Morphologie math´ematique et apprentissage

Comme pr´ecis´e pr´ec´edemment, nous avons choisi de recourir `a la morphologie math´e- matique floue pour la description des relations spatiales. Dans la partie 2.2.3, nous avons montr´e que la description de relations spatiales par morphologie math´ematique utilise l’op´e- ration de dilatation morphologique entre l’objet qui est la r´ef´erence du mod`ele spatial et un ensemble appel´e ´el´ement structurant. C’est l’´el´ement structurant qui param`etre la forme de la relation spatiale d´ecrite par rapport `a la r´ef´erence, et nous avons ´evoqu´e diff´erentes formes d’´el´ements structurants pouvant ˆetre utilis´es pour la description de relations telles que ˆetre `a droite de ou ˆetre proche de. Une strat´egie pour apprendre automatiquement `a g´en´erer des mod`eles spatiaux pour des relations non-linguistiques peut donc passer par la modification des ´el´ements structurants impliqu´es dans les op´erations de dilatation.

Quelques travaux ont explor´e l’id´ee de param´etrer automatiquement des ´el´ements struc- turants `a partir de donn´ees. Les param`etres appris concernent les formes des fonctions floues appliqu´ees sur les mesures d’angles ou de distances dans [AHF+_{07] et [CCB06]. Dans}

le contexte de l’interpr´etation d’images acquises par IRM, il est propos´e de s’appuyer sur les informations de configuration spatiale pour d´etecter des cas pathologiques (en l’occurrence la pr´esence de tumeurs) dans lesquels une d´eviation sensible peut ˆetre d´etect´ee par rapport `

a l’organisation d’un mod`ele g´en´erique sain. Dans ces travaux, des ´el´ements structurants diff´erents sont distingu´es pour l’interpr´etation des cas pathologiques par rapport au cas sains. Les param`etres qui varient entre les mod`eles sont les param`etres des fonctions floues qui d´efinissent la tol´erance de la relation spatiale (de direction ou de distance) d´ecrite. A partir de cas ´etiquet´es comme sains ou non, les moyennes et variances des mesures extrˆemes d’angles et de distances entre les objets positionn´es sont utilis´ees pour adapter les niveaux de tol´erances des deux mod`eles. En revanche, les directions des ´el´ements structurants ne sont pas elles-mˆemes modifi´ees. Il s’agit en fait dans ces travaux d’adapter une connaissance g´en´erique `a la gestion de cas atypiques.

Le probl`eme que nous avons `a r´esoudre est plus ouvert et plus g´en´eral. Puisque l’ap- prentissage du mod`ele de relation spatiale doit ˆetre compl`etement automatique, il n’est pas possible de d´efinir un mod`ele g´en´erique de la relation avant de l’affiner par exemple en apprenant les param`etres des fonctions floues qui le d´efinissent. Il faut donc d´ecouvrir `a partir des exemples les directions et distances d’int´erˆet pour la mod´elisation de la relation. Une strat´egie na¨ıve pour apprendre un ´el´ement structurant mod´elisant une relation spa- tiale pourrait ˆetre de le construire `a partir d’une direction (et ´eventuellement d’une distance)

(a) Exemple d’appren- tissage

(b) El´ement structu-

rant

(c) Mod`ele spatial cor-

respondant

Figure 3.2: Exemple d’apprentissage unique (a) pour le vecteur moyen ~v, ´el´ement struc- turant d´efini par l’´equation (3.1) (b) et mod`ele spatial obtenu (c) pour l’un des objets de r´ef´erence de la figure2.22.

moyenne, associ´ee `a une variance estim´ee sur les exemples d’apprentissage. Supposons, pour simplifier, qu’un vecteur ~v soit le r´esultat de l’apprentissage d’une direction et d’une dis- tance moyennes estim´ees sur un ensemble d’exemples pour la relation spatiale R. ~v peut avoir ´et´e calcul´e simplement comme la moyenne des vecteurs entre les centres des boˆıtes englobantes des objets, `a partir de leurs histogrammes d’angles. . . Un ´el´ement structurant d´efini par ce vecteur pourrait ˆetre le suivant :

νv(p) = h(|| ~op− ~v||), (3.1)

avec h une fonction d´ecroissante dans [0; 1], telle que h(0) = 1, et o le centre de l’´el´ement structurant. Cet ´el´ement structurant est un sous-ensemble flou du plan qui vaut 1 au point p tel que ~op = ~v. Il peut ˆetre interpr´et´e comme un repr´esentant de la relation spatiale ˆetre translat´e de~v par rapport `a. La figure 3.2(a)montre un exemple unique d’apprentissage `a partir duquel un vecteur de d´eplacement ~v peut ˆetre estim´e. L’objet pris pour r´ef´erence est l’un des objets de la figure2.22, repr´esent´e en rouge. La figure3.2(b)repr´esente visuellement l’´el´ement structurant obtenu `a partir ce vecteur moyen. Le point rouge repr´esente le centre de l’´el´ement structurant.

Le mod`ele spatial obtenu par dilatation morphologique d’un objet par cet ´el´ement struc- turant est illustr´e `a la figure 3.2(c), en utilisant le mˆeme objet de r´ef´erence que dans l’exemple d’apprentissage. On peut constater que le mod`ele spatial obtenu n’est pas sa- tisfaisant. Au lieu de livrer une description d’une relation spatiale comme souhait´e, il d´ecrit en pratique une transformation de l’objet de r´ef´erence par une translation floue (d´efinie par le vecteur ~v et la fonction h de l’´equation (3.1)). L’interpr´etation qui peut ˆetre donn´ee au sous-ensemble flou obtenu est ˆetre le point translat´e de ~v d’un point de R, o`u R d´esigne l’objet de r´ef´erence.

L’exemple trivial pr´esent´e au-dessus fournit une mauvaise description de la relation spa- tiale souhait´ee pour deux raisons qui se cumulent. La premi`ere est que l’on ne peut pas simplement r´esumer la relation spatiale entre deux objets au seul moyen d’un vecteur de d´eplacement moyen (quelle que soit la mani`ere dont il est estim´e). En effet, cette repr´e- sentation consiste implicitement `a simplifier les objets sous la forme de simples points. A moins que les objets ne soient suffisamment distants l’un de l’autre, il n’est pas satisfai- sant de les approximer par un point (par exemple leur centre de gravit´e ou le centre de

leur boˆıte englobante). La deuxi`eme raison qui rend ce mod`ele spatial peu satisfaisant est li´ee `a la premi`ere et tient `a la d´efinition de l’op´eration de dilatation morphologique. Par d´efinition (voir l’´equation (2.3)), un point du plan a pour degr´e d’appartenance au mod`ele spatial le maximum de son degr´e d’appartenance `a l’´el´ement structurant lorsque le centre de celui-ci parcourt l’objet de r´ef´erence. Dans le cas o`u l’´el´ement structurant est tr`es pr´ecis (c’est-`a-dire qu’il d´efinit une zone d’acceptabilit´e tr`es r´eduite dans le plan), le r´esultat de la dilatation a donc une forme tr`es similaire `a celle de l’objet de r´ef´erence, ce qui ne consti- tue pas en g´en´eral une d´efinition acceptable d’un mod`ele spatial pour la relation que l’on cherche `a mod´eliser.