x, y, r, σ2) = l(T, x, y, r, σ2)(−d0(T, xerT, y)) 1

xσ√ T D’o`u le r´esultat de l’´enonc´e.

(xσ√

T)1(−d0(T, xerT, ST)) peut ˆetre interpr´et´e comme un noyau de d´erivation sur l’espace des trajectoires.

Evaluation risque neutre : premi` ere approche

Les propri´et´es du noyau de pricing montrent que si le rendement “historique” de l’actif est le taux d’int´ erˆ et sans risque

r, la r`egle de pricing s’´ecrit simplement

v(0, x) =E

e−rTh(STx

)

v(t, x) =Eh

e−r(T−t)h(ST

)

|St

=

xi

L’hypoth`ese introduite sur les rendements s’exprime encore en disant que la prime de risque

λ

du mod`ele historique est nulle. On dit alors que la probabilit´e historique est risque- neutre.

Ce faisant, les vendeurs d’options se comportent comme “des assureurs” qui font une estimation moyenne de leurs pertes.

Mais nous avons vu que structurellement les rendements des actifs sont diff´erents du taux sans risque, sinon l’investisseur n’aurait aucun int´erˆet `a les garder en portefeuille.

La r`egle d’´evaluation que nous avons d´egag´ee montre que pour faire le prix d’un produits d´eriv´e, les agents font comme si le march´e dans lequel se font les transactions ´etait risque-neutre.

Math´ematiquement, cel`a revient `a consid´erer que dans l’estimation du prix d’un produit d´eriv´e,

le march´e fait un calcul d’esp´erance avec des poids diff´erents de ceux induits par la probabilit´e

historique. En d’autres termes, il respecte la r`egle que le prix est une esp´erance du flux terminal

actualis´e, sous une probabilit´e pour laquelle la prime de risque est nulle. Nous noterons

Q

cette probabilit´e risque neutre, (on dit encore mesure martingale). Sous

Q

(S

t

) est un brownien

g´eop´etrique de param`etre

r

et

σ. De plus, la r`egle de pricing s’´ecrit : v(t, x) =E

h

e−r(T−t)h(ST

)

|St

=

xi

(2.6.12)

vx0

(t, x) =

E

e−r(T−t)ST

St h0x

(S

T

)

|St

=

x

(2.6.13)

vx0

(t, x) =

E

e−r(T−t)

1

Stσ√

T−t

(

−d0

(T

−t, Ster(T−t), ST

))h(S

T

)

|St

=

x

L’int´erˆet de cette repr´esentation est de se g´en´eraliser `a des pay-offs path-d´ependants. Nous

verrons dans le chapitre 3 que cette r`egle s’´etend `a des situations tr`es g´en´erales.

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