Modèles dérivés et applications

Le succès des processus ARCH a amené de nombreux chercheurs à développer des modèles permettant de généraliser cette notion. Nous présentons rapidement ici les principaux modèles dérivés de ARCH qui sont utilisés en finance.

42 La variance conditionnelle de l'innovation peut évoluer dans le temps sans que le processus d'innovation ne présente d'autocorrélation.

Processus GARCH.

Ce processus a été introduit par BOLLERSLEV (1986) et constitue une

“Généralisation” du processus ARCH. Un processus t sera un GARCH (p,q) si :

t /I_t-1 ~ N(0,ht2) avec

h_t²=α₀+

∑

i=1

α_iε_t-i² +

∑

j=1

β_jh_t-j²

(1.94) Si q = 0, t est un processus ARCH(p); si p = q = 0, _t est un bruit blanc.

Dans tous les autres cas, il s'agit d'un GARCH(p,q). La variance conditionnelle inclut le carré des p erreurs précédentes et les q variances conditionnelles passées ; elle évolue de période en période et intègre les erreurs les plus récentes de manière à constituer un mécanisme adaptatif. L'estimation du modèle est faite en employant l'algorithme de BERNDT, HALL, HALL et HAUSMAN (1974), basé sur le principe du maximum de vraisemblance.

Le modèle GARCH possède des propriétés similaires à celles d'un ARCH quant à ses propriétés adaptables à la finance. Il pourra être appliqué dans une étude de l'efficience des marchés. BOLLERSLEV et ENGLE (1986) utilisent un GARCH (1,1) pour modéliser la prime de risque sur le marché des taux de change.

Cependant BLACK (1976) avait mis à jour la corrélation négative existant entre les taux de rentabilité avec les changements de volatilité. Cette dernière augmente après une mauvaise nouvelle et diminue en cas de bonne nouvelle.

Malheureusement, une modélisation GARCH de l'innovation ne rend compte que de l'amplitude et aucunement du signe du lien éventuel entre volatilité et rentabilité. En effet, dans un GARCH (comme dans un ARCH d'ailleurs) la modélisation de la variance conditionnelle fait apparaître les innovations passées élevées au carré, donc sans tenir compte du signe de cette dernière. De plus les modèles GARCH imposent des contraintes de positivité sur les coefficients  et  de la variance conditionnelle. NELSON (1991) définit le processus GARCH Exponentiel (EGARCH) qui permet de combler ces lacunes.

GARCH Exponentiel

Un processus {t} sera un EGARCH si :

t /I_t-1 ~ N(0,ht2) avec

ln h_t² =α + φ ε_t-1

h_t-1 +δln h_t-1² + γ ε_t-1

h_t-1 (1.95)

Ce modèle permet à la variance conditionnelle d'être à la fois fonction de l'importance et du signe de l'innovation. NELSON (1991) teste EGARCH sur la période de Juillet 1962 à Décembre 1987 pour des données quotidiennes de la base du CRSP. Il vérifie l'asymétrie préconisée par BLACK dans la réaction en termes de volatilité des cours à une bonne ou mauvaise nouvelle. Ce modèle introduit une source supplémentaire de non linéarité qui permet de mieux prendre en compte les phénomènes complexes de finance. En outre, il ne nécessite pas de contraintes de positivité sur les paramètres ce qui simplifie le programme d'optimisation utilisé lors de l'estimation des paramètres.

ARCH in Mean (ENGLE, LILIEN, ROBINS, 1987)

Il peut s'avérer utile d'inclure la volatilité du processus (définie par un ARCH) comme une variable explicative dans l'équation structurelle. Par exemple, il est possible de définir la rentabilité d'un actif comme fonction du risque en ayant modélisé ce dernier comme un processus ARCH. Un tel modèle appelé ARCH-M se définit comme suit.Soit une équation de la forme _{t =} z'_tb + u_t au temps t. Le processus {u_t/I_t-1} d'erreur définie conditionnellement à l'information passée est de la forme :

u_t/I_t-1 ~ N(0,ht²)

Le processus _t sera un ARCH-M si :

_t = z'tb + ƒ(h_t²) + u_t (1.96)

où ut est un ARCH.

ƒ(.) est une fonction quelconque.

Il est toujours tenu compte de l'hétéroscédasticité conditionnelle mais en plus l'expression de l'espérance conditionnelle inclut la variance conditionnelle. Ce processus peut être très utilisé en finance où il paraît logique de supposer que les cours boursiers sont fonction de leur volatilité. Comme, outre les informations économiques et générales, l'étude des cours passés de la série permet d'aider certains investisseurs à la prévision, la volatilité est également une information qui peut les guider dans le choix de leur stratégie. Elle représente la nervosité du marché qui anticipe, par exemple, un retournement de tendance. Le processus GARCH-M est défini de la même manière avec comme seule différence que u_t est un GARCH au lieu d'être un ARCH.

GARCH-Difference in Mean

Un problème similaire au précédent peut se poser à la différence près que la rentabilité soit fonction de la différence de volatilité entre deux périodes plutôt que de la volatilité même. Il faudra alors utiliser un processus nommé GARCH-DM, défini en 1990 par COCCO et PARUOLO. Un tel processus sera de la forme :

_t = z'_tb + ( h_t² - ht-12 )+ ut (1.97) où ht² est la variance conditionnelle de ut qui est un processus GARCH classique. Il s'agit donc d'un raffinement du modèle GARCH-M présenté auparavant.

GARCH-Distributed Lag in Mean

Pour exprimer une variable en fonction de plusieurs réalisations de sa volatilité passée, il faut utiliser le processus GARCH-DLM (COCCO, PARUOLO, 1990) défini à partir d'un processus {Yt} et représenté à la période t par l'équation suivante :

Y_t=

ζ

∑

i=1

δ

(1.98)

Il existe donc une gamme assez importante de dérivés du modèle ARCH initial qui permettent de moduler la modélisation en fonction des phénomènes étudiés.

Integrated GARCH

Il peut arriver que le processus GARCH soit impossible à définir. C'est à ce problème que répondent les processus IGARCH.

_t/I_t-1 ~ N(0,ht2)

Eε_t²/I_t-1=h_t²=α₀+α₁ε_t-1²+β₁h_t-1² (1.99) Si ₁ + ₁ = 1, alors la variance non conditionnelle ² n'existe pas ; il s'agit d'un processus caractérisé par le fait que le dénominateur de ² est nul. Dans cette situation, l'expression de la variance conditionnelle est la suivante :

ht2 Ces différents modèles permettent de donner à la volatilité des marchés une part plus importante et moins passive dans l'étude des cours boursiers. Depuis les travaux de MARKOWITZ (1952) le risque sur l'actif est une composante majeure de l'élaboration de stratégie en finance. Une prise en compte réelle de la volatilité s'imposait donc. Les modèles plus anciens de variance présentés au premier chapitre étant trop restrictifs, les processus ARCH marquent un progrès réel par la souplesse avec laquelle ils permettent de modéliser la volatilité des marchés. Mais un nombre quasi infini de lois stables possèdent également ces propriétés (notamment la kurtosis). Comment distinguer alors s'il faut employer plutôt une loi stable ou un processus de type ARCH ? La théorie des valeurs extrêmes permet de distinguer entre ces deux ensembles de lois, et parmi d'autres encore. Nous

reprendrons pour cela l'article de LONGIN (1992a) qui décrit cette théorie permettant d'effectuer des tests afin de choisir la meilleure spécification.