Conditions d'utilisations

La statistique BDS est très sensible à la linéarité. Il serait dommage de ne l'utiliser que pour déceler des dépendances linéaires ; il existe pour cela d'autres outils. Afin de profiter des nouvelles possibilités qu'offre le test BDS, BROCK (1986) préconise le filtrage linéaire de la série testée afin d'enlever tout effet linéaire. Il explique dans cet article que la valeur de la statistique est la même sur

les données originales et sur les résultats du filtrage. Plus exactement, il montre que l'attracteur d'une série mue par un processus déterministe possède la même dimension que la série issue du filtrage linéaire de la série initiale. Cela découle du fait que la dimension de GRASSBERGER-PROCACCIA est un invariant qui permet de regrouper des systèmes dynamiques isomorphes. Or le filtrage linéaire est un isomorphisme de IR dans IR qui à une série {x_t} associe la série filtrée {e_t}.

Dans notre cas, le test BDS va être appliqué sur des données présentant une autocorrélation s'annulant très rapidement. Jusque là, en effet, les tests de l'efficience des marchés ne cherchaient à opposer à l'efficience des marchés qu'une corrélation linéaire dans l'évolution des cours. A cette corrélation, il est en général associé un dysfonctionnement des marchés financiers. En cas de rejet de l'hypothèse d'indépendance, il faut conclure alors à l'existence d'une partie déterministe dans l'évolution des cours, ce qui traduit la possibilité d'utiliser une information non encore intégrée dans le cours pour battre le marché. Ce schéma apparaît un peu restrictif, en raison de l'utilisation exclusive de la linéarité.

Cependant, au milieu des années 80, avec l'introduction de processus stochastiques non linéaires (ARCH, GARCH ...) et surtout l'apparition du chaos déterministe (également non linéaire) un bouleversement est apparu dans l'étude statistique et mathématique des séries financières. La non linéarité va permettre de modéliser des phénomènes pour lesquels l'usage de la linéarité est insuffisante.

HSIEH (1989, 1991) a recensé les différentes alternatives contre lesquelles la statistique BDS était robuste. Elles sont au nombre de quatre :

- la dépendance linéaire - la non stationnarité

- les processus stochastiques non linéaires - le chaos déterministe

Dépendance linéaire

Les simulations montrent que le test BDS parvient à rejeter 99,75 fois sur 100 (selon différentes valeurs de r et pour différentes dimensions supposées de

l'espace des phases) l'hypothèse de distribution iid lorsque celle-ci est en fait un processus autorégressif ou moyenne mobile d'ordre un. C'est la confirmation de la forte robustesse du test à l'hypothèse de dépendance linéaire.

Non stationnarité

HSIEH teste la robustesse de la statistique BDS contre deux processus non stationnaires ; le premier est la non stationnarité en espérance. Pour cela, il simule des séries indépendamment distribuées mais ayant une espérance de -1 pour les cinq cents premiers termes et de +1 pour les cinq cents derniers (la variance est de 1 pour tout l'échantillon). Il simule également des processus non stationnaires en variance. D'espérance 0, ils sont de variance 1 pour les cinq cents premiers et 2 pour les cinq cents derniers. Dans les deux cas le test BDS rejette fortement l'hypothèse iid. Le rejet atteint 100 % pour la non stationnarité en espérance (quelle que soit la valeur de r : 0,5, , 1,5 et 2⁵⁸). Pour la non stationnarité en variance le rejet est au pire de 92,65 %. Là aussi il semble que la statistique BDS est extrêmement robuste contre l'hypothèse de non-stationnarité.

La non linéarité stochastique

Les simulations sont réalisées pour le modèle autorégressif par morceaux TAR (Treshold AutoRegressive) de TONG et LIM (1980). Dans l'article de HSIEH il est choisi :

x_t = -0,4 x_t-1 + u_t si x_t-1 < 1 (2.18) x_t = 0,5 x_t-1 + u_t si x_t-1 ≥1

où u_t est n.i.d.

Les simulations sont également effectuées sur des ARCH(1) et GARCH(1,1) ainsi que sur le modèle EGARCH défini par NELSON (1991). Dans tous les cas, le test BDS rejette fortement l'hypothèse iid lorsqu'il y a présence d'un de ces phénomènes. La robustesse est moins forte pour les processus GARCH avec des

58est l'écart type des données.

dimensions faibles de l'espace des phases (N-historiques de taille faible). Le problème est plus important en ce qui concerne le processus EGARCH. D'après les simulations, le test BDS ne rejette l'hypothèse iid en cas de EGARCH que 50 % des fois. Le risque de croire en l'hypothèse iid à tort est non négligeable et ainsi peut empêcher de modéliser à l'aide d'un processus pourtant très intéressant. Afin de résoudre cela, HSIEH fournit une table des valeurs critiques pour appliquer le test BDS en cas de présence supposée d'un effet EGARCH.

Le chaos déterministe

HSIEH assure la robustesse du test BDS contre plusieurs types de processus chaotiques, mais ne présente que les résultats concernant l'équation de MACKLEY-GLASS (1977) :

dx_t

dt = ax_t-c 1 + x_t-c¹⁰

- bx_t

(2.19) avec : a=0,2, b=0,1 et c=100

Le choix de cette équation tient au fait qu'elle génère un chaos à relativement haute dimension (7,5). A priori un tel chaos est moins facilement détectable. Si BDS détecte ce type de chaos, il n'en sera que plus fiable dans la détection des chaos à plus faible degré de liberté. HSIEH suppose ici implicitement que si le test BDS est robuste contre un tel type de chaos, il sera robuste contre des chaos à plus faible degré de liberté. Les résultats sont spectaculaires puisque le test détecte 100

% des processus générés à partir de cette équation pour toutes les valeurs de r testées et pour des historiques de tailles 2 à 5. Le chaos semble donc aisément détectable à l'aide de la statistique BDS.

Cependant, les résultats issus du test BDS ne disent rien en ce qui concerne la nature du rejet de l'hypothèse nulle de série iid. Il est nécessaire d'effectuer différents tests qui vont nous permettre de connaître les causes de ce rejet selon qu'il s'agit de la non stationnarité, de la non linéarité stochastique ou du chaos déterministe.