2.2 Repr´esentations spatiales
2.2.4 Mod`eles spatiaux par l’approche F-template
Le concept de F-template, introduit par Matsakis, Wendling et al. [MWN10], est un autre moyen pour construire des mod`eles spatiaux flous dans l’espace 2D ou 3D (voir aussi [WNM06][MNW06]). Il a ´et´e introduit assez r´ecemment et est pr´esent´e par ses auteurs comme une repr´esentation duale des histogrammes de forces (ouF-histogrammes) que nous avons ´evoqu´es au paragraphe2.1.3.2.
Un F-template est d´efini pour une relation spatiale R et un objet B. Il s’agit d’un sous-ensemble flou de l’espace euclidien qui associe `a chaque point p le degr´e avec lequel il satisfait la relation R par rapport `a la r´ef´erence B. Cette d´efinition correspond bien `a la notion de mod`ele spatial au sens de Logan & Sadler.
La figure2.24 montre un objet de r´ef´erence B et unF-template construit sur cet objet pour la relationR au Nord de. La convention de repr´esentation d’ensemble flou en niveaux de gris est la mˆeme que celle utilis´ee que dans les illustrations pr´ec´edentes.
Le principe de d´efinition de ce mod`ele spatial est de d´ecomposer la relation par rapport `a l’objet de r´ef´erence en une agr´egation de relations par rapport `a des sections longitudinales de l’objet de r´ef´erence. Les sections longitudinales sont des structures 1D (segments ou union
(a) Objet de r´ef´erence B (« referent »)
(b) F -template au Nord de B
Figure 2.24: Exploitation duF-template d´ecrivant la relation spatiale au Nord de sur un objet de r´ef´erence B (images tir´ees de [WNM06] et [MNW06]).
de segments) obtenues par intersection de l’objet de r´ef´erence avec des droites param´etr´ees par leur direction θ.
Pour le point p de l’espace, la valeur duF-template associ´e `a la relation R par rapport `
a l’objet B est d´efinie formellement par :
FRB(p) = supθ∈[0;π)F(p, R, Bp(θ)), (2.10)
o`u Bp(θ) d´esigne la section longitudinale de B par la droite de direction θ passant par p.
Figure 2.25: Calcul de la valeur duF-template au Nord de en un point p, par rapport `a un objet B (la convention de repr´esentation de degr´es flous en niveau de gris est invers´ee dans cette illustration). D’apr`es [MWN10].
La figure2.25illustre le calcul duF-template de la figure2.24en un point p par rapport au mˆeme objet B que pr´ec´edemment. Il d´ecrit la relation ˆetre au Nord par rapport `a cet objet B. Cette fois-ci, la repr´esentation en niveaux de gris est invers´ee par rapport `a la convention habituelle (le r´esultat du calcul est donc le « n´egatif » de la figure pr´ec´edente,
avec les points parfaitement au Nord de B qui sont en noir). Les sections Bp(θ) de l’objet
sont illustr´ees (en vert) pour plusieurs directions θ. Dans le calcul d´ecrit par l’´equation (2.10), c’est l’op´erateur sup qui permet de combiner les valeurs de F(p, R, Bp(θ)) pour
plusieurs valeurs de θ, mais d’autres op´erateurs peuvent s’y substituer [MWN10].
La fonctionF de l’´equation (2.10) d´etermine la mani`ere de calculer le degr´e d’ad´equation (entre 0 et 1) du point p par rapport `a Bp(θ) selon la relationR. Si R repr´esente une relation
directionnelle (par exemple ˆetre dans la direction δ),F doit pouvoir ´evaluer `a quel degr´e p est dans la directionδ par rapport `aBp(θ), en tenant compte de l’angle θ consid´er´e et de la
position de p par rapport `a la section longitudinale Bp(θ) sur la droite de direction θ. En
particulier, dans cet exemple, F (p,R, Bp(θ)) vaut 1 si p est parfaitement dans la direction
Nord (δ = π2) par rapport `a Bp(θ) (soit quand θ = π2 + π).
Un F-template directionnel tel que celui-ci est th´eoriquement identique au paysage flou ´equivalent construit par approche morphologique. Dans ce cas, l’int´erˆet d’un F-template r´eside en fait dans la plus grande rapidit´e de son calcul, grˆace `a l’accumulation des relations sur des sections 1D plutˆot que sur tous les points de l’objet de r´ef´erence. La pr´ecision de la repr´esentation est en pratique contrˆol´ee par le nombre de directions θ consid´er´ees dans l’´equation (2.10).
La mesure de correspondance entre un objet argument A et le F-template est peu d´etaill´ee par les auteurs de la m´ethode. Dans [CNM06], il est fait mention de la possibilit´e de calculer cette correspondance de diff´erentes fa¸cons, en consid´erant par exemple le minimum, le maximum ou la moyenne des degr´es atteints par les points de A dans leF-template. Du fait de l’´equivalence formelle du F-template directionnel avec un paysage flou, on peut ´evidemment appliquer les m´ethodes d’´evaluations d´evelopp´ees dans le cadre morphologique (voir au paragraphe2.2.3.3).
La g´en´ericit´e du formalisme est mise en avant et diff´erentes variantes de fonctionsF sont pr´esent´ees afin de d´ecrire des relations de distances (proche, loin) ou combinant directions et distances [WNM06]. Tout comme dans les F-histogrammes, il est possible de pond´erer dans lesF-templates les points par leur distance `a l’objet de r´ef´erence, ce qui modifie l’inter- pr´etation duF-template en un champ potentiel de forces. Tout comme dans l’approche par morphologie math´ematique, la description parF-template a aussi ´et´e pens´ee pour prendre en compte des objets flous et c’est dans ce contexte que des algorithmes particuli`erement performants ont ´et´e propos´es [MWN10][WNM06]. Des algorithmes ont ´et´e propos´es pour le calcul de F-templates aussi bien pour des objets en repr´esentation vectorielle (d´efinis comme des polygones) ou en repr´esentation raster (d´efinis sous la forme d’une matrice de pixels). Enfin, comme dans l’approche morphologique, la g´eom´etrie des objets mis en rela- tion est parfaitement prise en compte dans la repr´esentation de leurs relations spatiales par F-templates.