7.4 Mod´elisation des prix `a terme de mati`eres premi`eres
7.4.1 Un exemple simple de mod`ele de courbe : le mod`ele de Schwartz 1-facteur 139
Le mod`ele 1-facteur de Schwartz suppose que la courbe de prix `a terme suit la diffusion HJM suivante : dF(t, T) =σexp−α(T−t)F(t, T)dWt (7.4.1) o`uW est un mouvement brownien sous la probabilit´e risque-neutre. Il s’agit d’un mouvement brownien g´eom´etrique g´en´eralis´e dont la fonction de volatilit´e cherche `a capturer l’effet Samuelson d´ecrit plus haut.
On en d´eduit la dynamique du prix au comptant :
dSt = α(θ(t)−lnSt)Stdt+σStdWt (7.4.2) θ(t) = lnF(0, t) + 1
α
∂lnF(0, t)
∂t +σ2
4α(1−exp−2αt) (7.4.3) On retrouve alors une version g´en´eralis´ee du mod`ele de Schwartz spot 1-facteur, o`u le prix d’´equilibre (ici θ(t)) est suppos´e constant au cours du temps. Ce dernier mod`ele avait le d´efaut de ne g´en´erer que des courbes monotones par rapport aux maturit´es des prix `a terme. En partant d’un mod`ele de courbe, on peut ainsi couvrir une classe plus vaste de courbes (notamment le cas avec saisonnalit´e des prix).
On remarque ainsi que le param`etreα, capturant l’effet Samuelson dans (7.4.1), correspond au param`etre de retour `a la moyenne du prix au comptant dans (7.4.2). Le ph´enom`ene de retour `a la moyenne du prix spot se retrouve alors dans la volatilit´e des prix `a terme.
7.4.2 Exemple de mod` ele spot 2-facteurs : les mod` eles de Gibson-Schwartz et Schwartz-Smith
Il s’agit en fait de deux sp´ecifications diff´erentes du mˆeme mod`ele. Nous les pr´esentons successivement.
Le mod`ele de Gibson et Schwartz, introduit dans [5], est un exemple classique de mod`ele spot `a deux facteurs. Le prix spot suit un mouvement brownien g´eom´etrique et le rendement d’opportunit´e instantan´e suit un processus d’Ornstein-Uhlenbeck :
dSt = µStdt+σStdWt1 (7.4.4)
dδt = κ(¯δ−δt)dt+σδdWt2 (κ >0) (7.4.5)
hdW1, dW2it = ηdt (7.4.6)
Les auteurs supposent que le produit physique spot est directement ´echang´e. Par contre, le rendement d’opportunit´e n’est pas ´echang´e ; la probabilit´e risque neutre n’est alors pas unique et d´epend de l’aversion
au risque. Une fois celle-ci sp´ecifi´ee, la dynamique ajust´ee au risque s’´ecrit :
dSt = (r−δt)Stdt+σSStdW˜t1 (7.4.7) dδt = (κ(¯δ−δt)−λδ)dt+σδdW˜t2 (7.4.8)
hdW˜1, dW˜2it = ηdt (7.4.9)
o`u le taux court est suppos´e constant etλδ est la prime de risque li´ee au rendement d’opportunit´e, sup-pos´ee constante.
Le mod`ele de Schwartz et Smith [15] propose une autre approche qui consiste `a d´ecomposer le prix spot en un prix court terme et un prix long terme. Le log-prix court terme est mod´elis´e par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec une moyenne nulle, refl´etant ainsi les d´eviations du prix spot autour d’un prix long terme qui est mod´elis´e par un mouvement brownien g´eom´etrique :
lnSt = ct+lt (7.4.10)
dct = −αctdt+σcdWt1 (α >0) (7.4.11)
dlt = µldt+σldWt2 (7.4.12)
hdW1, dW2it = ρdt (7.4.13)
Comme aucune des deux variables d’´etat ne correspond `a un actif directement ´echang´e, le passage `a la probabilit´e risque-neutre requiert ici aussi la sp´ecification d’une prime de risque pour chacune d’elles, not´eesλc etλl,et suppos´ees constantes. La dynamique s’´ecrit alors :
dct = (−αct−λc)dt+σcdW˜t1 (7.4.14) l.t = (µl−λl)dt+σldW˜t2 (7.4.15)
hdW˜1, dW˜2it = ρdt (7.4.16)
On constate que les mod`eles sont ´equivalents en identifiant les coefficients :
κ = α
σS = q
σ2c+σ2l + 2ρσcσl
σδ = ασc
η = σc+ρσl
σS
r−σ2S
2 −δ¯ = µl−λl−λc
λδ = αλc
On suppose les taux d’int´erˆet d´eterministes, de sorte que prix `a terme et prix futures soient ´equivalents.
Choisissant la sp´ecification de Schwartz et Smith, la courbe de prix `a terme g´en´er´ee par le mod`ele a la forme analytique suivante :
lnF(0, T) = exp−αTc0+l0+A(T) A(T) = (µl−λl)T−(1−exp−αT)λc
α +1
2
(1−exp−2αT)σc2
2α+σ2lT+ 2(1−exp−αT)ρσcσl
α
Pour plus de d´etails et une discussion, se reporter `a [15].
Bibliographie
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[2] Clewlow L. & C.Strickland(2000) : Energy Derivatives, Pricing and Risk Management,Lacima Publications.
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[7] Lauthier D. & Y.Simon(2001) : March´es d´eriv´es de Mati`eres Premi`eres et Gestion du Risque de Prix,Economica.
[8] Lauthier D. (1998) : Les op´erations de Metallgesellschaft sur les march´es `a terme de produits p´etroliers : sp´eculation ou couverture ?Finance Contrˆole Strat´egie, vol.1 no.3.
[9] New York Mercantile Exchange: A Guide to Energy Hedging.
[10] New York Mercantile Exchange: Crack Spread Handbook.
[11] New York Mercantile Exchange: Risk Management with Natural Gas Futures and Options.
[12] Schwartz E.(1997) : The Stochastic Behavior of Commodity Prices : Implications for Valuation and Hedging,Journal of Finance.
[13] Schwartz E.(1998) : Valuing Long-Term Commodity Assets,Financial Management, vol.27 no.1.
[14] Schwartz E. & K.R.Miltersen(1998) : Pricing of Options on Commodity Futures with Stochas-tic Term Structures of Convenience Yields and Interest Rates,Journal of Financial and Quantitative Analysis.
[15] Schwartz E. & J.E.Smith(2000) : Short-Term Variations and Long-Term Dynamics in Commo-dity Prices,Management Science, vol.46, no.7.
[16] Sikorzewski W.: Les Op´erations de Manipulation des March´es `a Terme des Mati`eres Premi`eres au XIX`eme Si`ecle,document de travail.
[17] Thille H.: Future-Spot Spread as Returns on Commodity Loans,document de travail.
[18] Unger G.(2002) : Real Options and Flexibility in Power Production,technical paper.
Annexe 1 : application ` a la valorisation des options r´ eelles
De nombreux actifs physiques peuvent ˆetre valoris´es de mani`ere similaire aux options financi`eres, car leur utilisation s’apparente `a l’exercice d’une ou plusieurs options. De plus, une telle m´ethode de
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valorisation permet de d’optimiser la gestion de tels actifs. Les m´ethodes classiques de valorisation des options financi`eres ne peuvent cependant pas s’appliquer directement pour deux principales raisons :
– La valorisation d’un actif physique est beaucoup plus complexe que celle d’une option financi`ere en raison de l’existence de contraintes op´erationnelles et d’une marge d’incertitude quant `a la quantit´e qu’un tel actif peut produire et sous quelles conditions il sera effectivement ”exerc´e”. Certaines de ces conditions peuvent cependant parfois ˆetre n´eglig´ees, en contreparties de quoi la valorisation se doit d’ˆetre conservatrice.
– La condition fondamentale d’abscence d’arbitrage n’est pas v´erifi´ee car le sous-jacent (l’actif phy-sique) n’est en g´en´eral pas ´echang´e. Pour l’appliquer, il est n´ecessaire de trouver un actif ´echang´e dont la valeur est parfaitement corr´el´ee `a celle de l’actif physique, ce qui n’est en g´en´eral pas le cas.
On peut cependant en pratique s’approcher d’une telle condition pour une certaine classe d’actifs, en particulier ceux produisant un produit pour lequel il existe un march´e cot´e. Par exemple, la valeur d’un puits de p´etrole est directement li´ee au revenu tir´ee de sa production de p´etrole, dont on peut observer les prix `a terme sur le march´e.
Le tableau ci-dessous donne des exemples d’actifs physiques avec les classes d’options auxquelles ils s’apparentent.
Tab. 7.1:Exemples d’options r´eelles
Actif physique Option correspondante Condition d’exercice Puits de p´etrole S´erie de calls Production lorsque le prix du
p´etrole est sup´erieur au coˆ ut d’extraction
G´en´erateur ´electrique S´erie d’options sur spark spread
Production lorsque la diff´erence de prix entre le gaz naturel et l’´electricti´e est sup´erieure au coˆ ut de g´en´eration (heat rate)
R´eseau de transport ou de transmission
S´erie d’options sur spread g´eographique
Le r´eseau est utilis´e si le profit
g´en´er´e par l’achat et la vente
du produit aux deux points est
sup´erieur au coˆ ut du transport
Mine de cuivre S´erie de calls Extraction lorsque le prix du
cuivre est sup´erieur au coˆ ut
d’exploitation
Annexe 2 : liste des abr´ eviations
Abr´eviation Nom du march´e
CBOT Chicago Board of Trade CME Chicago Mercantile Exchange
COMEX Commodity Exchange
EEX European Energy Exchange IPE International Petroleum Exchange
LIFFE London International Financial Futures and Options Exchange LNBMA London Bullion Market Association
LME London Metal Exchange
MATIF March´e `a Terme International de France
NEMMCO National Electricity Market Management Company Limited NYBOT New York Board of Trade
NYMEX New York Mercantile Exchange TOCOM Tokyo Commodity Exchange
LES MOD` ELES CLASSIQUES DE TAUX
L’´etude de la structure par terme des taux d’int´erˆet est d’une grand importance pratique, qui r´ev`ele les anticipations des agents sur les risques `a venir. En particulier, la compr´ehension des d´eformations de la courbe permet d’asseoir une strat´egie de gestion de tr´esorerie (choix de la dur´ee de placement, sp´eculation sur la structure des taux, ´el´ements de couverture). La volatilit´e accrue des taux d’in´erˆet rend techniquement tr`es important tout progr`es allant dans le sens d’une plus grande maitrise de ces probl`emes.
Mod´eliser les d´eformations futures de la courbe des taux est un enjeu majeur dans de nombreux domaines de la finance, tant pour g´erer les risques de taux affectant le bilan des banques, que pour ´evaluer et couvrir les nombreux produits financiers auxquels recourent les march´es pour faire face au risque de taux et plus g´en´eralement de change.
8.1 La formation des taux d’int´ erˆ et
Pr´ecisons1la formation des taux d’int´erˆet. Les taux court terme sont d´etermin´es par la politique mon´etaire des banques centrales. Par contre, les taux long terme sont d´etermin´es par l’´equilibre entre prˆeteurs et emprunteurs.