Evaluation forward

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La deuxi`eme ´etape est l’´evaluation et la couverture de ces flux, pay´es dans le futur, et donc `a priori soumis au rique de taux.

Lorsque les flux sont connus, comme par exemple dans le cas des obligations, la connaissance des prix des z´ero-coupon aujourd’hui suffit `a d´eterminer sous l’hypoth`ese d’AOA la valeur financi`ere de tels titres. En particulier le prix `a la date td’une obligation est donn´e par

Ot = XN i=1

CiB(t, Ti) (10.4.1)

Si les flux sont al´eatoires, notamment par exemple pour une obligation `a taux variable, ou dans la branche variable d’un Swap, il est souhaitable d’obtenir une rep´esentation du prix `a la date t par une relation similaire, ce qui revient `a remplacer le flux al´eatoire (Xi, Ti) par un son ”´equivalent certain ” vu de la datet.

En d’autre terme, cela revient `a fixer `a la date tle prix auquel on serait prˆet `a financer le flux al´eatoire Xi enTi. Mais c’est exactement la d´efinition du prix `a terme n´egoci´e ent, dont nous noterons le cours Φt(Xi, Ti), calcul´e de mani`ere `a donner une valeur financi`ere nulle au contrat `a terme `a la date t de n´egociation. Le prix d’une obligation `a flux ´eventuellement variable est alors

Ot= XN i=1

Φt(Xi, Ti)B(t, Ti) (10.4.2)

10.4.1 Exemples de contrats dont l’´ evaluation ne demande pas de mod` ele Contrat forward sur un actif financier

LorsqueXT est la valeur en T d’un actif S , c’est `a dire lorsqu’on ´ecrit un contrat forward sur un actif qui ne paye pas de dividende, nous avons vu que par un petit raisonnement d’arbitrage

Φt(ST, T) = St

B(t, T) (10.4.3)

En particuler, le montant `a investir en T pour se garantir 1F F pay´e en T+θpeut ˆetre ´evalu´e entcomme le prix d’un contrat forward sur le z´ero-couponBt(T, T+θ), soit B(t,TB(t,T)+θ).

Le taux de rendement lin´eaire de cette op´eration est le taux forward lin´eaireLt(T, θ).

Contrat forward sur un taux pr´ ed´ etermin´ e

Consid´erons un taux variable pr´ecompt´e de h intervenant dans les flux d’une obligation `a taux variable, ou dans la branche variable d’un Swap.

Si le taux lin´eaire,L(T−h, T) est pay´e enT, l’´equivalent certain de ce taux est le taux lin´eaire forward entre les datesT−het T.

Φt(L(T −h, h), T) =Lt(T−h, h) (10.4.4) Preuve: En effet, consid´erons un investisseur qui cherche `a se garantir un revenu enT associ´e au placement de 1Euro`a la dateT−h. Le flux al´eatoire garanti est

1 +hL(T−h, h))

Mais un contrat `a terme sur la mˆeme op´eration lui garantit enT le paiement associ´e au taux `a terme 1 +hLt(T −h, h)

Ces deux op´erations `a terme garantissent le mˆeme flux en T−h, elles ont donc la mˆeme valeur aux dates interm´ediaires, soit

1 +hΦt(L(T−h, h), T) = 1 +hLt(T−h, h) = B(t, T −h) B(t, T) En terme de taux d’int´erˆet, cel`a s’exprime par

Φt(L(T−h, T), T) =Lt(T−h, h) (10.4.5)

Calcul du taux de Swap

La branche variable d’un taux de Swap est donc donn´ee par branche variablet =

XN i=1

B(t, Ti)δΦt(L(Ti1, δ), T) (10.4.6)

= XN i=1

B(t, Ti)[B(t, Ti1)

B(t, Ti) −1] =B(t, T0)−B(t, TN)

Cette remarque jointe au fait que la valeur d’un Swap est nulle au moment de la signature du contrat, conduit `a la caract´erisation suivante du taux de Swap

TtSW(T0, TN) = B(t, T0)−B(t, TN) PN

i=1B(t, Ti) (10.4.7)

Contrat ` a terme sur le taux court

Supposons maintenant que le taux de r´ef´erence pay´e enT soit le taux courtrT, c’est `a dire aussi la limite quand h tend vers 0 deL(T−h, T). De mˆeme , le taux spot forwardf(t, T) est la limite des taux forwardsLt(T−h, T). Ces taux sont donc li´es par

Φt(rT, T) =f(t, T) (10.4.8)

10.4.2 March´ e ` a terme et probabilit´ e forward neutre

Dans le cas g´en´eral, un flux al´eatoireXT vers´e `a l’´ech´eanceT est ´evalu´e suivant le principe habituel de l’´evaluation d´egag´e dans le Chapitre 4 sous le nom d’´evaluation risque-neutre, comme la valeur moyenne sous la probabilit´e risque neutre du flux terminal actualis´e

Πt(XT) =EQt[exp−( Z T

t

rsds) XT] (10.4.9)

Il faut donc `a priori mod´eliser les corr´elations entre les taux et les flux al´eatoires. De mˆeme le contrat forward se calcule comme

Φt(XT) =Πt(XT)

B(t, T) = EQt[exp−RT

t rsds XT] EQt[exp−RT

t rsds] (10.4.10)

Ainsi, de mˆeme que le prix s’´ecrit comme une esp´erance, de mˆeme le contrat forward s’´ecrit comme une esp´erance par rapport `a la probabilit´e appel´eeforward-neutreet not´eeQT.

Φt(XT) =EQtT[XT] (10.4.11)

Dans ce cadre, les instruments de couverture seront naturellement les contrats forwards de la maturit´e T.

Nous avons plusieurs mani`eres de caract´eriser cette probabilit´e forward :

– En calculant sa densit´e par rapport `a la probabilit´e risque-neutreQ, grˆace `a la comparaison des deux formules d’´evaluation (10.4.9) et (10.4.11).

dQT

dQ =exp−RT 0 rsds

B(0, T) b (10.4.12)

L’´equation des prix z´ero-coupons, jointe `a la condition B(t,t) =1 entraine que cette densit´e est une martingale exponentielle, associ´ee au vecteur de volatilit´e du z´ero-coupon de maturit´eT.

dQT dQ = exp

Z T 0

Γ(s, T)dWs−1 2

Z T

0 |Γ(s, T)|2ds (10.4.13) – En ´ecrivant que sous la probabilit´eQT, la dynamique des contrats forwards B(t,TB(t,T+θ)) d´eduites des

´equations de chapitre pr´ec´edent a un rendement instantan´e nul.

On voit alors facilement que

WtT =Wt− Z t

0

Γ(s, T)ds (10.4.14)

doit ˆetre un QT mouvement brownien.

La probabilit´e forward QT est la probabilit´e risque-neutre attach´ee au choix de l’argent de la date T comme num´eraire, dont la valeur en testB(t, T)

L’´equation d’´evaluation montre que tous les contrats forwards ont des prix martingales (locales) par rapport `a la probabilit´e forward. En particulier, la relation (10.4.8) montre que le spot forward est une martingale.

10.4.3 Correction de convexit´ e pour les contrats forwards

Nous avons vu que le contrat forward associ´e `a un taux pr´ed´etermin´e est le taux forward. Lorsqu’il n’y a pas ad´equation entre le p´eriode qui s´epare les dates de paiement et la maturit´e du taux, on doit corriger le taux forward pour avoir la valeur du contrat forward, qui jouera un rˆole d´eterminant dans la th´eorie des options.

Les formules g´ en´ erales

L’une des caract´eristiques des produits de taux d’int´erˆet est le fait que le taux pay´e `a une date donn´ee est souvent connu en avance. Plus g´en´eralement, cela revient `a consid´erer un flux al´eatoire, connu `a la dateT,XT, et pay´e `a une date futureT+h. Dans le cas des taux par exemple, on connait l’esp´erance de cette variable sous QT+h et on voudrait la connaitre sousQT. Plus g´en´eralement, on peut ˆetre int´eress´e

`

a connaitre la distribution sousQT, connaissant celle sousQT+h.

Le r´esultat g´en´eral suivant donne une intuition de la nature de la correction.

Th´eor`eme 10.4.1 Evaluation en retard

Soit XT une v.a. FT-mesurable. La valeur du contrat `a terme d’´ech´eance T diff`ere de celle d’´ech´eance T+hpar :

EQtT[XT] =EQtT+h[XT] + covQtT+h

XT, hL(T, h) 1 +hLt(T, h)

(10.4.15) La covariance est une covariance globale et non locale.

Plus g´en´eralement, la densit´e de probabilit´e de QT par rapport `aQT+h, sur la tribuFT est donn´ee par dQT

dQT+h

= 1 +hL(T, h)

1 +hLt(T, h) (10.4.16)

Evaluation en avance

SoitXT une v.a. FT-mesurable.

EQtT−h[XT] =EQtT[XT] + Z T

Th

covQts(XT, rs)ds (10.4.17) En particulier, le prix d’un contrat future diff`ere du prix forward par

EQt[XT] =EQtT[XT] + Z T

0

covQts(XT, rs)ds (10.4.18) Preuve:

⇒ Par construction des probabilit´esQT etdQT+h, nous avons EQtT[XT] = B(t, T +h)

B(t, T) EQtT+h

XTB(T, T+h)1

= EQtT+h

XT 1 +hL(T, h) 1 +hLt(T, h)

= EQtT+h[XT] + covQtT+h

XT, 1 +hL(T, h) 1 +hLt(T, h)

⇒ Si maintenant on s’int´eresse `a l’´evaluation d’un taux connu seulement dans le futur, par rapport `a la date de maturit´e du contrat, c’est `a dire `a un flux qu’on constatera plus tard Le plus simple est de

tout ramener `a la probabilit´e risque neutre en notant que la diff´erence des densit´es deQT et deQTh

peut s’´ecrire dQT

dQ −dQTh

dQ |Ft = e tT−h(rsf(t,s))ds

e T−hT (ruf(t,u))du−1

= e tT−h(rsf(t,s))ds

"

− Z T

Th

e Ts−h(ruf(t,u))du(rs−f(t, s))ds

#

= −

Z T Th

e ts(ruf(t,u))du(rs−f(t, s))ds

Il suffit de prendre l’esp´erance de la variableXT par rapport `a ces deux probabilit´es, pour obtenir la formule du th´eor`eme, en utilisant que l’esp´erance forward du taux spot est le spot forward.

Exemple 10.4.1 Nous consid´erons le paiement `a la dateT d’un taux connu en T −h et de maturit´e h+δ. Le contrat forward sur le taux associ´e au paiement en T+δ est connu comme le taux forward Lt(T −h, h+δ).

La correction de convexit´e conduit `a

EQtT[L(T−h, h+δ)] =Lt(Th, h+δ) + covQtT+h[L(T −h, h+δ), hL(T, h)

1 +hLt(T, h)] (10.4.19)

10.4.4 Correction de convexit´ e lorsque les volatilit´ es sont d´ eterministes

Hypoth`ese

Les volatilit´es des z´ero-coupon sont des fonctions d´eterministes.

Les z´ero-coupon sont log-normaux et les taux continus, dont les taux spot forwards sont gaussiens.

Ces propri´et´es sont conserv´ees sous toutes les probabilit´es forwards. De plus dans l’´evaluation des moments des variables gaussiennes, les structures de variance et covariance ne d´ependent pas de la probabilit´e de r´ef´erence. Une application imm´ediate de cette remarque et des r´esultats ci-dessus est la proposition suivante

Proposition 10.4.1 Correction des taux continus

Sous la probabilit´e QT, les taux instantan´es ont comme esp´erance :

EQT(R(T, θ)) =R0(T, θ) +θ

2var(R(T, θ)) (10.4.20)

Sous la probabilit´e QT+h, les taux instantan´es ont comme esp´erance :

EQT+h(R(T, θ)) =EQT(R(T, θ))−hcov(R(T, θ), R(T, h)) (10.4.21)

10.4.5 Options sur z´ ero-coupon et caplet Option sur z´ ero-coupon

On consid`ere un Call de strikeK et de maturit´eTC, sur le z´ero-couponB(t, T), T ≥TC. Son prix `a l’instanttest donn´e par

Ct(TC, K, T) =B(t, TC)EQTC (B(TC, T)−K)+

(10.4.22)

Sous la probabilit´e QTC, le contrat forward Bt(TC, T) = B(t, T)

B(TC, T) est une martingale de vecteur de volatilit´e Γ(t, T)−Γ(t, TC). Dans le cas o`u ces volatilit´es sont d´eterministes, on peut appliquer la formule de Black, qui donne le prix sous la forme

Ct(TC, K, T) = B(t, T)N(d1)−KB(t, TC)N(d0) (10.4.23)

d1 = 1

Σt,TC

√TC−tLog B(t, T) KB(t, TC)

+1 2Σt,TC

pTC−t

d0 = d1−Σt,TC

pTC−t

t,TC|2 = Z TC

t |Γ(s, T)−Γ(s, TC)|2ds (10.4.24)

La couverture se fait `a partir deN(d1) z´ero-coupon de maturit´eT etN(d0) z´ero-coupon de maturit´eTC.

Caplet

Un caplet de strike et de maturit´eT est un produit d´eriv´e qui garantit la possibilit´e d’emprunter en TC au taux Euribor de maturit´eδ au niveau maximum deK. Le flux garanti est δ(L(TC, δ)−K)+ en TC+δ. Mais l’op´eration est ´equivalente `a acheter enTCune option de vente sur z´ero-coupon de maturit´e T de strike 1+δK1 , en nombre 1 +δK.

C’est donc un Put sur un z´ero-coupon , que nous pouvons ´evaluer de mani`ere tr`es similaire.

Le march´e, comme nous le verrons dans le chapitre suivant travaille plutˆot avec une mod´elisation log-normale du taux Euribor, ce qui l’am`ene `a appliquer la formule de Black et Scholes au taux forward directement.

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