Le modèle ARCH

La représentation des phénomènes avec hétéroscédasticité conditionnelle est assez ardue à établir. ENGLE (1982) définit un processus prenant en compte cela et allant plus loin que les processus bilinéaires classiques⁴¹:

_{t = utht} où u_t ~ N(0,1)

avec h_t= α₀+

∑

i=1

α_iε_t-i²

(1.85) p est l'ordre du processus ARCH. Il représente le nombre de retards maximum qui apparaissent dans ht.

Une propriété intéressante en finance des processus ARCH est, qu'en termes non conditionnels, nous retrouvons des moments identiques à ceux d'un processus bruit blanc. En effet, sous l'hypothèse d'indépendance entre ut et ht :

E(_t) = E(u_th_t) = E(u_t) E(h_t) = 0

La variance non conditionnelle se déduit comme suit :

V(_t) = E(_t²) = ₀ + A(L)E(_t²) (1.86)

² = ₀ + A(L) ² = ₀ + A(1) ² (1.87) Donc

V(_t) = ² = ₀ /[ 1 - A(1)] (1.88)

Les moments conditionnels d'un ARCH(p) sont :

E(_t/I_t-1) = 0 (1.89)

V(_t/It-1) = h_t² = ₀ + A(L)_t² (1.90)

41 La bilinéarité définie par GRANGER et ANDERSEN (1978) est un modèle tel que la variance conditionnelle de _t dépend de ses réalisations passées _t-1 avec :

_t = u_t_t-1 où u_t est un bruit blanc (0,2) E(_t /I_t-1) = 0 et V(_t /I_t-1) = ² _2t-1

Un des intérêts de l'utilisation des processus ARCH(p) est qu'ils englobent le processus bruit blanc comme un cas particulier (p=0). Par exemple, dans l'équation de marche aléatoire, l'innovation est un bruit blanc. Si l'innovation est un ARCH(p), il s'agit alors d'une extension de l'hypothèse et non d'une restriction. En effet, les processus ARCH présentent des propriétés non conditionnelles similaires à celles d'un bruit blanc.

L'intérêt d'utiliser les processus ARCH réside également dans sa kurtosis qui est réaliste par rapport à ce qui est généralement observé sur les différentes places boursières mondiales. En effet, lors d'une étude empirique, TAYLOR (1986) a montré que les séries de rendements financiers présentaient un aspect leptokurtique marqué. La kurtosis d'un processus ARCH(1) est :

k = Eε_t⁴ processus ARCH a toujours une distribution leptokurtique ce qui permet de prendre en compte les événements rares avec plus de réalisme qu'avec l'emploi d'une loi mésokurtique. La probabilité de survenance d'un événement extrême est ainsi mieux appréhendée qu'avec la loi normale notamment.

Le premier stade est l'identification du nombre de retards apparaissant dans la variance conditionnelle (ici p). Il est possible d'exprimer la variance conditionnelle comme un AR(p) avec constante sur {_t²}. Le choix de p se déduit de l'analyse de BOX et JENKINS (1970). Il sera calculé à partir des fonctions d'autocorrélations partielles de la série _t². Cette étude des termes élevés au carré permet de détecter des relations non linéaires (ici quadratiques) dans une série alors que l'étude de la série simple ne laisse pas apparaître de lien à travers le temps.

Soit r_i, l'autocorrélation partielle au rang i de _t² ; le processus ARCH sera d'ordre p si r_i est nul, quel que soit i>p. Pour savoir si nous sommes bien en

présence d'un ARCH(p), il faut tester l'hypothèse nulle de bruit blanc (_i = 0 pour i

=1,..,p) contre l'hypothèse alternative (_i non tous nuls). Supposons un modèle de régression de Y sur X avec  le résidu dont nous cherchons à savoir s'il est un processus ARCH. La procédure de test employant le score et la matrice d'information peut se résumer à cinq étapes :

(1) régresser Y_t sur X_t;

(2) élever les résidus  estimés au carré;

(3) les régresser sur une constante et p retards;

(4) calculer le produit du nombre d'observation par le coefficient de corrélation de cette dernière régression (TR²);

(5) tester TR² par rapport à un chi-deux à p degrés de liberté.

Il existe plusieurs méthodes d'estimation. Les deux plus courantes sont d'une part celle utilisant le maximum de vraisemblance (algorithme du score, de BERNDT, HALL, HALL, HAUSMAN) et d'autre part celle des moindres carrés.

ENGLE (1982) suggère l'utilisation de l'algorithme du score qui est une procédure itérative permettant d'atteindre la solution optimale pas à pas.

Les processus ARCH ont connu un grand succès en finance et ont été intégrés dans la plupart des grands modèles financiers (MEDAF, structure à terme des taux d'intérêt, marché des changes, modèles d'arbitrage, prise en compte du phénomène de grappe constaté par MANDELBROT en 1963). Leur application aux tests d'efficience permet d'utiliser un processus dont la distribution possède des caractéristiques proches de celles constatées sur les marchés financiers (distribution unimodale, symétrique et leptokurtique) tout en étant compatible avec les tests classiques d'efficience en raison de la nature de ses moments non conditionnels d'ordre un et deux identiques à ceux d'un bruit blanc.

Nous avons utilisé ces propriétés dans la représentation statistique des marchés financiers (ALEXANDRE, 1992) en développant la notion de Quasi Marche Aléatoire (QMA) pour laquelle il est postulé que l'innovation d'une série boursière est un processus ARCH. De là, nous avons constaté que l'hypothèse d'efficience est acceptée plus souvent si le modèle testable est la QMA que si c'est

une marche aléatoire. Pour cela, il faut prendre la définition de GRANGER et MORGENSTERN (1970) qui pose qu'un processus X_t est une marche aléatoire si :

E[X_t-X_t-1] = E[X_t+-X_t+-1] pour tout t et  >0 (1.92) Cov (X_t-X_t-1,X_t+-X_t+-1) = 0 pour tout t et  >0 (1.93) Or, dans un modèle où l'innovation est un processus ARCH la première condition est vérifiée de par la nullité en espérance non conditionnelle d'un ARCH.

La nullité de la covariance se vérifie aisément aussi. Une telle modélisation enrichit l'étude du phénomène sans être en opposition avec la notion d'efficience des marchés⁴². Cette modélisation va permettre de respecter les propriétés d'un marché efficient (QMA) tout en donnant une représentation plus réaliste de la variance conditionnelle. Cela est visible dans la prévision où nous montrons que, si elle reste la même qu'avec le modèle de marche aléatoire, son intervalle de confiance varie dans le temps et est un signal de l'état de nervosité du marché. De plus, tout en respectant l'hypothèse d'efficience des marchés l'utilisation des modèles ARCH peut guider lors de certaines stratégies d'utilisation des options où le niveau de variation compte plus que le sens de la variation (ALEXANDRE, 1992). La notion de QMA permet un plus grand réalisme des tests d'efficience des marchés financiers en ne cloisonnant pas les tests par une spécification trop restrictive des phénomènes statistiques.