Apprentissage

L’apprentissage d’un point de vue directionnel consiste `a d´eterminer la forme de sa fonction de composition H (voir l’´equation (3.4)). Comme la forme de la fonction H est inconnue a priori, nous proposons de l’approximer par un histogramme. Cela permet de ne pas faire d’hypoth`eses et donc de ne pas contraindre sa forme.

Consid´erons un ensemble de paires d’objets d’apprentissage (Ri, Ai)i=1..N, qui sont po-

sitionn´es relativement selon une relation spatiale R dont nous souhaitons construire un m´eta-mod`ele. Dans chaque paire, l’objet Ri constitue la r´ef´erence de positionnement et

l’objet Ai l’objet argument (ou objet cible). Pour un point de vue d´etermin´e par la direc-

tion α, nous cherchons `a d´ecrire dans quelle mesure les objets Ai sont dans la directionα par

rapport `a leur r´ef´erenceRi. Pour cela, nous consid´erons la distribution des degr´es d’ad´equa-

tion des points des objets Ai avec les mod`eles spatiaux directionnels ˆetre dans la direction

α par rapport `a Ri. Ces mod`eles spatiaux µRαi sont obtenus par dilatation morphologique

de l’objet Ri par l’´el´ement structurant flou de direction α : να. C’est cette distribution

que nous cherchons `a approximer par un histogramme H. La figure 3.4 illustre ce principe d’apprentissage.

L’illustration (a) montre des exemples d’objets de r´ef´erence Ri (en rouge) et d’objets

Figure 3.4: Apprentissage `a partir d’exemples (a) de la fonction HR normalis´ee (d) mod´e- lisant la relation<sub>R selon le point de vue `a droite de. Les objets d’apprentissage sont d’abord</sub> d´ecrits selon la relation ˆetre `a droite (b) et les degr´es atteints dans ces mod`eles spatiaux par les points des objets cibles Ai (en bleu) sont comptabilis´es dans un histogramme de

fr´equences h (c). Cet histogramme est normalis´e et seuill´e pour former le mod`ele flou HR (d). Ce mod`ele d´ecrit les degr´es admissibles des objets cibles pour la relation mod´elis´ee, selon le point de vue `a droite. Il exprime notamment que les points tr`es `a droite deRi sont

parfaitement admis par le mod`ele : H_αR(x) = 1 pour x_{≥ 0, 8.}

Le mod`ele spatial ˆetre `a droite de est d´evelopp´e sur la r´ef´erence de chaque exemple d’ap- prentissage (b). L’histogramme h repr´esent´e en (c) comptabilise la distribution des points des objets Ai d’apprentissage (en bleu) par rapport `a leur degr´e d’ad´equation avec la re-

lation ˆetre `a droite de Ri dans les mod`eles spatiaux µα(Ri). Cet histogramme h mesure

donc la fr´equence de points des objets d’apprentissage atteignant les diff´erents niveaux de gris dans les images (b). Il doit ensuite ˆetre normalis´e et seuill´e pour d´efinir le mod`ele HR (d) sous la forme d’un ensemble flou. HR associe aux diff´erentes valeurs de µα(Ri) (degr´es

d’ˆetre `a droite) leur degr´e de repr´esentativit´e de la relation spatiale apprise.

La figure 3.5rappelle le principe d’exploitation de ce mod`ele HR, formalis´e pr´ec´edem- ment par l’´equation (3.4). Pour un objet de r´ef´erence R, la description ˆetre `a droite (µα(R))

(image (a)) est compos´ee avec le mod`ele appris HR(image (b)) pour former un mod`ele spa- tial transform´e µR_α (image (c)). Ce mod`ele spatial d´ecrit les zones admises pour l’objet cible par rapport `a la r´ef´erence selon la relationR apprise en consid´erant le point de vue `a droite. Nous pr´esentons ci-dessous plus formellement les diff´erentes ´etapes du proc´ed´e d’ap- prentissage du mod`ele HR expos´ees `a la figure3.4.

Figure 3.5: Exploitation du mod`ele HR sur un nouvel objet R. Le mod`ele (b) peut ˆetre compos´e avec la description ˆetre `a droite (a) pour former un mod`ele spatial appris (c) qui d´ecrit les degr´es admissibles pour l’objet cible attendu d’apr`es la relationR, selon le point de vue `a droite.

D´efinition de l’histogramme de fr´equences La distribution des valeurs d’ad´equation des objets d’apprentissage avec les mod`eles spatiaux µRi

α est approxim´ee par un histogramme

not´e hR_α. Pour k = 0..K, on note ik= k/K ∈ [0; 1] et on d´enomme (Ik)k=0..K+1les ensembles

de points d´efinis par I0 = {i0 = 0}, I1 =]i0; i1[, Ik = [ik−1; ik[k=2..K, IK+1 = {iK = 1} (les

Ik forment une partition de [0; 1]). Chaque section de l’histogramme (hRα)k comptabilise le

nombre de points des exemples d’apprentissage qui ont un degr´e d’appartenance `a µRi

α dans l’ensemble Ik : (hR_α)k = X i=1..N |Sik| avec Sik ={p ∈ Ai, µ Ri α (p)∈ Ik}. (3.5)

Cet histogramme de fr´equences doit ensuite ˆetre normalis´e et transform´e pour former la fonction H `a valeurs dans [0; 1]. En premier lieu, la normalisation est essentielle et doit garantir que la valeur 1 est atteinte par l’histogramme. Ainsi l’ensemble flou appris (et donc le mod`ele de la relation spatiale) sera un ensemble flou normal, c’est-`a-dire admettant certains points comme lui ´etant parfaitement compatibles. Ensuite, l’interpr´etation de la fonction H que l’on cherche `a d´eterminer n’est pas exactement celle que l’on peut faire de l’histogramme de fr´equences h. La fonction H recherch´ee doit repr´esenter les degr´es de positionnement admissibles pour les points de A par rapport `a R selon la direction α. Il est donc n´ecessaire de d´efinir la notion d’admissibilit´e par rapport aux fr´equences mesur´ees par h.

Normalisation L’histogramme h comptabilise tous les points des objets d’apprentissage pour la relationR selon le point de vue consid´er´e. Le nombre de points dans l’histogramme d´epend de la taille des objets Ai et de l’´echantillonnage des objets (le nombre de points

consid´er´es par unit´e de surface ou de longueur). Le nombre de points peut donc ˆetre tr`es variable entre deux objets.

Soit hmax la fr´equence maximale mesur´ee dans l’histogramme h. hmax repr´esente le

nombre maximal de points des objets d’apprentissage qui tombent dans le mˆeme intervalle de degr´es lorsque l’on consid`ere la relation ˆetre dans la direction α par rapport `a Ri. Il faut

alors remarquer que les ensembles de degr´es (Ik), ne couvrent pas des portions du plan

´equivalentes. En effet, les ensembles extrˆemes I0 et IK+1 couvrent des sections de l’image

plus grandes que les autres intervalles. La figure3.6illustre les zones du plan couvertes par les ensembles Ik,k=0..K+1 avec K = 2 et K = 4, en prenant pour exemple le point de vue

(a) K = 2 (4 ensembles de points)

(b) K = 4 (6 ensembles de points)

Figure 3.6: Repr´esentation des zones li´ees aux intervalles Ik de l’histogramme pour la

relation ˆetre `a droite de R. Un niveau de gris est affect´e aux zones associ´ees `a un mˆeme ensemble Ik.

ˆetre `a droite de en r´ef´erence l’objet de la figure 2.22. Dans les deux cas, la zone la plus sombre contient les points du plan dont les degr´es d’appartenance au mod`ele spatial ˆetre `a droite deR sont dans I0 (c’est-`a-dire nuls). Inversement, la zone blanche contient les points

parfaitement `a droite de R, dont les degr´es sont dans IK+1 (c’est-`a-dire ´egaux `a 1). En

comparant les deux figures, construites avec quatre et six r´egions pour autant d’intervalles, on remarque que les r´egions extrˆemes correspondant `a I0 et IK+1 ne changent pas, tandis

que les zones des autres ensembles Ik,k=1..K diminuent de taille lorsque K augmente.

Ces figures illustrent le ph´enom`ene d’accumulation de points aux degr´es extrˆemes. Compte tenu de la d´efinition de l’´el´ement structurant de la relation ˆetre `a droite de, en moyenne une grande partie du plan image a un degr´e nul ou parfait d’appartenance `a la relation. En pratique, lorsque l’on comptabilise les points qui appartiennent `a chacune de ces zones, on constate une accumulation de points dans les tranches extrˆemes de l’histo- gramme h. La normalisation de cet histogramme, qui consiste `a le ramener `a une fonction `

a valeurs dans [0; 1], ne peut donc pas se faire simplement en le divisant par sa fr´equence maximale hmax. Il faut en fait distinguer deux cas. Dans le cas g´en´eral, on consid`ere que

hmax= maxk=1..K(hk) ; hmax est donc le nombre maximal d’occurrences de points dans un

intervalle non-extrˆeme de l’histogramme. On normalise ensuite tout l’histogramme `a l’aide de hmax : ˆ hk= min  hk hmax , 1  , k = 0..K + 1. (3.6)

Un cas particulier est cependant `a consid´erer. Il se produit lorsque l’essentiel des oc- currences comptabilis´ees par h se concentrent sur l’une des extr´emit´es (ou sur les deux), c’est-`a-dire lorsque h0+hK+1> β∗PK+1i=0 hi(dans notre impl´ementation, nous fixons le seuil

β `a 0, 9). Dans ce cas (qui se produit par exemple d`es que tous les objets Aisont dans la zone

pas du tout `a droite deRi), tout l’histogramme est normalis´e par hmax= max(h0, hK+1).

Seuillage Une fois l’histogramme normalis´e, ˆh doit ˆetre transform´e pour transposer la notion de fr´equence en terme d’appartenance `a un mod`ele flou. Nous proposons d’appliquer une fonction de seuillage sur les fr´equences relatives de ˆh qui est d´etermin´ee par deux

param`etres a et b. Cette fonction g, croissante sur [0; 1] et telle g(0) = 0 et g(1) = 1 est d´efinie simplement par :

g(x) =      0 si x≤ a x−a b−a si a < x < b 1 si x_{≥ b.} (3.7)

fr´equence des occurrences

d eg r´e d ’a p p ar te n an ce 0 1 0 1 a b

Figure 3.7: La fonction g permet de seuiller les fr´equences trop rares (inf´erieures au seuil a) dans la transformation des fr´equences en degr´es d’ad´equation au mod`ele. Le seuil b fixe la fr´equence de repr´esentativit´e parfaite du mod`ele.

L’utilisation de fonctions de formes sigmo¨ıdes ou autres S-fonctions est courante pour la transformation de fr´equences en degr´es d’appartenance floue (voir par exemple [KGK02]). L’id´ee est de contrˆoler le lien entre les fr´equences mesur´ees et le degr´e de conformit´e `a l’ensemble flou r´esultant. Dans le cas de la fonction g de l’´equation (3.7), ce contrˆole d´epend des deux param`etres a et b. Ici, a d´etermine la fr´equence minimale `a partir de laquelle un ´el´ement x de [0; 1] sera consid´er´e comme repr´esentatif de la relation. Autrement dit, une zone de l’image li´ee `a Ik telle que ˆhk < a dans l’histogramme normalis´e est consid´er´ee

comme pas du tout acceptable pour la relation spatiale (H_kR= 0). Inversement, b d´etermine la fr´equence minimale au-del`a de laquelle un ´el´ement x est consid´er´e comme ayant un degr´e d’ˆetre `a droite parfaitement repr´esentatif de la relation (H_kR= 1).

Un seuil a strictement sup´erieur `a 0 signifie que certains points des exemples d’appren- tissage vont ˆetre consid´er´es comme des anomalies qui ne doivent pas ˆetre prises en compte par le mod`ele, car trop rares. Un seuil b strictement inf´erieur `a 1 signifie que plusieurs zones du plan (associ´ees `a des degr´es d’ˆetre `a droite diff´erents) peuvent ˆetre consid´er´ees simulta- n´ement comme parfaitement en accord avec le mod`ele. Si b = 1, en revanche, seule la zone qui comporte le plus d’occurrences sera consid´er´ee comme parfaitement en accord avec la relation apprise.

L’histogramme H est donc finalement d´eduit de l’histogramme de fr´equences normalis´ees par application de g :

Hk= g(ˆhk), k = 0..K + 1. (3.8)