Dans la pratique des march´es, il est important de distinguer un ordre d’achat d’un ordre de vente. En effet, dans l’ordre de vente le prix est fix´e d`es que l’ordre est pass´e, alors que dans l’ordre d’achat le prix va d´ependre des prix propos´es par les autres vendeurs, c’est `a dire des conditions du march´e.
Remarque 5.2.6 Les portefeuilles peuvent int´egrer des produits d´eriv´es, si ces derniers sont tr`es liquides et facilement ´echeangeables sur le march´e, notamment aux dates de ren´egociation. Dans ce cas l’´equation d’autofinancement devient, si (Cti)di=1 d´esigne le prix de ces produits d´eriv´es et δti le nombre de ces contrats,
dVt = δtdSt+ Xd i=1
δitdCti+ (Vt−δtSt− Xd i=1
δitCti−δtSt)rtdt
= rtVtdt+δt(dSt−rtStdt) + Xd i=1
δit(dCti−rtCtidt) (5.2.13)
´egale `ap. Ainsi de suite, si `a un instanttn = 1−(1/2)n nous avons toujours une richesse positive, nous rajustons le niveau d’actif risqu´e, de telle sorte que la probabilit´e conditionnelle de ruine entre (tn, tn+1) soit toujoursp. La probabilit´e de survie apr`estnest ´egal `a (1−p)nqui s’annule quandntend vers l’infini et donctn vers 1.
Le portefeuille associ´e `a cette strat´egie a une valeur positive sur [0,1[, mais nulle sˆurement en 1. Si main-tenant, nous empruntons 1F pour acheter l’action, et menons la strat´egie que nous venons de d´ecrire. A la date 1, notre portefeuille vaut−1F de mani`ere sˆure. C’est une opportunit´e d’arbitrage.
Nous serons amen´es `a nous limiter `a des strat´egies de trading v´erifiant de bonnes propri´et´es d’int´egrabilit´e, que nous pr´eciserons dans la suite. Nous appeleronsadmissiblesde telles strat´egies.
L’hypoth`ese fondamentale est donc
Il n’existe pas d’opportunit´es d’arbitrage entre des strat´egies de portefeuille admissibles. On dit encore que le march´e est viable.
Exemples de contraintes d’admissibilit´e
⇒ Nous supposons que l’ensemble A des strat´egies admissibles est un espace vectoriel, qui contient les strat´egies constantes, et qui est stable par recollement au sens o`u deux strat´egies admissibles peuvent ˆetre recoll´ees sur un ensemble A deFt en une strat´egie admissible, c`ad que si δetψsont deux strat´egies admissibles, la strat´egie qui vautδsur l’ensembleAetδ(s), s≤tetψ(s), s > tsur Ac est admissible.
⇒ Les hypoth`eses doivent exclure de les strat´egies d´ecrites ci-dessus ; il faut donc que l’ensemble A des strat´egies de portefeuille admissibles soit assez riche pour permettre l’´evaluation de nombreux produits d´eriv´es, et pas trop gros pour ´eviter les opportunit´es d’arbitrage.
Des hypoth`eses de type carr´e int´egrable, sur la valeur du portefeuille et les martingales associ´ees sont en g´en´eral suffisantes. De plus, il doit contenir les strat´egies constantes, et autoriser des op´erations de recollement.
⇒ la matrice de volatilit´e born´ee, mais pas n´ecessairement inversible Posons
A = {δ; E Z T
0
(δt0S0t)2+|(δS)t|2dt <+∞,}
L’hypoth`ese que les vecteurs constants appartiennent `a A entraˆıne que le prix Sti de chaque titre de base est de carr´e int´egrable sur [0, T], `a volatilit´e born´ee.
Dans ce cas, tous les processus pr´evisibles et born´es appartiennent `aA.
La condition ”bt,rt etσt born´es” suffit `a entraˆıner que les conditions pr´ecedentes sur les actifs sont bien satisfaites. Nous l’introduirons souvent dans la suite.
5.3.2 Contraintes sur la dynamique des titres
En absence d’opportunit´es d’arbitrage, les rendements des titres du march´e ne sont pas quelconques.
Ils traduisent l’id´ee que plus un titre est risqu´e, plus son rendement doit ˆetre ´el´ev´e, pour justifier qu’il soit conserv´e dans les strat´egies de portefeuille.
Avant d’´etablir de telles propri´et´es, nous d´egageons quelques propri´et´es de´eduites de l’absence d’arbitrage sur les valeurs des portefeuilles autofinan¸cants
Proposition 5.3.1 Supposons le march´e viable, sans arbitrage.
– la valeur pr´esente d’un portefeuille admissible ayant des flux positifs dans le futur est positive `a toute date interm´ediaire.
– deux portefeuilles admissibles qui ont la mˆeme valeur `a la dateT p.s., ont la mˆeme valeur financi`ere
`
a toute date interm´ediairet p.s.
Preuve: Montrons ces proprit´es tr`es utiles dans la pratique
⇒ Soitδune strat´egie admissible telle que VT(δ)≥0 p.s.
D´esignons parAl’ensembleA={V0(δ)<0}
Soitλla strat´egie autofinan¸cante∈ A, correspondant `a un investissement initial deV0(δ) dans l’actif S0. S’il n’y a pas de transaction entre 0 etT, enT la valeur de cette strat´egie estVT(λ) =V0(δ)SST00
0 ≤0 La strat´egie Λ qui vaut 0 surAc etδ−λsurAest admissible ; c’est une opportunit´e d’arbitrage siA n’est pas n´egligeable (A6∈ N) car :
V0(Λ) = 0
VT(Λ) = 1A[VT(δ)−VT(λ)]
VT(δ)−VT(λ) > 0 sur A
⇒ On montre de mˆeme que siVT(δ)≤0 p.s. alorsV0(δ)≤0 p.s. Cette propri´et´e entraˆıne bien sˆur l’´egalit´e de la valeur pr´esente de deux portefeuilles ayant mˆemes flux terminaux, puisque leur diff´erence est une strat´e gie de portefeuille admissible.
Le raisonnement ci-dessus s’adapte sans difficult´e `a toute date interm´ediairet.
Rendement des titres et Primes de risque
La cons´equence fondamentale de l’absence d’opportunit´e d’arbtrage est la contrainte de rendement qui porte sur les prix de march´es des titres de base ou des portefeuilles.
Th´eor`eme 5.3.2 Soit un march´e d’Itˆo viable.
i) Deux portefeuilles admissibles et sans risque ont le mˆeme rendement instantan´ert.
ii) Il existe un vecteur al´eatoire adapt´e λt `a valeurs dans Rk, appel´e prix du march´e du risque ou primes de risque tel que :
dSti=Sti[rt dt+ Xk j=1
σji(t) (dcWtj+λjtdt)] (5.3.1) Le rendement local esp´er´e bt des titres risqu´es v´erifie :
bt=rt1+σtλt dP×dt p.s.
Un processus Vt est la valeur financi`ere d’une strat´egie δadmissible si et seulement si il satisfait `a : dVt=Vt rt dt+<(δS)t, σt(dcWt+λtdt)> (5.3.2) et aux conditions d’int´egrabilit´e ERT
0 Vt2dt+|(δS)t|2dt <+∞
Remarque 5.3.1 Il est en g´en´eral accept´e que les investisseurs ont de l’aversion pour le risque. En d’autres termes, il faut que le rendement des titres risqu´es soit sup´erieur `a celui des titres sans risque, pour qu’ils soient conserv´es. Les prix d’´equilibre des produits risqu´es font apparaˆıtre une prime de risque, qui est l’´ecart entre le rendement instantan´ebt de l’actif et le rendement du produit sans risque rt. Par contre, dans une ´economie neutre pour le risque, tous les titres ont le mˆeme rendement ´egal au taux d’int´erˆet du march´e.
Preuve: Nous commen¸cons par montrer la premi`ere propri´et´e.
⇒ Soitδune strat´egie admissible et sans risque, de valeur initialeV0. La strat´egieVt−V0St0=Vt(˜δ) est autofinan¸cante, admissible, de valeur initiale nulle, et sans risque, c’est `a dire `a variation finie.
La strat´egiebδd´efinie parδbt =1{Vt(tildeδ)>0}˜δt est autofinan¸cante et financeVT(˜δ)+ puisque, d’apr`es la formule de diff´erentiation compos´ee pour les fonctions `a variation finie
dVt(˜δ)+=1{Vt(˜δ)>0}dVt(˜δ) =1{Vt(˜δ)>0} <δ˜t, dSt>=<δbt, dSt>
D’autre partVt(˜δ)+ =1{Vt(˜δ)>0}<δ˜t, St>=<δbt, St>
C’est donc une opportunit´e d’arbitrage siP(VT(δ)+6= 0)>0.
Le cas n´egatif est trait´e de la mˆeme fa¸con.
Ainsi, p.s.VT(δ) = 0 et cette propri´et´e est valable pour toutT.
⇒ Montrons la propri´et´e des rendements. Siσt est inversible, le r´esultat est ´evident puisqu’alors il existe un seul vecteurλt tel que :bt =rt+σtλt.
Sinon, construisons `a partir d’une richesses initiale nulle, une strat´egieδ, adapt´ee et born´ee, telle que pour tout t, (δS)t soit dans le noyau deσ∗t dP×dt p.s. La valeur du portefeuilleVt(δ) autofinan¸cant, associ´e `a cette strat´egie satisfait
dVt(δ) =rtVt(δ)dt+<(δS)t, bt−rt1> dt
Il s’agit d’un portefeuille admissible3, p.s. sans risque, donc de rendementrt, par absence d’opportunit´e d’arbitrage. Mais ceci entraˆıne que :
<(δS)t, bt−rt1>≡0 dP×dt p.s
Comme cette propri´et´e est vraie pour tous les (δ S)t, (δ(t) born´e) dans le noyau de σ∗t, bt −rt1 appartient n´ecessairement `a l’image deσt dP×dt p.s. L’existence d’un vecteurλt v´erifiant de bonnes propri´et´es de mesurabilit´e est la cons´equence d’un th´eor`eme ”dit” de s´election (assez complexe `a
´etablir en toute g´en´eralit´e). Il existe donc un vecteurλt adapt´e tel que bt =rt1+σtλt dP×dt p.s.
⇒ Revenons `a l’´etude d’un portefeuille autofinan¸cant et admissible. Sa valeur financi`ere est compl´etement caract´eris´ee par l’´equation (5.2.10). Il suffit de remplacer le vecteurbt par son expression en fontion dert et de la prime de risque pour avoir la formulation ´equivalente de la proposition.
Les conditions d’int´egrabilit´e expriment que la strat´egieδest admissible.