Reconstruction de l'attracteur

Supposons que nous ne disposions comme information que des valeurs d'une série en fonction du temps. Comme précédemment il faut former des vecteurs de dimension p, x₁^p=x₁, ..., x_p=X₁ ; par exemple, un vecteur à trois dimensions ce qui permet une représentation graphique. Nous sommes alors en présence d'une nouvelle série temporelle, mais tridimensionnelle cette fois. La trajectoire de la série peut se représenter dans un espace à trois dimensions où chacune des composantes du vecteur X_t constitue une dimension de l'espace des phases ainsi reconstitué. Ce travail est réalisé pour différents intervalles de temps. La figure géométrique ainsi obtenue nous donne un renseignement quant à la forme de l'attracteur du système. ECKMANN (1992, pages 101-102) reconstruit ainsi l'attracteur de LORENZ à partir uniquement de l'évolution temporelle de la variable univariée Y.

Cette méthode repose plus sur l'intuition que sur un raisonnement mathématique. Mais comme le souligne MANDELBROT (1989, troisième édition) la notion de fractal est assez intuitive elle aussi. Nous pensons donc qu'il ne faut aucunement négliger des solutions qui peuvent permettre d'avancer même si leur fondement paraît bien intuitif.

Conclusion.

Le débat sur la nature déterministe ou aléatoire des phénomènes qui nous entourent s'est longtemps limité à une constatation des limites flagrantes de l'outil déterministe. Les équations différentielles ont supporté pourtant longtemps la vision d'un monde déterministe mais les probabilités ont progressivement pris leur place dans de nombreux travaux scientifiques. Or depuis le milieu des années soixante-dix, la théorie du chaos à faible degré de liberté permet d'entrevoir une description déterministe du monde tout en conservant des propriétés essentielles telles que le désordre et la discontinuité. Cela est rendu possible par l'approche géométrique, et

non mathématique ou probabiliste, des phénomènes. L'intérêt pour ce type de recherche va de concert avec les travaux de MANDELBROT sur les objets fractals longtemps considérés comme des monstres mathématiques.

Pour notre part, nous privilégions une utilisation méthodologique du chaos.

Il sera préféré à d'autres modèles s'il permet une meilleure représentation de la réalité et non pas comme une vision déterministe du monde. Dans le cas qui nous intéresse ici - l'évolution des cours boursiers - la prévisibilité des cours est la question centrale. L'efficience, par le mécanisme aléatoire d'évolution des rentabilités qu'il suppose, semblait difficilement compatible avec l'idée d'une modélisation déterministe. Cependant si cette dernière entraîne une incapacité à prévoir, alors l'antagonisme classique efficience-déterminisme doit être reconsidéré (chapitre 5). De plus il nous apparaît intuitivement que les notions de chaos et de bruiteurs sont liées d'une manière que nous approfondirons dans la suite de ce travail (chapitre 6).

CHAPITRE 5 : UN NOUVEAU TEST DE LA MARCHE ALEATOIRE.

Ce chapitre va être consacré à la présentation d'une nouvelle stratégie du test d'efficience des marchés financiers qui repose sur la caractérisation géométrique de l'attracteur d'une série de rentabilités. Cependant l'information délivrée par ce type de caractérisation est incomplète du fait du manque de fiabilité des méthodes proposées. Par exemple, la dimension de GRASSBERGER et PROCACCIA (1983) permet de caractériser la dimension éventuellement non entière d'un attracteur et donc la nature chaotique d'un processus. Le problème de cette mesure est justement qu'elle n'est qu'une mesure et ne possède pas de théorie statistique sous-jacente.

Que conclure si après l'étude de la dimension par le graphique (différentes valeurs de r et de la taille supposée de l'espace des phases) la dimension obtenue est 5,999 ? Devons-nous en déduire la présence d'un attracteur fractal ou simplement hésiter devant une erreur de calcul éventuelle de mesure de l'attracteur qui serait en réalité de dimension 6 et révélateur ainsi d'un processus certes déterministe mais non chaotique ? Surtout, une taille trop faible des séries (inférieure à 2000) crée un biais dans l'évaluation de la dimension de GRASSBERGER-PROCACCIA comme l'ont montré RAMSEY et YUAN (1987).

Cette même année, BROCK, DECHERT et SCHEINKMAN ont résolu, semble-t-il, ce problème en introduisant un test statistique basé sur cette dimension (section 1). Ils ont construit un test non-paramétrique autour du calcul de la corrélation intégrale (ou corrélation spatiale). Plutôt que de tenter de faire la différence entre un processus chaotique et un processus stochastique, leur test va opposer l'hypothèse selon laquelle une série est iid contre l'hypothèse alternative d'une dépendance non linéaire déterministe ou stochastique. Il est nécessaire, après avoir présenté le test BDS, d'expliciter les différents tests permettant de connaître la cause du rejet de l'hypothèse de série iid.

HSIEH (1989,1991) a montré, par simulation, que le test BDS était également robuste contre la non-stationnarité. Il nous faut donc, dans la section 2,

présenter les différents types de non-stationnarités avant de préciser les tests à effectuer et les stratégies affectées à chacun de ces tests.

La section 3 sera consacrée aux tests de la non-linéarité stochastique. Ceux-ci ont déjà été abordés dans la section 2 du chapitre 2 mais nous les affinerons et les préciserons. Le test du moment de troisième ordre permet de connaître le type de non linéarité (multiplicative ou additive) auquel on est confronté avant de tenter de le modéliser.

Enfin la quatrième section traitera des méthodes de calcul de l'exposant de LYAPUNOV. Nous verrons d'abord ce qu'est cet exposant et en quoi il permet de caractériser les séries chaotiques déterministes. Ensuite nous présenterons l'algorithme de WOLF (WOLF, SWIFT, SWINNEY et VASTANO, 1985) qui est le plus souvent utilisé pour déterminer cet exposant. Nous terminerons par la méthode des réseaux de neurones (KAASHOEK et VAN DIJK, 1991) qui permet d'éviter certains problèmes liés à l'algorithme de WOLF dans le calcul de l'exposant de LYAPUNOV.