Mod´elisation de la dynamique du sous-jacent : Le mouvement brownien g´eom´etrique 28

L’incertain est mod´elis´e `a travers les trajectoires futures du titre risqu´e, vues comme des

scenarii possibles d’´evolution. En g´en´eral, on suppose que ce sont des fonctions continues (ω

_t

),

d´efinies sur

R⁺

. Afin de prendre en compte le caract`ere tr`es erratique des cours des actifs

financiers, Bachelier les mod`elise `a l’aide d’un mouvement brownien avec tendance. Une telle mod´elisation conduit `a des prix qui peuvent ˆetre n´egatifs. Aussi, Samuelson (1960) propose de retenir cette mod´elisation pour les rendements, plutˆot que pour les cours eux-mˆemes.

2.3.1 D´ efinition et Propri´ et´ es

Il y a plusieurs d´efinitions possibles des rendements, qui en g´en´eral sont ´equivalentes lorsque les ph´enom`enes sont d´eterministes, mais qui diff´erent dans le cas stochastique. La diff´erence est explicable par la formule d’Itˆo. Nous supposons que les rendements entre deux p´eriodes sont mesur´es par la diff´erence des logarithmes des cours.

L’hypoth`ese que les rendements entre 0 et

t

suivent un mouvement brownien de tendance

µ−¹₂σ²

et de coefficient de diffusion

σ, se traduit par les propri´et´es suivantes du processus des prix {S_t

;

t∈

[0, T ]

}

:

• S₀

=

x

;

•

les rendements Log(S

_t

)

−

Log(S

_s

) suivent une loi gaussienne de moyenne (µ

− ¹₂σ²

)(t

−s)

et de variance

σ²

(t

−s).

•

Pour tout 0

< t₁ < t₂... < t_n,

les accroissements relatifs

{^S_S^ti+1_ti

; 0

≤ i ≤ n−

1

}

sont ind´ependants, et de mˆeme loi.

En d’autres termes, il existe un mouvement brownien

cW

tel que

S_t

=

f

(t,

cW_t

) =

x

exp

µt

+

σWc_t−

1 2

σ²t

(2.3.1) Par application de la formule d’Itˆo pour le mouvement brownien et la fonction

f(t, z) = x

exp

µt

+

σz− ¹₂σ²t

, dont les d´eriv´ees valent :

f_t⁰

(t, z) =

f(t, z)(µ−

1

2

σ²

),

f_z⁰

(t, z) =

f

(t, z)σ,

f_zz⁰⁰

(t, z) =

f

(t, z)σ

²

nous voyons que,

dS_t St

=

µdt

+

σdcW_t

(2.3.2)

Comme la fonction exponentielle n’est pas born´ee, pour justifier l’´ecriture diff´erentielle et l’uti-lisation de la formule d’Itˆo, nous avons besoin de propri´et´es d’int´egrabilit´e, que l’on v´erifie facilement grˆace aux propri´et´es des exponentielles de variables gaussiennes.

Lemme 2.3.1 La transform´ee de Laplace d’une v.a. gaussienne

U

de moyenne

m

et de variance

γ²

est donn´ee par

E

[exp(λU )] = exp

λm

+ 1 2

γ²λ²

(2.3.3) En particulier, si

Wc

est un mouvement brownien,

E

exp

λWct−

1 2

λ²t

= 1 (2.3.4)

Ce graphe repr´esente les prix du taux de change dollar-yen pendant la p´eriode Avril 99-Nov 2000, ainsi que ceux d’un contrat future. Les deux ´evolutions sont tr`es sem-blables.

Ce qui est remarquable, ind´ependamment de la tendance, c’est le caract`ere tr`es erratique de l’´evolution

Le graphe simul´e avec diff´erents param`etres de diffusion (c=1,1.1,0.9) des trajectoires d’un mouvement brownien pr´esente beaucoup d’analogies avec la trajectoire du cours r´eel

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Echelle c = 1 Echelle c = 1.1 Echelle c = 0.9

Th´ eor` eme 2.3.2 Soit

S

un mouvement brownien g´eom´etrique de valeur initiale

x.

1. Le cours

S_t

, de condition initiale

S₀

=

x, suit une loi log-normale dont les deux premiers

moments valent

E

[S

_t

] =

xe^µt, E S_t²

=

x²

exp (2µ +

σ²

)t

,

(2.3.5)

var(S

_t

) =

x²

exp (2µt) exp(σ

²t)−

1

En particulier, le ratio de Sharpe, qui rapporte le gain moyen ` a la variabilit´e du titre,

Sharpe ratio =

E

[S

_t

]

−x p

var(S

t

) est ind´ependant de la valeur initiale

x.

2. Pour toute fonction

h

positive ou born´ee,

E

(h(S

_t^x

)) =

Z

h(y)l(t, x, y)dy

=

Z

h x

exp

(µ

−

1

2

σ²

)t +

σ√ tu

g(u)du

(2.3.6)

g(z) =

1

√

2π exp

−z²

2

(2.3.7)

g(z)

est la densit´e gaussienne centr´ee r´eduite

3. La densit´e de la loi de

S_t

partant de

xest la fonction l(t, x, y)

donn´ee par

l_µ,σ²

(t, x, y) = 1

σy√

2πt exp

−

1

2

d0

(t, xe

^µt, y)²

(2.3.8)

d₀

(t, x, y) = 1

√σ²t

Log(

x y

)

−

1

2

σ√ t

La densit´e gaussienne en fonction du temps La densit´e lognormale en fonction du temps

Preuve: L’´etude des moments deSt repose sur le lemme 2.3.1.

⇒ Introduisons le brownien avec d´erivecWt que nous pouvons repr´esenter `a l’aide d’une v.a. gaussienne centr´ee r´eduiteU parcWt=√

tU de telle sorte que St = xexp (Yt) si Yt = (µ−1

2σ²)t+σcWt= (µ−1

2σ²)t+σ√ tU Le lemme nous conduit aux calculs suivants :

E[St] = E xe^Yt

=xexp

(µ−1

2σ²)t+1 2σ²t

=xexp (µt) E

S_t²

= E

x²e^2Yt

=x²exp

(2µ−σ²)t+1 24σ²t

=x²exp 2µt+σ²t

= E[St]²exp σ²t

⇒ La densit´e l(t, x, y) est d´eduite de la densit´e gaussienne par la formule du changement de variable (d´ecroissant) associ´ee `a

u = 1

σ√

t[Log(y

x)−(µ−1

2σ²)t] = 1 σ√

t[Log(xe^µt y )−1

2σ²)t] =d0(t, xe^µt, y) (2.3.9)

∂u

∂y = − 1

σ√

ty (2.3.10)

qui conduit au calcul de l’int´egrale des fonctionsh >0 Z

h(y)l(t, x, y)dy= Z

h(xe^{(µ−12σ2)t+σ√tu})g(u)du= Z

h(y)g(d0(t, xe^µt, y) 1 σy√

2πtdy

2.3.2 Interpr´ etation financi` ere des param` etres du mod` ele Interpr´ etation

S’il n’y a pas de bruit, (σ = 0),

µ

repr´esente le rendement annualis´e du titre. Un simple argument d’arbitrage montre qu’en absence d’alea sur le titre, son rendement doit ˆetre le mˆeme que celui d’un placement `a la banque, dont le taux est d´esign´e ici par

r. On d´esignera

par

S_t⁰

la valeur en

t

de la capitalisation d’un Euro `a la banque.

dS_t⁰

=

S_t⁰rdt

(2.3.11)

Un ordre de grandeur de ce taux est [2%,12%].

Lorsque le titre est risqu´e,

µ

repr´esente le rendement annualis´e du titre esp´er´e par unit´e de temps. Le march´e le compare en g´en´eral `a celui d’un placement sans risque. Le param`etre

µ−r

est donc en g´en´eral un param`etre de r´ef´erence.

Le ratio de Sharpe par unit´e de temps des exc`es de rendements par rapport au cash prend en compte la volatilit´e du titre. Il est consid´er´e comme la prime de risque

λ

que la march´e affecte `a la source de risque

Wc

puisque

prime de risque =

λ

=

1 dtEh

dSt

St

i−r q1

dt

var(

^dS_St^t

)

=

µ−r σ

dS_t St

(2.3.12)

Il sera utile d’´ecrire

dS_t

=

S_t

[rdt +

σ(dWc_t

+

λdt)]

(2.3.13) Dans cette repr´esentation, nous voyons apparaˆıtre l’importance du param`etre cl´e dans la caract´erisation des titres financiers `a savoir la volatilit´ e

σ. L’ordre de grandeur de ce

param`etre d´epend ´enorm´ement de la nature du titre support : dans les march´es d’action il varie entre 30 et 70 %, dans les march´es de change entre 10 et 30 %, dans les march´es de taux d’int´erˆet entre 8 et 30 %.

Limites de la mod´ elisation

]

Dans le monde de Black et Scholes, tous les param`etres sont suppos´es constants. Il est

clair que ce n’est pas tr`es r´ealiste dans le cas du yen d´ecrit ci-dessus, ni d’ailleurs dans

aucun march´e. En fait, on pourra sans grande modification dans ce qui suit supposer

les param`etres d´eterministes. Mais cel`a pose ´evidemment des probl`emes d’identification

(calibration dans le vocabulaire de la finance) importants.

]

Notons par ailleurs que dans leur papier de 1973, Black et Scholes ne cherchent pas tant

`a mod´eliser avec exactitude la dynamique du sous-jacent qu’ils consid`erent qu’`a essayer de voir si le point de vue tr`es nouveau qu’ils proposent dans le domaine des options est prometteur, quitte `a revenir sur les questions de mod´elisation dans la suite.

A cette ´epoque, Mandelbrot (1963) avait dej`a montr´e que les rendements des actifs fi-nanciers `a un jour, ou une semaine n’´etaient clairement pas statistiquement gaussiens, en particulier que la probabilit´e de grands mouvements de ces rendements ´etait plus grande que celle que le monde gaussien quantifiait. Cette question “des queues ´epaisses” des dis-tributions des rendements et de son implication dans la mesure des risques et la couverture des produits financiers est au coeur de la recherche actuelle. Mais comme nous le verrons, bien qu’imparfait le mod`ele de Black et Scholes est encore tr`es efficace et tr`es utilis´e dans toutes les salles de march´e.

²

Remarque 2.3.1 Un des grands messages de la finance math´ematique est que la prime de risque

n’est pas sp´ecifique du titre mais de la source de bruit

cW_t

. C’est une caract´eristique du march´e

au mˆeme titre que le taux d’int´erˆet, du moins dans un monde sans arbitrage et tr`es liquide. Nous

reviendrons longuement sur ce point dans le chapitre sur les multi-sous-jacents. Cette hypoth`ese

joue en particulier un rˆole d´eterminant dans les march´es de taux.

In document Couverture des risques dans les marchés financiers (Page 30-35)