Positionnement g´en´erique d’objets dans des images

Le panorama sur la description du positionnement relatif de primitives et d’objets ma- nuscrits pr´esent´e jusqu’ici laisse apparaˆıtre une longue collection de techniques d´edi´ees `a des probl`emes applicatifs sp´ecifiques. Les besoins en termes d’expressivit´e (les diff´erentes natures de relations spatiales mod´elis´ees) sont naturellement adapt´es `a l’application, mais nous avons relev´e ´egalement que la repr´esentation mˆeme des objets varie en fonction de leur complexit´e graphique. Les trac´es primitifs sont g´en´eralement repr´esent´es assez fid`element par des segments, quand les objets complexes sont repr´esent´es plus grossi`erement par une boˆıte englobante ou par un point synth´etique. Comme nous venons de le mettre en ´evi- dence, ces repr´esentations ne sont pas satisfaisantes pour d´ecrire pr´ecis´ement les relations spatiales entre des objets qui sont caract´eris´es par des formes souvent concaves, dont le positionnement relatif peut ˆetre assez complexe et pr´esenter des recouvrements de boˆıte englobante.

En analyse d’images, la question du positionnement relatif entre ´el´ements a fait l’objet de nombreux travaux. Dans ce contexte, les objets sont souvent d´efinis comme un ensemble de points de l’image. Cette d´efinition est bien adapt´ee aux objets surfaciques et est homog`ene quel que soit le niveau de complexit´e graphique des objets. Elle permet aussi de mieux formaliser les m´ethodes de description des relations spatiales, tout en portant souvent plus d’attention `a prendre en compte pr´ecis´ement les formes des objets. Les descripteurs de positionnement utilis´es en analyse d’images ont l’avantage d’ˆetre plus g´en´eriques vis-`a- vis des types d’objets qu’ils peuvent traiter. Leur objectif reste cependant de d´ecrire le positionnement spatial d’objets sous certains aspects qui sont d´etermin´es en fonction du besoin applicatif.

Dans la suite, nous ´enum´erons quelques familles de descripteurs quantitatifs et qualitatifs pour la repr´esentation de l’information spatiale entre des objets dans des images. Nous nous int´eressons plus particuli`erement aux m´ethodes qui d´elaissent les approximations des formes d’objets au moyen de leurs boˆıtes englobantes pour plutˆot prendre en compte l’ensemble de leurs points.

2.1.3.1 Approches quantitatives

Des descripteurs quantitatifs sont tr`es souvent utilis´es pour la description des relations de directions ou de distances entre les objets. La th`ese de Dehak [Deh02] ainsi que l’´etat de l’art de Bloch & Ralescu [BR03] dressent des bons panoramas des descripteurs utilis´es pour les relations directionnelles floues entre des objets. Le recours `a une mod´elisation floue pour la repr´esentation des relations spatiales a ´et´e propos´e par Freeman [Fre75] et a ´et´e depuis largement adopt´e, tant cette th´eorie semble bien adapt´ee pour la description de ces concepts de positionnement qui sont intrins`equement impr´ecis. En effet, il semble naturel de consid´erer qu’on ne peut pas tracer une fronti`ere nette entre les zones de l’espace qui sont `a droite d’un objet et celles qui ne le sont pas, mais qu’il existe toute une gamme de nuances entre des zones parfaitement `a droite, plutˆot`a droite, un peu `a droite et pas du tout `

a droite. Dans le cas de l’analyse d’images, il est aussi fr´equent de consid´erer que les objets eux-mˆemes sont flous, car leur d´efinition peut n’ˆetre connue qu’avec une part d’incertitude. S’il existe en analyse d’images des m´ethodes qui consistent `a r´esumer les objets `a leurs centres ou leurs boˆıtes englobantes, nous nous int´eressons ici plutˆot `a une famille de des- cripteurs qui pr´eservent plus fid`element les formes des objets : il s’agit des descripteurs par histogrammes.

Au sein de cette famille, une premi`ere m´ethode est la description par histogramme d’angles. Dans cette approche, les directions des vecteurs reliant chaque point d’un objet avec chaque point de l’autre objet mis en relation sont comptabilis´ees dans un histogramme, qui est une fonction d’une variable d’angle dans [0; 2π]. Parce qu’il est construit `a partir de la totalit´e des points de chacun des objets, ce descripteur prend indirectement en compte la forme de ceux-ci. Miyajima & Ralescu [MR94] proposent de consid´erer cette fonction comme un sous-ensemble flou, qui peut ˆetre compar´e `a des sous-ensembles flous de relations spatiales pr´ed´efinies (par exemple `a droite de). La m´ethode de comparaison utilis´ee est le calcul du degr´e de compatibilit´e entre les deux sous-ensembles flous, en exploitant le principe d’extension formul´e par Zadeh [Zad78].

Les quatre illustrations de la figure 2.16 r´esument ce principe d’utilisation des histo- grammes d’angles. A partir de deux objets (figure (a)), un histogramme d’angles est extrait (b) puis normalis´e. L’histogramme comptabilise la position angulaire de tous les points de B par rapport `a tous les points de A. Une fois normalis´e, cet histogramme HAB est assimil´e `a

un ensemble flou, qui peut ˆetre compar´e `a un mod`ele pr´ed´efini d’une relation directionnelle telle que `a droite de (dont une d´efinition est donn´ee par l’illustration (c) de la figure2.16). La comparaison de HAB avec le mod`ele `a droite se fait par le calcul de leur compatibilit´e.

Pour deux ensembles flous F et G, leur compatibilit´e est un ensemble flou cp(F, G) d´efini `a partir du principe d’extension [Zad78] :

(a) Deux objets A et B (b) Histogramme d’angles entre A et B

(c) Mod`ele de la relation spatiale floue

` a droite

(d) Compatibilit´e entre l’histo-

gramme d’angles et la relation

spatiale floue `a droite

Figure 2.16: A partir de deux objets A et B de l’image (a), un histogramme d’angles peut ˆetre construit (b). En comparant cet histogramme avec un mod`ele de relation directionnelle pr´ed´efinie (par exemple `a droite (c)), on peut calculer la fonction de compatibilit´e (d). Le centre de gravit´e de l’ensemble flou r´esultat est un score d’ad´equation de la position relative de A et B avec le mod`ele (c). Ici ce score indique que la relation spatiale entre A et B correspond `a la relation `a droiteavec un degr´e de 0,55. (Illustrations reprises de [Deh02]).

µ_cp(F,G)(x) = (

0 si µ−1_F (x) =∅

sup_{µG(y), x = µF(y)} sinon.

(2.1) L’ensemble flou de compatibilit´e entre HAB et le mod`ele droite est repr´esent´e par l’illus-

tration (d). Le calcul du centre de gravit´e de l’ensemble flou de compatibilit´e fournit fi- nalement un score qui d´ecrit l’ad´equation entre la position des deux objets A et B et le mod`ele de relation directionnelle `a droite. Dans le cas des objets de la figure 2.16(d), ce calcul conduit `a un score de correspondance de 0,55 entre le positionnement de A et B et la relation `a droite (autrement dit, l’objet B est consid´er´e `a droite de A avec un degr´e de satisfaction de 0,55).

Wang & Keller [WK99] ont propos´e une autre utilisation des histogrammes d’angles pour la description de relations directionnelles. Leur id´ee est d’entraˆıner des r´eseaux de neurones pour associer `a un histogramme d’angles quatre degr´es de satisfaction vis-`a-vis des quatre directions nord, sud, est et ouest. L’apprentissage des r´eseaux de neurones se

fait `a partir d’exemples dont les degr´es d’ad´equation aux quatre relations directionnelles ont ´et´e estim´es par des op´erateurs humains. L’id´ee est donc d’apprendre `a g´en´eraliser une estimation intuitive des degr´es de relations directionnelles `a partir d’histogrammes d’angles. Une g´en´eralisation des histogrammes d’angles a ´et´e propos´ee par Matsakis & Wendling [MW99]. Les histogrammes de forces (ou<sub>F-histogrammes) int`egrent une information de dis-</sub> tance qui permet de d´efinir une force d’interaction dont l’interpr´etation est contrˆol´ee par un param`etre r. Lorsque r vaut 2, le descripteur repr´esente la force gravitationnelle exerc´ee par les points d’un objet sur l’autre. Les couples de points ont alors un poids proportionnel au carr´e de la distance de l’un `a l’autre dans la construction de l’histogramme. Un histogramme d’angles est un cas particulier d’histogramme de forces, obtenu lorsque le param`etre r vaut 0 (les couples de points ont alors tous le mˆeme poids dans l’histogramme). Les auteurs valident qualitativement leurs descripteurs en les comparant `a des histogrammes d’angles classiques. Trois niveaux d’utilisation des F-histogrammes sont r´epertori´es par Matsakis [Mat02]. Le premier est la comparaison directe de F-histogrammes extraits, par exemple dans le but d’identifier des paires d’objets ou des sc`enes similaires. Un deuxi`eme niveau d’utilisation, dit interm´ediaire, consiste `a utiliser le F-histogramme pour v´erifier ou attribuer un score `

a certaines relations de positionnement pr´ed´efinies (telles que `a droite), `a la mani`ere de ce que nous avons d´etaill´e `a la figure2.16pour les histogrammes d’angles. Le niveau sup´erieur correspond `a l’utilisation des<sub>F-histogrammes pour produire une description linguistique de</sub> la relation entre les deux objets [BMK04], d’une fa¸con similaire `a ce que nous avons ´evoqu´e pr´ec´edemment pour les histogrammes d’angles.

Les R-histogrammes sont une autre extension des histogrammes d’angles, pr´esent´es par Wang & Makedon [WM03]. Ils incorporent au descripteur une information suppl´ementaire sur la relation topologique entre les objets. Les auteurs proposent de cr´eer un histogramme dans un espace `a deux dimensions, les vecteurs entre paires de points des deux objets ´etant distingu´es par leur direction (comme dans un histogrammes d’angles) ainsi que par leur distance qualifi´ee. Une distance qualifi´ee est un descripteur combinant une distance eucli- dienne entre les deux points et un qualificatif qui d´ecrit si l’un des deux points appartient `

a l’autre objet. Le but est ainsi de renforcer la capacit´e du descripteur `a distinguer les cas de recouvrement entre les objets (information topologique).

R´ecemment, Santosh, Wendling et al. [SWL10a] ont introduit un nouveau descripteur inspir´e des histogrammes d’angles, mais permettant ´egalement de distinguer des relations topologiques entre des objets. L’id´ee est de s’appuyer sur la r´egion caract´eris´ee de mani`ere unique par la disposition des boˆıtes englobantes des deux objets mis en relation. En fonction des relations topologiques entre les deux objets, cette r´egion peut ˆetre un rectangle, ˆetre r´eduite `a un segment ou `a un seul point. La figure2.17illustre la forme de la r´egion R pour diff´erentes configurations. L’information de positionnement directionnel entre les objets est d´ecrite en construisant un histogramme d’angles `a chaque sommet de la r´egion R. Cet histogramme est binaire, il d´ecrit donc simplement les directions dans lesquelles les objets A et B sont visibles depuis les sommets de R. Le descripteur est appliqu´e comme nouvelle signature d´ecrivant la forme de symboles graphiques structur´es pour leur indexation et leur reconnaissance dans des documents imprim´es [SWL10b][SLW11].

Figure 2.17: La forme et le nombre de sommets de la zone R d´efinie `a partir des boˆıtes englobantes des deux objets `a positionner permet de caract´eriser l’information sur la relation topologique entre les objets. Des descripteurs sont extraits de chaque sommet de R et sont combin´es pour construire un descripteur global combinant l’information de topologie et de positionnement directionnel. L’image est extraite de [SWL10b].

2.1.3.2 Approches qualitatives

Les descripteurs qualitatifs co¨ıncident la plupart du temps avec la repr´esentation de relations topologiques entre les objets. La description des relations topologiques s’appuie sur des notions ensemblistes (telles que l’inclusion, l’intersection) qui peuvent ˆetre directement appliqu´ees aux objets vus comme des ensembles de points du plan. Des extensions floues de ces op´erations ensemblistes peuvent aussi naturellement ˆetre mises en œuvre dans le cas d’objets vus comme des ensembles flous.

Plusieurs mod`eles de repr´esentation de relations topologiques existent, qui r´epertorient toutes les configurations possibles de contact pour une paire d’objets. Egenhofer propose par exemple de d´ecrire un objet par trois ensembles : son int´erieur, sa fronti`ere, et son ex- t´erieur [EH91]. La relation topologique entre deux objets A et B peut alors ˆetre repr´esent´ee par un vecteur `a neuf attributs binaires, o`u chaque attribut d´ecrit l’existence ou non de points dans l’intersection des trois parties de deux objets (int´erieur de A et int´erieur de B, int´erieur de A et fronti`ere de B,. . ., ext´erieur de A et ext´erieur de B). Ces informa- tions caract´erisent toutes les situations topologiquement diff´erentes telles que l’adjacence, l’inclusion, le recouvrement. . .

Un autre mod`ele populaire est le Region Connection Calculus (RCC) qui consiste `a cat´egoriser en huit types les relations topologiques possibles entre deux objets vus comme des ensembles de points et de conduire des raisonnements logiques sur la base de ces relations (on parle alors de raisonnement spatial qualitatif ) [Ren02].