Exemples

La figure 3.8 pr´esente six exemples de relation spatiales conduisant `a des formes d’his- togrammes diff´erents.

Pour chacun des six exemples, un seul exemple d’apprentissage est utilis´e (repr´esent´e par l’image de la premi`ere colonne `a gauche). La relation directionnelle `a droite de est appliqu´ee et un histogramme de fr´equences normalis´ees est construit pour ce point de vue

(R0, A0) h H µR(R0) (a)R1 0 1 0 1 0 1 0 1 (b)_R2 0 1 0 1 0 1 0 1 (c)_R3 0 1 0 1 0 1 0 1 (d)R4 0 1 0 1 0 1 0 1 (e)_R5 0 1 0 1 0 1 0 1 (f)_R6 0 1 0 1 0 1 0 1

Figure 3.8: Exemples d’apprentissage d’histogrammes pour diff´erentes relations spatiales. Pour chaque cas, un exemple d’apprentissage (R0, A0) est pr´esent´e avec le mod`ele spatial `a

droite de. L’histogramme de fr´equences brut h est repr´esent´e en gris (fr´equences de points d’apprentissage en fonction des niveaux de gris dans l’image de la premi`ere colonne). L’his- togramme normalis´e H est repr´esent´e en bleu ; il constitue le mod`ele appris. La derni`ere colonne illustre l’application de ce mod`ele sur le mˆeme objet de r´ef´erence.

(deuxi`eme colonne). Il s’agit de l’histogramme not´e jusqu’ici par h, normalis´e par sa valeur maximale. Il repr´esente directement les fr´equences mesur´ees sur les points d’apprentissage. La troisi`eme colonne repr´esente l’histogramme H qui est issu de la normalisation et du seuillage de h par la fonction g (voir (3.8)). Enfin, la derni`ere colonne repr´esente la mˆeme paire d’objets que la premi`ere colonne, avec le mod`ele spatial obtenu par combinaison du mod`ele spatial directionnel avec la fonction apprise H. L’interpr´etation du mod`ele spatial repr´esent´e dans cette derni`ere colonne diff`ere de la premi`ere colonne : ce mod`ele repr´esente la relation ˆetre `a droite de R dans la mˆeme mesure que les objets d’apprentissage selon R.

Le premier exemple (a) repr´esente un cas o`u l’objet `a positionner est parfaitement `a droite de la r´ef´erence. Les points comptabilis´es par l’histogramme ont tous un degr´e d’appartenance au mod`ele spatial `a droite de qui vaut 1. L’histogramme H appris d´ecrit donc le fait que, selon la relation spatiale <sub>R</sub>1, l’objet cible doit ˆetre strictement `a droite de la r´ef´erence. Le

mod`ele spatial obtenu repr´esente bien cette description, puisque la zone d’admissibilit´e (en blanc) est plus r´eduite et stricte que celle de la relation linguistique `a droite de.

Le second exemple est l’exact oppos´e du premier. Selon _R2, l’objet cible n’est pas du

tout `a droite de la r´ef´erence. Le mod`ele spatial r´esultat repr´esente cela en excluant toute la partie du plan `a droite de la r´ef´erence et en consid´erant comme parfaitement acceptable tout ce qui n’est pas du tout `a droite. En revanche, aucune information n’est prise en compte sur la position de l’objet cible parfaitement `a gauche ou non de la r´ef´erence.

Selon _R3, l’objet cible est positionn´e plutˆot en bas et plutˆot `a droite de la r´ef´erence.

Les degr´es pris par les points d’apprentissage sont plus nuanc´es, quelques-uns ´etant peu `a droite quand d’autres, plus nombreux, sont parfaitement `a droite. L’histogramme est seuill´e et normalis´e par rapport `a sa valeur maximale en excluant les valeurs extrˆemes pour former H. Le mod`ele spatial r´esultat accorde une acceptabilit´e diff´erente aux points de l’objet cible en fonction de la fr´equence qui a ´et´e mesur´ee dans chaque zone. Les points parfaitement `a droite de la r´ef´erence sont consid´er´es comme parfaitement en accord avec _R3. Les points

l´eg`erement `a droite de la r´ef´erence, qui ´etaient moins nombreux en apprentissage, sont consid´er´es comme moins bons mais n´eanmoins acceptables par le mod`ele.

Dans l’exemple _R4, les points de l’objet cible couvrent toutes les nuances de degr´es

par rapport `a la relation ˆetre `a droite. Apr`es normalisation, et grˆace au param`etre b de la fonction de seuillage, avec b < 1 (voir (3.7)), tous les degr´es sont consid´er´es comme acceptables pour _R4. Il en r´esulte un mod`ele spatial compl`etement permissif, qui n’exclut

de la zone d’acceptabilit´e aucune partie du plan. Cela signifie que le point de vue directionnel `

a droite n’apporte pas d’information sur la relation spatiale R4.

Le cinqui`eme exemple met en jeu deux objets qui s’intersectent. L’objet cible s’´etend donc de part et d’autre de la r´ef´erence (`a gauche et `a droite). L’histogramme apprend donc que les points peuvent ˆetre pas du tout `a droite ou parfaitement `a droite (mais qu’aucune nuance entre les deux n’est permise). Le mod`ele spatial r´esultat pr´esente donc deux zones distinctes d’acceptabilit´e pour la relationR5.

Enfin, la relation R6 est entach´ee d’ambigu¨ıt´e topologique, puisque les objets s’inter-

sectent mais seule une tr`es petite proportion de l’objet cible est `a gauche de la r´ef´erence, quand tout le reste est `a droite. L’histogramme de fr´equences illustre ce d´es´equilibre. Ici, c’est l’influence du param`etre a de la fonction de seuillage g qui est mis en ´evidence (voir (3.7)). Dans ce cas, la proportion de points pas du tout `a droite de la r´ef´erence est consid´e-

r´ee comme n´egligeable (car inf´erieure `a a). Le mod`ele consid`ere donc que l’objet cible doit ˆetre strictement `a droite de la r´ef´erence et le r´esultat est identique `a la relation spatiale R1. Si la proportion de points pas du tout `a droite ´etait plus importante (entre a et b), le

mod`ele appris comporterait deux zones (comme pour la relationR5), mais avec une diff´e-

rence d’acceptabilit´e (la zone `a gauche ´etant moins acceptable que la zone `a droite). Bien entendu, les mod`eles sont en r´ealit´e appris `a partir d’un nombre important d’exemples et l’ambigu¨ıt´e sur la relation en est donc significativement r´eduite.