Exposant de HURST

Lorsque Pharaon demande à Joseph d'interpréter ses rêves dans lesquels apparaissaient sept vaches grasses dévorées par sept vaches laides et maigres, puis sept beaux épis engloutis par sept épis noirs et desséchés, Joseph y voit un signe de Dieu. Et son interprétation permet au peuple égyptien de mieux traverser les sept années douloureuses que Pharaon avait entrevues dans son rêve prémonitoire.

Pharaon ordonne que durant les sept premières années fertiles, il soit fait une quantité suffisante de réserves afin de pallier les insuffisances en nourriture qu'entraîneraient les sept années suivantes de sécheresse.³⁷

Cette anecdote biblique nous conduit directement aux études hydrologiques de HURST (1951) portant sur le comportement du Nil. De plus, elle nous conduit à définir “l'effet Joseph” comme étant synonyme de persistance et de mémoire de long terme dans les séries temporelles. Le problème, que l'auteur tente de résoudre, consiste en la gestion de réservoirs alimentés par le Nil. Pour cela, il est obligé de mettre au point une nouvelle statistique appelée “Exposant de HURST”. Il doit calculer la taille des réservoirs à construire en déterminant les quantités minimales et maximales de contenance qui préservaient à la sortie du réservoir un débit à peu près constant à travers les différentes époques. En reprenant l'exemple biblique, il faut que la contenance minimale du réservoir soit suffisante à la fin de la septième année pluvieuse pour assurer un minimum d'eau pour les sept années de sécheresse à venir. Pour déterminer cette contenance minimale, HURST a construit une mesure de persistance qui est calculée sur le principe des fluctuations maximales et minimales d'une série autour de sa moyenne temporelle. Il faut pour cela mesurer le ratio entre l'étendue de cette série (Range) et son l'écart type (Standard deviation).

L'étendue d'une série  est :

37 Cette allégorie est issue de l'Ancien Testament (Genèse, chapitre 41) et est reprise dans de nombreux articles traitant de la persistance.

R(T) = Max

HURST, à partir des propriétés asymptotiques de ce coefficient, montre que sans poser d'hypothèse de normalité sur la distribution de la série étudiée, l'étendue standardisée possède une limite de la forme :

R/S  cT^H

où c est une constante, T est l'intervalle de temps entre la première et la dernière donnée du sous-échantillon servant de base aux calculs et H l'exposant de HURST qui est compris entre 0 et 1. Cette propriété va permettre de déterminer ensuite H.

Mais auparavant, il semble nécessaire de préciser les conclusions découlant des différentes valeurs possibles de H.

MANDELBROT (1975) décrit le comportement asymptotique du coefficient de HURST selon la nature de la série :

- si la série est indépendante alors H = 0,5 ;

- si la série est un ARMA alors H = 0,5 et la constante est différente du cas précédent. Dans un tel cas, H est influencé par la dépendance à court terme si la taille de l'échantillon est faible ce qui entraîne un biais.

- si la série est persistante alors H est différent de 0,5. Deux cas sont alors possibles :

• 0 ≤ H ≤ 0,5 la série est antipersistante. A long terme, la “corrélation” de la série est négative. Il y a un phénomène de retour en espérance ;

• 0,5 ≤ H ≤ 1 alors la série est positivement persistante. Cela peut se rapprocher de la présence d'un trend. Plus la valeur de H approche de 1, plus le trend est marqué, et moins le caractère aléatoire est présent.

L'utilisation de tels outils se montre plus robuste que les méthodes classiques d'étude des autocorrélations, des ratios de variance ou de décomposition spectrale (MANDELBROT, 1972). Le même auteur recommande, en 1975, de différencier la série afin d'éviter qu'une valeur de H proche de 1 ne soit le signe d'une éventuelle non-stationnarité. L'avantage de cette méthode est qu'elle permet de déceler des dépendances de long terme dans des séries à variance infinie (lois stables) alors que des tests reposant sur le calcul des autocorrélations nécessitent le calcul empirique du moment de deuxième ordre.

Un problème se pose au moment du calcul de H pour des valeurs cohérentes de T et du point initial. WALLIS et MATALAS (1970) établissent deux manières de calculer l'exposant de HURST. Il y a le coefficient F-HURST où il faut effectuer le calcul pour tous les points initiaux possibles et toutes les dimensions possibles de sous-échantillons. Cette procédure est très longue. Il est possible autrement de calculer le coefficient G-HURST où seuls quelques points initiaux et quelques tailles sont prises en compte. Bien entendu le biais dans le calcul de H diminue quand la taille minimale du sous-échantillon augmente, et est moins important pour le F-HURST que pour le G-HURST.

Pour estimer l'exposant de HURST, MANDELBROT et WALLIS (1969) suggèrent une méthode graphique qui consiste à poser Log T en abscisse et Log R/S en ordonnée. En effectuant le calcul pour différents points initiaux et différentes valeurs de T, il y a alors plusieurs points. Le coefficient de HURST est la pente de la droite constituée des différents exposants calculés; cette valeur est estimée par régression linéaire. PETERS (1991) explique qu'on ne peut effectuer de statistique inférentielle sur H dont les caractéristiques statistiques sont inconnues.

Ainsi, le caractère purement aléatoire ou non d'une série pourra être déterminé à partir d'une analyse relativement simple. Dans le cas où une persistance

serait mise à jour, l'importance du biais par rapport à l'évolution aléatoire est fonction de la valeur de H et notamment de l'ampleur de sa différence par rapport à 0,5.