Etendue d’un objet vu comme un nuage de points

Dans le cas le plus g´en´eral, un objet `a positionner par rapport `a un objet de r´ef´erence est repr´esent´e par un ensemble de points. Cela est valable pour la repr´esentation en-ligne (ensemble de points ´echantillonn´es) ou hors-ligne (ensemble de pixels) du signal manuscrit, et quelle que soit la complexit´e graphique de l’objet (fait en un seul trac´e comme en plu- sieurs). L’´etendue de l’objet peut alors se ramener `a la variance ou l’amplitude du nuage de ses points projet´e dans les espaces d´efinis par les points de vue directionnels consid´er´es pour la relation. La mesure de l’´etendue moyenne des objets d’apprentissage est faite pour chaque point de vue. En notant (Ri, Ai)i=1..N les N paires d’objets d’apprentissage (repr´esentatives

objet dans l’espace des degr´es atteints par ses points selon le point de vue consid´er´e (par exemple ˆetre dans la direction α). Pour un objet Ai, on note Eα,i la distribution des degr´es

atteints par ses points dans le mod`ele spatial µα(Ri) et cα,isa valeur centrale, c’est-`a-dire :

cα,i=

inf{Eα,i} + sup{Eα,i}

2 . (3.21)

cα,iest donc le milieu de l’´etendue des degr´es occup´es par Ai. Cette valeur est utilis´ee pour

centrer les ´etendues des diff´erents objets d’apprentissage et ainsi construire un sous-ensemble flou d´ecrivant un mod`ele de profil des objets Ai par rapport `a cette valeur centrale. Un

histogramme (E_α,ic )kpeut ˆetre construit pour chaque objet, en s’appuyant sur les ensembles

Ik d´efinissant une partition de [0; 1] (ce sont les ensembles qui ont servi `a construire H et

G, voir leur d´efinition au paragraphe3.2.1.2) :

(E_α,ic )k=|Skm−kc| avec Sk={p ∈ Ai, µα(Ri)(p)∈ Ik}, (3.22)

avec km l’indice m´edian de l’histogramme et kc l’indice k tel que cα,i∈ Ik. Ainsi, (Eα,ic ) est

l’histogramme centr´e sur la valeur c de la distribution des degr´es atteints par un objet Ai.

Les fr´equences mesur´ees par (E_α,ic ) sont normalis´ees par rapport `a la fr´equence maximale. Les profils de tous les objets Ai d’apprentissage ainsi centr´es peuvent ˆetre accumul´es dans

un histogramme (Ec

α), qui repr´esente donc le profil moyen d’´etendue des objets Ai autour

de leur valeur centrale c (pour le point de vue orient´e par α). L’histogramme est ´egalement normalis´e par rapport `a sa fr´equence maximale.

Exploitation par mesure de similarit´e d’histogrammes Le calcul de l’ad´equation d’´etendue entre un objet cible et le mod`ele d’´etendue, chacun ´etant d´ecrit par son histo- gramme centr´e et normalis´e, repose sur le calcul d’un indice de similarit´e entre les deux histogrammes. De tr`es nombreux indices de similarit´e d’histogrammes existent dans la lit- t´erature et une bonne synth`ese en a ´et´e faite par Cha [Cha07]. Nous avons retenu un indice qui proc`ede `a l’intersection des deux histogrammes E et F de longueur identique K, d´e- nomm´e indice de similarit´e de Ruzicka, qui consid`ere les deux histogrammes comme deux ensembles flous : s = PK k=0min(Ek, Fk) PK k=0max(Ek, Fk) . (3.23)

Le score sαi mesure la similarit´e entre les distributions de degr´es d’un objet par rapport

`

a un mod`ele appris, pour un point de vue donn´e (αi) sur la relation spatiale. La mesure

globale d’ad´equation de l’´etendue d’un objet par rapport `a tout le mod`ele peut se faire en combinant les scores de similarit´e obtenus pour chaque point de vue par une moyenne g´eom´etrique : σ_MR(R)(A) = d Y i=1 sαi 1 d. (3.24)

Le score σR(R)(A) fournit une mesure de score d’´etendue de l’objet A par rapport `a R relativement au mod`ele spatial _{M. Ce score peut ˆetre utilis´e en combinaison avec le} score de positionnement pur µR(R)(A) (d´efinit pr´ec´edemment) pour r´epondre `a une tˆache d’´evaluation de relation spatiale.

Exemples de mod`eles La figure3.24 repr´esente plusieurs mod`eles d’´etendue construits `

a partir de deux exemples, pour diff´erentes relations spatiales (relations R1 `a R5). Dans

chaque cas, deux couleurs distinguent les points des deux objets d’apprentissage dans l’his- togramme, ce qui permet de constater la similarit´e de l’´etendue des objets par rapport au point de vue consid´er´e pour la relation spatiale (ˆetre `a droite de).

Les mod`eles d’´etendues pour les relationsR1 etR2 d´ecrivent tout simplement que dans

chaque cas, tous les points des objets ont exactement le mˆeme degr´e d’ad´equation `a la relation ˆetre `a droite de. En effet, dans le premier cas, tous les points sont parfaitement `a droite de la r´ef´erence et dans le second cas, tous les points sont dans la zone pas du tout `a droite de la r´ef´erence.

Les cas des relations_R3 etR4 sont tr`es diff´erents, puisque cette fois les points des objets

sont ventil´es sur une large gamme de degr´es selon la direction `a droite de R. En fait, pour ces deux relations, le mod`ele d’´etendue d´ecrit que un objet doit couvrir quasi uniform´ement toutes les nuances de degr´es entre 0 et 1 vis-`a-vis de cette relation de position directionnelle. Finalement, le cas de la relation _R5 met en ´evidence l’int´erˆet de la mod´elisation de

l’´etendue pour le cas de la mod´elisation d’une intersection entre les objets. Dans ce cas, un objet doit s’´etendre de part et d’autre de la r´ef´erence pour ˆetre conforme au mod`ele d’´etendue repr´esent´e par cet histogramme, c’est-`a-dire avoir certains points parfaitement `a droite (degr´e de 1) et d’autres points pas du tout `a droite de R (degr´e de 0).

Discussion Le mod`ele d’´etendue pr´esent´e ci-dessus est efficace pour distinguer les situa- tions de la figure 3.24 entre elles. Par exemple, la distinction entre les relations_R1, R3 et

R5est facilit´ee par les mod`eles d’´etendue selon le point de vue `a droite de qui sont tous tr`es

diff´erents. Tout comme pour la richesse de description du positionnement, la combinaison des points de vue b´en´eficie aussi largement `a la mod´elisation de l’´etendue car elle augmente les possibilit´es de distinguer des cas de relations spatiales. Par ailleurs, d’un simple point de vue pratique, le calcul de l’ad´equation d’un objet par rapport `a un mod`ele d’´etendue peut se faire directement, `a la suite du calcul de son bon positionnement. Il suffit pour cela de m´emoriser la distribution des degr´es atteints par les points de l’objet `a positionner par rapport aux relations directionnelles selon chaque point de vue, de la centrer et de la com- parer au mod`ele par la mesure donn´ee `a l’´equation (3.23). Puisqu’il s’appuie sur les degr´es obtenus par application des op´erateurs directionnels morphologiques, le mod`ele d’´etendue b´en´eficie aussi des avantages offerts par cette repr´esentation et prend donc en compte la forme de l’objet de r´ef´erence.

N´eanmoins, les mod`eles d’´etendue souffrent d’une impr´ecision due au fait de consid´erer les objets comme des nuages de points qui sont projet´es ind´ependamment selon chaque point de vue. Par exemple, la figure 3.25 repr´esente deux situations o`u les objets `a posi- tionner ont des ´etendues qui semblent tr`es diff´erentes (le premier est un segment vertical, le second un segment horizontal). Pourtant, lorsque l’on compare les mod`eles d’´etendue appris pour chacune des situations, on constate qu’ils sont au contraire tr`es similaires. En effet, les nuages de points projet´es sur chaque point de vue dans les deux cas ont des profils sensiblement ´equivalents et couvrent la mˆeme gamme de degr´es selon les directions ˆetre en haut, ˆetre `a droite. . .

Dans la seconde strat´egie de repr´esentation de l’´etendue des objets, nous identifions des points particuliers de l’objet dont la position par rapport au nuage de points projet´e est

(a) _R1 c 0 1 (b)_R2 c 0 1 (c) _R3 c 0 1 (d)_R4 c 0 1 (e) R5 c 0 1

Figure 3.24: Visualisation du mod`ele d’´etendue appris `a partir de deux exemples d’une mˆeme relation spatiale, pour 5 relations diff´erentes. A chaque fois, le mod`ele d’´etendue est un histogramme qui comptabilise la distribution des points des objets dans l’espace des degr´es selon le point de vue `a droite.

analys´ee pour tous les points de vue `a la fois, ce qui permet une plus grande pr´ecision du mod`ele d’´etendue.

haut bas gauche droite (a)R1 c 0 1 c 0 1 c 0 1 c 0 1 (b)R2 c 0 1 c 0 1 c 0 1 c 0 1

Figure 3.25: La projection ind´ependante des objets vus comme des nuages de points peut conduire `a des mod`eles d’´etendue identiques mˆeme pour des situations tr`es diff´erentes : cas d’un objet horizontal (a) et d’un objet vertical (b).