3.2 Formalisation et mise en œuvre
3.2.2 S´election des points de vue directionnels
Nous avons expos´e l’int´erˆet de combiner diff´erents points de vue sur une relation spatiale pour enrichir la pr´ecision de sa description et nous venons de montrer comment l’information sur une relation spatiale peut ˆetre prise en compte au niveau d’un point de vue grˆace `
a l’apprentissage d’une fonction de composition. Nous nous int´eressons maintenant `a la question du choix des points de vue. Sous quels angles faut-il analyser une relation spatiale pour en offrir la meilleure description possible ?
L’id´ee de notre mod´elisation est de repr´esenter l’information sur la relation spatiale au niveau de chaque point de vue en limitant les zones directionnelles acceptables (en ´eliminant les zones inacceptables). C’est l’intersection de plusieurs points de vue qui doit apporter la pr´ecision finale du mod`ele. Il faut donc choisir un ´eventail de directions (points de vue) permettant de d´ecrire des relations riches par intersection. La question de la compl´emen- tarit´e des directions choisies est donc essentielle. Nous proposons ici d’abord une strat´egie g´en´erique qui fournit des jeux de points de vue utilisables pour la description de relations spatiales en g´en´eral. Des strat´egies alternatives sont ensuite pr´esent´ees pour r´epondre `a des probl`emes plus sp´ecifiques comme par exemple l’identification automatique de relations spatiales.
3.2.2.1 Strat´egie g´en´erique
L’objectif d’une s´election g´en´erique de points de vue est de permettre la description de relations spatiales aussi vari´ees que possibles, sans limiter ni favoriser certaines directions de l’espace. C’est bien sˆur une r´epartition r´eguli`ere des directions sur les angles entre 0 et 2π qui permet la meilleure couverture de toutes les directions du plan.
Choix des directions Il est important de bien couvrir toutes les directions de [0; 2π] et non seulement les directions du demi-espace orient´e par [0; π] car les points de vue oppos´es apportent une information compl´ementaire et non pas redondante. En d’autres termes, on n’a pas acc`es `a la mˆeme information sur la relation spatiale analys´ee selon le point de vue de direction α et le point de vue oppos´e, de direction α + π. Pour s’en convaincre, on peut consid´erer les exemples de la figure 3.9. Dans le premier exemple, un objet cible est situ´e compl`etement `a droite de son objet de r´ef´erence 3.9(a). Cette relation spatiale est analys´ee sous les points de vue oppos´es `a droite de et `a gauche de. Dans chaque cas, le mod`ele spatial appris par la m´ethode expos´ee pr´ec´edemment est appliqu´e sur l’objet de r´ef´erence. Le premier d´ecrit que l’objet cible est compl`etement `a droite de la r´ef´erence 3.9(b). Le second d´ecrit que l’objet cible n’est pas du tout `a gauche de la r´ef´erence 3.9(c). Bien que partiellement redondants, les deux mod`eles spatiaux ne sont pas identiques et aucun des
deux n’est inclus dans l’autre. Dans le second exemple de la figure 3.9, une paire d’objets qui s’intersectent est consid´er´ee 3.9(d). Les deux points de vue consid´er´es sont en haut (e) et en bas (f). On voit que les informations d´ecrites selon les deux points de vue sont tr`es compl´ementaires car la forme des deux mod`eles spatiaux est tr`es diff´erente. Cela est dˆu au fait que, par d´efinition de l’op´eration de dilatation morphologique, ce ne sont pas les mˆemes points de la r´ef´erence qui permettent de dire qu’un point p du plan est en haut ou en bas de la r´ef´erence R. En particulier, les points de l’objet cible sont `a la fois en haut de la partie inf´erieure de R et en bas de la partie sup´erieure de R.
(a) exemple 1 (b) `a droite (c) `a gauche
(d) exemple 2 (e) en haut (f) en bas
Figure 3.9: Compl´ementarit´e des points de vue oppos´es. Pour l’exemple 1 (a), les mod`eles spatiaux appris selon les points de vue `a droite (b) et `a gauche (c) comportent une part d’information compl´ementaire, car ce ne sont pas les mˆemes portions de la r´ef´erence qui servent de support `a la description selon ces deux directions. Il en va de mˆeme pour l’exemple 2 (d) avec les points de vue en haut (e) et en bas (f).
Nombre de directions Si le nombre de points de vue participant `a un mod`ele n’est pas contraint dans la d´efinition donn´ee au paragraphe3.2.1.1, il est souhaitable en pratique de le limiter `a un nombre r´eduit (de l’ordre d’une dizaine au maximum). En effet, la complexit´e du mod`ele et surtout le coˆut de son exploitation augmentent lin´eairement avec le nombre de points de vues. Un compromis est donc n´ecessaire entre la pr´ecision permise par la multiplicit´e des points de vue d’une part, la simplicit´e et la performance d’exploitation du mod`ele d’autre part. En pratique, quatre ou huit axes directionnels semblent constituer de bons compromis.
Quatre axes cardinaux Finalement, le choix le plus naturel consiste `a consid´erer quatre axes orient´es vers les quatre points cardinaux Nord, Sud, Est et Ouest, qui sont aussi d´e- nomm´es par les termes linguistiques haut, bas, gauche et droite. La figure3.10(a)repr´esente ces quatre directions. Dans ce cas, on a donc α0 = 0, α1= π/2, α2 = π et α3 = 3π/2.
La compl´ementarit´e de ces quatre points de vue est confirm´ee par la forme des quatre ´el´ements structurants directionnels correspondants. Pour rappel, un ´el´ement structurant
α
0α
1α
2α
3(a) Quatre points de vue
angleop~ d eg r´e d ’a p p ar te n an ce 0 π/2 π 3π/2 2π 0 1 να0(p) να1(p) να2(p) να3(p)
(b) Partition floue forte
Figure 3.10: (a) Quatre points de vues orient´es selon les directions cardinales. (b) Les quatre ´el´ements structurants associ´es forment une partition floue forte dans le plan lorsque l’objet de r´ef´erence est r´eduit `a un point
directionnel orient´e par une direction α est d´efini par un sous-ensemble flou dans le plan, dont le support est le demi-plan orient´e par α (voir ´equation (3.3)). En imaginant le cas limite o`u l’objet de r´ef´erence est r´eduit `a un point unique, les quatre dilatations obtenues par les quatre ´el´ements structurants forment une partition floue forte du plan. Une partition floue forteest d´efinie par des ensembles flous (µi)i du mˆeme domaineX tels que (voir pour
plus de d´etails [BMM03]) :
∀x ∈ X ,X
i
µi(x) = 1.
Cette propri´et´e garantit que tout point du plan peut ˆetre compl`etement d´ecrit par son appartenance `a un ou plusieurs ´el´ements structurants directionnels, mˆeme dans le cas o`u la r´ef´erence est r´eduite `a un point. La figure3.10(b)permet de s’en rendre compte simplement, en tra¸cant les fonctions d’appartenance aux ´el´ements structurants en fonction de l’angle
~
op (o ´etant le centre des ´el´ements structurants, c’est-`a-dire le point r´ef´erence, et p ´etant n’importe quel point du plan). Le choix des quatre points de vue cardinaux garantit donc une description satisfaisante des positions dans toutes les directions malgr´e un petit nombre de points de vue.
3.2.2.2 Strat´egies alternatives
Des strat´egies alternatives sont imaginables pour la s´election de points de vue diff´erents. Une premi`ere id´ee peut ˆetre d’op´erer une rotation des quatre directions cardinales de fa¸con `
a ce que l’un des points de vue corresponde `a la direction principale de la relation spatiale que l’on cherche `a d´ecrire. On note d’abord que cette notion de direction principale, ou moyenne, entre deux objets, n’a de sens que lorsque les objets sont suffisamment distants (et donc assimilables `a des points), ce qui limite la g´en´ericit´e de cette op´eration. Surtout, le fait d’orienter un des points de vue dans une direction « favorable » pour la relation spatialeR n’apporte aucune garantie de meilleure description, car nous avons montr´e que tout point (et toute direction) de l’espace est d´ej`a suffisamment « couvert » par les ´el´ements structurants cardinaux. En revanche, l’augmentation du nombre de points de vue et leur
R r s p1 r s qh r s qb r s qg r s qd (a) R r s p1 r s qhg rs qhd r s qbg r s qbd (b)
Figure 3.11: Diff´erents jeux de quatre points de vue orient´es diff´eremment peuvent conduire `
a une description diff´erente de la mˆeme relation. Dans le cas (a), le point p est parfaitement `
a droite, en haut et en bas de R, mais pas compl`etement `a gauche. Dans le cas (b), le point est vu parfaitement depuis les quatre points de vue.
sp´ecialisation peut b´en´eficier `a la description en fonction de la forme de l’objet de r´ef´erence. La figure3.11illustre cette influence de la forme de l’objet de r´ef´erence sur la qualit´e de la description offerte par un jeu de points de vue.
Dans le premier cas de figure (image (a)), les quatre points de vue choisis permettent de d´ecrire que le point p est `a l’int´erieur d’une concavit´e de la r´ef´erence R, mais que cette concavit´e n’est pas ferm´ee puisque p n’est pas parfaitement `a gauche de R. Dans le second cas de figure (image (b)), le point est vu comme parfaitement positionn´e par rapport aux quatre points de vue. Il a dans ce cas la mˆeme description que s’il ´etait positionn´e dans une boucle ferm´ee de R.
Le choix des quatre points de vue cardinaux permet d’assurer que tout point du plan est « vu » de la r´ef´erence selon au moins un des points de vue. Il ne permet en revanche pas de garantir la meilleure description quelles que soient la forme de la r´ef´erence et la nature de la relation spatiale.
Une deuxi`eme technique de choix de points de vue est guid´ee par un but plus sp´ecifique. Lorsque le but de l’application est de faire une reconnaissance de relation spatiale, c’est- `
a-dire lorsqu’il faut d´eterminer si une paire d’objets est positionn´ee selon la relation R1
ou R2, la s´election des points de vue peut ˆetre faite en cherchant `a faciliter l’identification
et la discrimination des relations spatiales. Nous pr´esenterons dans la partie exp´erimentale un exemple de s´election de points de vue adapt´ee pour une tˆache de reconnaissance de relations spatiales (voir le paragraphe5.1.4.1). Une telle strat´egie de s´election de directions peut ˆetre mise en place en deux temps. D’abord, `a partir d’une base d’exemples ´etiquet´es (Ai, Ri,Ri) (paires d’objets positionn´es avecRi =R1 ou R2), il est possible d’extraire les
degr´es moyens atteints par les objets Ai par rapport aux Ri selon un grand nombre de
points de vue (αi)i=0..N (avec par exemple N = 16, 32 ou plus). Ces degr´es moyens par
direction peuvent ˆetre consid´er´es comme des caract´eristiques de positionnement relatif et un algorithme de s´election de caract´eristiques peut ˆetre utilis´e pour ne conserver que les n directions les plus discriminantes entre les classesR1 etR2, avec par exemple n = 4. Dans
un second temps, les n directions s´electionn´ees peuvent constituer les points de vue pour l’apprentissage de m´eta-mod`eles de positionnement des deux relations spatiales.
Quel que soit le jeu de points de vue finalement choisi, il est pr´ef´erable qu’il soit commun `a tous les m´eta-mod`eles de positionnement construits dans un mˆeme contexte applicatif, pour des ´evidentes raisons de performance. En effet, la majeure partie de l’effort de calcul d’un mod`ele spatial pour un point de vue r´eside dans le calcul de la dilatation morphologique, qui peut alors ˆetre mis en commun entre tous les m´eta-mod`eles spatiaux appliqu´es `a un mˆeme objet.