Le retour en espérance

L'efficience des marchés est généralement testée par la nature aléatoire des innovations de court terme. Par exemple, FAMA et FRENCH (1988b) constatent que les marchés sont très faiblement autocorrélés à court terme. Tout au moins cette autocorrélation, si elle est statistiquement significative, ne l'est pas économiquement. Mais d'après eux, il en va différemment à plus long terme. La plupart des travaux porte sur la corrélation à court terme mais n'arrivent pas à expliquer plus de 5 % de la variation future des cours. Or FAMA et FRENCH montrent que 25 à 40 % des variations des cours pour des horizons de 3 à 5 ans sont expliquées par les cours passés. Ils confortent ainsi le modèle de retour en espérance (mean reversion) développé par SUMMERS en 1986 et selon lequel les rentabilités à long terme des séries financières sont fortement et négativement autocorrélées à l'horizon de 4-5 ans alors que les rentabilités de court terme présentent une très faible corrélation.

1. Modèle de retour en espérance.

SUMMERS (1986) montre un biais dans l'utilisation des tests classiques d'efficience. Il suppose que les prix des actifs contiennent une composante stationnaire de forme AR ou ARMA qui expliquerait l'écart durable existant entre ce prix et la valeur fondamentale de l'actif. Dans son modèle, il pose que le taux de rentabilité espéré de l'actif est constant afin de faire porter les résultats de son test sur l'efficience même. Cependant, nous pensons que considérer l'espérance de rentabilité comme une constante revient à poser une hypothèse au même titre qu'un modèle d'équilibre et le problème du test joint (efficience-modèle d'évaluation) se retrouve posé. SUMMERS, bien qu'il s'en défende, teste l'efficience et en même temps le modèle E(R_t) = r³⁹. Pour cette raison nous retenons surtout de son étude le fait qu'il existe dans le prix une partie autre qu'une marche aléatoire pure et qui trompe les tests classiques d'efficience.

Développant l'idée de SUMMERS, FAMA et FRENCH (1988b) définissent un modèle d'évolution des prix dans lequel le logarithme de ce prix serait la somme d'une marche aléatoire avec dérive et d'une composante stationnaire :

p_t = q_t + z_t (1.80)

où

p_t est le logarithme du prix de l'actif q_t est la marche aléatoire

q_t = m + q_t-1 + _t _t est un bruit blanc z_t est la composante stationnaire (un Ar(1) par exemple)

z_t =  z_t-1 + _t _t est un bruit blanc

 proche mais différent de 1

L'étude de l'efficience des marchés, et plus particulièrement sa version faible, est faite sur la base de la différence à court terme des cours r_t,t+1 = p_t+1 - p_t. Cependant l'étude de FAMA et FRENCH crée une avancée en étudiant justement les liens entre les taux de rentabilité à très longue échéance donc :

39 Hypothèse à la structure simple, mais hypothèse tout de même. Si en réalité les taux de rentabilité anticipés varient dans le temps, cela biaise son analyse de l'efficience.

r_t,t+T = p_t+T - p_t = q_t+T - q_t +z_t+T - z_t (1.81) T peut valoir ici jusqu'à quatre ou cinq ans.

L'étude des liens entre les prix se fera par le calcul des autocorrélations du processus de taux de rendement. Les auteurs calculent la pente de la régression de r_t,t+T sur r_t-T,t afin de vérifier si le taux de rendement de longue durée présent peut aider à prévoir linéairement le taux de rendement futur à long terme. La pente de cette régression est de la forme : La partie de la variation du taux de rendement futur expliquée par le taux de rendement présent est fonction de T (présence de ^T au numérateur).

Pour T=1, et  proche mais inférieur à 1, le numérateur tend vers 0. Les taux passés n'aident donc en rien à la prévision des taux futurs (à court terme) ce qui est conforme au cas d'un marché efficient. C'est également en conformité avec l'hypothèse d'efficience s'il n'y a pas de partie stationnaire (cas trivial).

En revanche, quand T augmente, le numérateur tend vers la variance de z et la pente de la régression est égale au rapport entre cette dernière et la variance du taux de rentabilité.

Elle est alors de la forme ⁴⁰:

40 Var (zt+T - zt) = Var (zt+T) +Var (zt) - 2 Cov(zt+T , zt) = 2 σ_z². La covariance valant ^T, elle s'annule donc quand T tend vers l'infini.

ρ_T = -σ_z² σ_r

t-T,t

2 = -σ_z²

Var z_t+T- z_t + Var q_t+T- q_t = -σ_z²

2 σ_z²+ Var q_t+T- q_t

(1.83) Donc en l'absence de la composante de marche aléatoire, la pente de la régression sera de -0,5 quand T augmente. Si les deux composantes sont présentes, il y aura une valeur de T pour laquelle la pente sera de -0,5 (la composante stationnaire prend le pas sur la composante aléatoire). Puis lorsque T augmente encore, la partie aléatoire domine, ramenant la pente à une valeur nulle comme pour T prenant des valeurs faibles.

Ce processus reflète une autocorrélation nulle d'après les méthodes de tests traditionnels qui s'intéressent aux autocorrélations à court terme. Il remet pourtant en cause l'évolution aléatoire des cours. Seule la prise en considération des liens de long terme permet de déceler cette imperfection. Il apparaît alors une autocorrélation négative des cours dans le temps, plus ou moins importante.

Plusieurs études empiriques semblent confirmer ce modèle de retour en espérance.

2. Etude empirique et implications.

FAMA et FRENCH testent leur modèle sur différents portefeuilles issus du New York Stock Exchange pour une période allant de 1926 à 1985. Le test de l'hypothèse de retour en espérance est établi à partir d'une régression linéaire du taux de rentabilité futur à long terme sur le taux de rentabilité présent à long terme.

r_t,t+T = a + b r_t-T,t + _t (1.84)

où :

r_t,t+T est la rentabilité de l'actif pour la période allant de t à t+T

Pour les portefeuilles liés aux entreprises industrielles, le coefficient de régression présenté précédemment est significatif seulement pour des valeurs de T de 3, 4 ou 5 ans. Cependant lorsque l'étude est réalisée sur un échantillon allant de 1941 à 1985 l'effet induit par le modèle de retour en espérance est nettement moins

marqué. Les auteurs déterminent également que cette autocorrélation négative de long terme est surtout due à des facteurs macro-économiques communs à tous les actifs plutôt qu'à une composante spécifique à chacune des firmes. HAMON et JAQUILLAT (1992) vérifient fortement cet effet sur le marché français des actions.

Ils obtiennent ces résultats tant avec les indices qu'avec des données individuelles.

De nombreux travaux ont montré que les taux de rentabilité anticipés étaient positivement autocorrélés, ce qui semble peu conciliable, à première vue, avec l'autocorrélation négative trouvée dans les taux de rentabilité. L'explication tient au taux de rentabilité anticipé qui est en quelque sorte le taux d'actualisation reliant le prix courant de l'actif aux dividendes futurs anticipés. Il apparaît au dénominateur de l'expression du prix ; son effet est donc inversé lorsqu'il affecte le prix.

POTERBA et SUMMERS (1986) ont montré que si la composante stationnaire zt du processus de prix de l'actif est un AR(1) de paramètre  positif, alors le taux de rentabilité anticipé est un AR(1) de paramètre . Ce dernier processus est corrélé de coefficient d'autocorrélation ^T à l'horizon T. POTERBA et SUMMERS montrent que cette autocorrélation de long terme peut être causée soit par un comportement irrationnel des investisseurs (SUMMERS, 1986), soit par une variation du taux de rentabilité anticipé. Les deux interprétations amènent cependant une même évolution du prix de l'actif. BALL et KOTHARI (1989) démontrent que l'effet de retour en espérance est plutôt causé par des changements de niveau du risque qui entraînent une variation du taux de rentabilité espéré.

Empiriquement, ils vérifient que les taux de rentabilité sont “mean reverting” mais que c'est également le cas des taux de rentabilité ajustés pour le risque spécifique de la firme (beta). Ils montrent aussi que le taux de rentabilité anormal (c'est à dire une fois ôtée la rémunération du risque systématique par l'emploi du MEDAF) est faible. Ils en déduisent ensuite que la corrélation à long terme, vérifiée empiriquement, provient de la variation du risque et ce par le biais de la variation du taux de rentabilité anticipé. En effet, une hausse de ce dernier causée par une augmentation du risque provoque une baisse de la valeur de marché de l'actif et donc un taux de rentabilité réalisé plus élevé (à dividendes anticipés constants).

Le modèle de retour en espérance rappelle que la dépendance dans les séries boursières ne se limite pas au court terme. De plus cette idée repose sur un modèle

statistique cohérent et donne une explication aux problèmes rencontrés par les tests de l'efficience des marchés se limitant au court terme.

Il est possible de rapprocher l'analyse R/S du retour en espérance par l'accent qu'elles mettent sur la dépendance de long terme. Le modèle de FAMA et FRENCH correspond à ce que l'analyse R/S définit comme un processus antipersistant. Les deux études sont donc à mener en parallèle de façon à consolider les conclusions qui peuvent être apportées. De plus, ils vérifient empiriquement que la corrélation est la plus forte pour les horizons de 3 à 5 ans. Or PETERS trouve un cycle de durée non périodique de 48 mois en moyenne sur les dix séries analysées.

Il y a donc une forte similitude de résultats entre les deux travaux. La différence majeure entre les deux études est que les tests de PETERS concluent à la persistance ce qui est en totale inadéquation avec le retour en espérance. Les deux travaux ne sont donc pas similaires mais recèlent un contenu qui autorise à prendre en réelle considération les phénomènes de long terme.

Dans les années quatre-vingts, l'étude de la persistance a ouvert de nouvelles voies de recherche. Cependant, cette voie n'est pas aussi importante que celle ouverte par l'utilisation des processus ARCH (ENGLE, 1982). Cet outil permet en effet de modéliser les variances des processus tout en conservant certaines propriétés nécessaires à l'étude financière.