Portefeuilles et autofinancement

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L’´ EVALUATION ET LA

COUVERTURE DES OPTIONS sur MULTI SOUS-JACENTS

5.1 Introduction

Dans le chapitre pr´ec´edent, nous nous sommes int´eress´es `a la couverture des options ´ecrites sur un sous-jacent `a l’aide de strat´egies autofinan¸ccantes. Nous nous int´eressons maintenant au cas o`u plusieurs sous-jacents sont n´egoci´es. Beaucoup d’id´ees sont les mˆemes, mais nous allons d´emontrer un certain nombre de faits nouveaux :

⇒ si le nombre de titres est plus grand que le nombre de sources de bruits, les rendements de ces titres ne sont pas quelconques : l’exc`es de rendement par rapport au cash d´epend essentiellement de la volatilit´e du titre et des primes de risque, dont nous montrerons l’existence par un argument d’alg`ebre lin´eaire.

⇒ Le num´eraire utilis´e pour exprimer le prix des actifs,(en g´en´eral la monnaie du pays), joue un rˆole relatif, car les propri´et´es essentielles sont invariantes par changement de num´eraire : autofinance-ment, absence d’arbitrage...Nous ´etudierons les cons´equences en termes de primes de risque et de taux d’int´erˆet

⇒ Nous d´eveloppons une analyse syst´ematique de l’´evaluation par probabilit´e risque-neutre et ses transformations par changement de num´eraire

– A tout instant, il existe des acheteurs et des vendeurs pour tous les titres du march´e.

Remarque 5.2.1 Cette derni`ere hypoth`ese implique en particulier, comme L.Bachelier le soulignait dans son article de 1900, que dans un march´e financier les croyances des diff´erents participants dans les mouvements des titres risqu´es ne peuvent ˆetre les mˆemes :

par exemple, si un investisseur pense que le prix d’une action doit sˆurement monter, il va chercher `a acheter des options d’achat. Mais ces options doivent ˆetre vendues par un autre investisseur qui ne doit pas avoir les mˆemes anticipations, sinon il n’accepterait pas de vendre.

L.Bachelier en conclut que le jeu financier est ´equitable.

Le mod` ele d’incertain

Pr´ecisons la structure al´eatoire qui affecte la dynamique des titres. L’espace de probabilit´e de r´ef´erence est constitu´e de :

– l’ensemble Ω, qui repr´esente tous les ´etats du monde.

– la tribuF, qui repr´esente la structure d’information globale disponible sur le march´e.

– une filtration croissante, (continue `a droite si n´ecessaire), (F0⊆ Ft⊆ FT), qui d´ecrit l’information disponible `a tous les agents du march´e `a la datet. (Le caract`ere croissant de cette filtration traduit le fait que le march´e n’oublie rien.)

– la classeN de tous les ´ev´enements deF que le march´e consid`ere comme impossibles.

– une probabilit´eP, qui donne les probabilit´esa priorides ´ev´enements consid´er´es. C’est la probabilit´e historique ou objective.

Remarque 5.2.2 Les ´ev´enements impossibles du march´e sont ´evidemment de probabilit´e nulle et donc n´eces-sairement,

∀N∈ N, (N) = 0.

Comme nous l’avons d´ej`a vu, pour les probl`emes de finance qui nous int´eressent, l’identification exacte de Pn’est pas un objectif majeur, et ce point marque, entre autres, une des originalit´es de l’utilisation des mod`eles probabilistes en finance par rapport `a la physique.

Les actifs

SoitTH (´eventuellement infini) l’horizon de gestion du march´e.

Nous supposons que (d+1) actifs,les titres de base S0,S1,S2, ....,Sd, sont n´egoci´es entre les dates 0 et TH.Stid´esigne le prix de l’actifi`a la dateten Euros. Tous les processus de prix sont suppos´escontinus en temps.

•L’actifS0est souvent le cash, c’est `a dire le produit financier qui d´ecrit la valeur de 1 Euro, capitalis´e au jour le jour `a la banque. Il est alors consid´er´e comme sans risque puisque son rendementrtdtdans un intervalle de temps [t, t+dt] est connu `a la datet de l’op´eration.

•L’information disponible `a la datet englobe la connaissance du mouvement des actifs entre 0 ett: les prix des titres sont donc adapt´es `a la filtration (Ft), (Sti estFt-mesurable).

• En g´en´eral, nous supposerons que les alea de l’´economie (Ω,F,P) sont engendr´es par un brownien (cWt)tR+ k-dimensionnel, dont les composantescWtj sont des browniens r´eels ind´ependants.

•Les actifs risqu´esSi (1≤i≤d) sont suppos´es ˆetre des fonctions al´eatoires d’Itˆo satisfaisant : dSti=Sti [bit dt+

Xk j=1

σij(t) dcWtj] (5.2.1)

Nous supposons aussi que le titre sans risqueS0 v´erifie

dSt0=St0 rt dt (5.2.2)

Nous d´esignons par

– bt le vecteur de Rd, adapt´e, de composantesbit; c’est le vecteur des taux de rendement des titres de base.

– Lamatrice des volatilit´esdes actifs est la matriceσt de dimensiond×k, adapt´ee, de terme g´en´eral σij(t).

Nous supposerons en g´en´eral que ces processus sont born´es. Cette mˆeme hypoth`ese est aussi souvent faite sur le processus (rt).

5.2.2 Portefeuille autofinan¸ cant Strat´ egie de portefeuille

Nous mod´elisons le comportement d’un investisseur, qui disposant d’un capital initial de x Euros, l’investit dans les actifs de base du march´e. A la date t, son portefeuille se compose de δi(t) parts de l’actif i (i=0...d). Les parts peuvent ˆetre positives ou n´egatives suivant qu’elles correspondent `a un achat ou `a une vente.

Une strat´egie de portefeuilleest la donn´ee des processus (δi(t)di=0), repr´esentant les quantit´es inves-ties dans chacun des titres. Nous d´efinissons pour commencer les strat´egies simples, pour lesquelles la composition du portefeuille ne change qu’`a un nombre fini de dates appell´eesdates de trading.

En temps discret, une strat´egie quelconque est une strat´egie simple ; dans le cas g´en´eral, ce sont les strat´egies qui permettent de faire la transition entre le discret et le continu.

D´efinition 5.2.1 Une strat´egie simple de portefeuille ´ecrite sur les titres de base est la donn´ee d’un ensemble fini de dates de trading :

Θ ={(ti)ni=0; 0 =t0< t1< t2< t3< . . . < tn =T} (5.2.3) et ded+ 1processus(δi(t)di=0)qui donnent la r´epartition des titres dans le portefeuille au cours du temps :

δi(t) =ni01[0,t1](t) +. . .+nik1]tk,tk+1](t) +. . .+niN11]tN−1,tN](t) (5.2.4) o`u les variables ik sont Ftk-mesurables.

La valeur financi`ere (liquidative) du portefeuille δest not´ee V.(δ). A la datet, elle vaut :

Vt(δ) =< δ(t), St >=

Xd i=0

δi(t)Sti (5.2.5)

Remarque 5.2.3 Pour tout t de l’intervalle ]tk, tk+1], δi(t) = δi(tk+1) = ni(k) ; la part investie dans l’actifiest donc est Ftk-mesurable, c’est `a dire ne d´epend que des informations disponibles `a la date de n´egociation pr´ec´edente. On dit que le processusδi(t) estpr´evisible. Le processus (Vt(δ)) est adapt´e. En temps continu, comme les prix des actifs sont continus par hypoth`ese, et que les strat´egies simples de portefeuille sont des processus continus `a gauche, la valeur financi`ere d’un portefeuille simple est continue

`

a gauche.

Autofinancement

Entre les datestk ettk+1, un investisseur qui suit la strat´egieδplacenik unit´es dans l’actifSi. Juste avant une ren´egociation, `a la datetk+1, la valeur du portefeuille vaut :< nk, Stk+1 >. A l’instanttk+1, l’investisseur forme un nouveau portefeuille, c’est `a dire une r´epartition diff´erente des poids des diff´erents actifs, `a partir des informations disponibles `a la date tk+1. Supposons qu’aucune somme n’est investie (ou desinvestie) de mani`ere exog`ene `a l’instanttk+1; la condition d’autofinancement se traduit par :

< nk, Stk+1>=< nk+1, Stk+1> (5.2.6) soit encore en mettant en ´evidence la variation des actifs entre les deux dates de ren´egociation

Vtk(δ)+< nk, Stk+1−Stk>=< nk, Stk+1>=Vtk+1(δ) (5.2.7) Les variations d’un portefeuille autofinan¸cant sont exclusivement dues aux variations du prix des actifs.

Remarque 5.2.4 La condition d’autofinancement implique que la valeur du portefeuille n’a pas de sauts aux instants de ren´egociation. Dans un mod`ele en temps continu, cela entraˆıne que c’est un processus continu. Notons d’ailleurs que la condition d’autofinancement est une condition n´ecessaire et suffisante pour la continuit´e du processus de valeur d’un portefeuille.

Si la condition ( 5.2.7) n’est pas v´erifi´ee, l’´ecart entre Vtk+1(δ)−Vtk(δ) et< nk, Stk+1−Stk >pourrait ˆetre utilis´e pour la consommation ou le refinancement entre les datestk ettk+1.

Ces propri´et´es sont synth´etis´ees ci-dessous.

D´efinition 5.2.2 a) Soit(Θ, δ)une strat´egie simple de trading autofinan¸cante. La valeur du portefeuille s’´ecrit alors comme l’int´egrale stochastique par rapport aux prix des actifs de base (Si) de la strat´egie simple de trading δ. Elle est caract´eris´ee 1 par :

( Vt(δ) =< δ(t), St >

Vt(δ)−V0(δ) =Rt

0 < δ(u), dSu> (5.2.9)

b) Extension

Si nous supposons maintenant que les prix des actifs de base sont des processus d’Itˆo et que δ est un processus vectoriel adapt´e, pour lequel l’int´egrale stochastique (vectorielle) par rapport aux actifs de base est bien d´efinie, le processus δ est une strat´egie de portefeuille autofinan¸cante, de valeur Vt(δ) si la condition (5.2.9) est satisfaite.

Le cas des processus d’Itˆo

Nous avons une description plus pr´ecise de la valeur de la dynamique d’un portefeuille autofinan¸cant en termes de vecteur de rendement et de matrice de volatilit´e.

dVt(δ) = Pd

i=0δi(t)dSti

= δ0(t)St0rtdt+Pd

i=1δi(t)Stibitdt+ +Pd i=1

Pk

j=1δi(t)Stiσji(t) dcWtj

= δ0(t)St0rtdt+<(δS)t, bt> dt+<(δS)t, σtdcWt>

1Si le portefeuille n’est pas autofinan¸cant, en suivant F¨ollmer-Schweitzer ([Fo,Sc] 1990), on appelle processus de coˆut ,

Ct(δ) =Vt(δ)−V0(δ)−

t 0

δ(u). dS(u) (5.2.8)

Il reste `a eliminerδ0(t) en utilisant l’autre ´equation d’autofinancement pour en d´eduire que la valeur du portefeuille est solution de l’´equation suivante :

dVt=Vtrtdt+<(δS)t, bt−rt1> dt+<(δS)t, σtdcWt > (5.2.10) o`u (δS)t = πt d´esigne le vecteur de composantes (δi(t)Sti)di=1, soit le vecteur qui d´ecrit les montants investis dans les titres risqu´es.

1est le vecteur dont toutes les composantes sont ´egales `a 1.

R´eciproquement, un processusVt, solution de l’´equation (5.2.10) est la valeur financi`ere d’un portefeuille autofinan¸cant, correspondant `a un investissement de (δi(t))di=1 dans les actifs risqu´es et de S10

t(Vt(δ)− Pd

i=1δi(t)Sti) dans le titre sans risque.

Remarque 5.2.5 L’´equation diff´erentielle lin´eaire (5.2.10) ayant une unique solution, la connaissance de l’investissement initial et de la quantit´e investie dans les actifs risqu´es suffit `a caract´eriser compl´etement la valeur d’un portefeuille autofinan¸cant.

Exemples de strat´egies de portefeuille

Strat´egie statique

Le gestionnaire investit une partie de sa richesse initiale en actions, et place le reste `a la banque et ne ren´egocie pas son portefeuille avant l’horizon de gestion T . En 0, sa richesse x est investie dans n0 actions, de telle sorte que x= n0S0+ (x−n0S0). A toute date la valeur liquidative du portefeuille estVt =n0St+ (x−n0S0) exp(Rt

0rsds) soit

dVt =n0dSt+ (x−n0S0)e 0trsdsrtdt=n0dSt+ (Vt−n0St)rtdt

´equation ´equivalente `a l’´equation d’autofinancement (??).

Il aurait aussi pu placer la somme qu’il d´epose `a la banque `a l’horizon de gestion. Dans ce cas, il aurait touch´e `a la fin, pour 1 Euro investi,B(0, T)1, qui diff`ere, lorsque les taux sont al´eatoires de exp(RT

0 rsds). La valeur du portefeuille `a la datetest alorsVt=n0St+(x−n0S0)B(0, T)1B(t, T).

Strat´egie `a temps fixe proportionnelle

Le gestionnaire d´ecide, quelles que soient les conditions de march´e, de maintenir le montant investi dans le titre risqu´e `a 50% de la valeur du portefeuille, c’est `a dire que δtSt = 12Vt. La valeur du portefeuille est alors la solution d’une ´equation diff´erentielle stochastique

dVt=rtVtdt+1 2Vt(dSt

St −rtdt) (5.2.11)

dont la solution est, si dSSt

t =btdt+σtdcWt

Vt =xe 0t(12(bs+rs)dse 0t12σsdWs18 0tσs2ds (5.2.12) Strat´egies `a temps variable

Le gestionnaire d´ecide de ren´egocier d`es que le cours de l’action a vari´e de plus de 2%. Il peut adopter la mˆeme r`egle concernant les quantit´es que pr´ec´edemment. Les dates de ren´egociation sont donc des temps al´eatoires, en fait des temps d’arrˆet qui repr´esentent les temps de passage successifs du titre risqu´e au-dessus et en dessous des barri`eres2proportionnelles `a 2%.

2Une bonne exp´erience num´erique est de simuler une trajectoire de cours et de mettre en place des strat´egies de portefeuille auto-finan¸cante

Dans la pratique des march´es, il est important de distinguer un ordre d’achat d’un ordre de vente. En effet, dans l’ordre de vente le prix est fix´e d`es que l’ordre est pass´e, alors que dans l’ordre d’achat le prix va d´ependre des prix propos´es par les autres vendeurs, c’est `a dire des conditions du march´e.

Remarque 5.2.6 Les portefeuilles peuvent int´egrer des produits d´eriv´es, si ces derniers sont tr`es liquides et facilement ´echeangeables sur le march´e, notamment aux dates de ren´egociation. Dans ce cas l’´equation d’autofinancement devient, si (Cti)di=1 d´esigne le prix de ces produits d´eriv´es et δti le nombre de ces contrats,

dVt = δtdSt+ Xd i=1

δitdCti+ (Vt−δtSt− Xd i=1

δitCti−δtSt)rtdt

= rtVtdt+δt(dSt−rtStdt) + Xd i=1

δit(dCti−rtCtidt) (5.2.13)

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