Dimension d'un objet fractal

La dimension topologique, toujours entière, ne peut absolument pas servir à mesurer des objets dont la caractéristique est justement d'être de dimension non entière. Pour cette raison, il faut faire appel à des dimensions qui permettent de prendre en compte la possibilité d'existence et de mesure d'objets dont les dimensions sont particulières (à moins que ce ne soit une dimension entière qui soit un cas particulier).

Considérons un objet situé dans un espace à p dimensions. Pour recouvrir cet objet il faudra N() hypercubes⁵⁶ de côtés . La dimension fractale de l'objet, appelée également dimension de HAUSDORFF-BESICOVITCH⁵⁷ est :

D =lim

ε→ 0

ln Nε ln(1/ε)

(2.6) Si l'objet est un point, il suffit d'un hypercube pour le recouvrir. D est donc égale à 0. Si l'objet est un segment de longueur L, alors N() = ^-1, donc D égal 1.

56 Un hypercube est à la dimension n ce qu'un cube est à la dimension 3.

57 Cette dimension a été établie par HAUSDORFF (1919) puis améliorée par BESICOVITCH (1935).

Pour des objets de forme géométrique classique, la dimension d'HAUSDORFF est la même que la dimension euclidienne.

En revanche, pour un fractal comme l'ensemble triadique de CANTOR, cette dimension va trouver ici son réel intérêt. Nous avons vu que la dimension d'une poussière de CANTOR est comprise entre 0 et 1.

Si  = 1/3, le nombre minimal d'hypercubes (ici des segments) nécessaires pour recouvrir l'ensemble de CANTOR est N(1/3) = 2.

Si = 1/9, N(1/9) = 4.

Si = (1/3)^m, N() = 2^m.

La dimension d'HAUSDORFF est alors : D =lim_{m→ ∞}ln(2^m)

ln(3^m)

=0,63

L'objet triadique de CANTOR est un objet fractal, sa dimension n'est effectivement pas entière. En utilisant la même méthode, la dimension du flocon de VON KOCH est D = ln4/ln3 = 1,26.

Mais dans de nombreux cas cette méthode de calcul de la dimension d'un objet fractal s'est révélée insuffisante. En effet, la poussière de CANTOR et le flocon de VON KOCH sont construits de manière récursive. Autrement, il est nécessaire de faire appel à une autre méthode permettant d'évaluer rapidement une dimension fractale u. Cette dernière est inférieure mais proche de D. La valeur de D est basée sur la constitution géométrique de l'attracteur et donne une mesure maximale de la dimension de l'attracteur alors que u, au contraire, dépend de la densité des points sur l'attracteur.

Supposons un ensemble de points répartis uniformément sur un plan. N(r) est le nombre de points de cet ensemble contenu dans un cercle de rayon r. La dimension u est déterminée par la définition même de la dimension fractale. En effet, celle-ci décrit la façon dont un objet emplit l'espace dans lequel il est situé.

Donc u va se calculer en fonction de la variation de N(r) avec r. Par exemple, si les points se situent sur une courbe (dimension 1) alors :

N(r) _˜ r ou bien N(r) _˜ r^uavec u = 1

Si les points sont uniformément répartis sur un plan (dimension 2) alors : N(r) ˜ r^{2 u} = 2

Il a été proposé, sur la base de cette méthode, un calcul de caractérisation géométrique d'un objet fractal dont l'explication est donnée dans BERGE, POMEAU, VIDAL (1988). Considérons un processus {X_t} chaotique. Il n'y a alors aucune corrélation significative entre cette variable à un temps t et à un temps t-.

Cependant tous les points sont situés sur le même attracteur et il existe entre eux une certaine corrélation spatiale prise en compte de la manière suivante :

C(r) =lim_m→∞ 1 m²

∑

H r - x_t- x_s

(2.7) où H est la fonction de Heaviside qui vaut : 1 si x_t- x_s < r

0 sinon.

C(r) est aussi N(r) compté dans des hypersphères centrées sur tous les points de l'attracteur ce qui rend ce calcul plus long mais beaucoup plus précis. C(r) est par conséquent proportionnelle à N(r) et donc :

C(r) _˜ r^u (2.8)

GRASSBERGER et PROCACCIA (1983) définissent sur cette base la dimension de l'attracteur comme étant :

Le résultat dépend trop fortement de la valeur attribuée à r pour pouvoir tirer des résultats fiables de ce calcul. Si r est trop grand alors quasiment tous les points sont pris en compte et C(r) tend vers 1. A l'inverse si r est trop petit alors peu de points vont être pris en compte et le calcul de C(r) est mauvais également car trop faible ici. RAMSEY et YUAN (1987) ont montré que la valeur trouvée pour u peut être biaisée sur des échantillons de 2000 observations.

Une solution proposée est de calculer cette dimension pour différentes valeurs de r. Il convient de représenter alors les différentes valeurs de u trouvées

υ=logC(r)

logr (2.9)

dans un repère cartésien avec Log(r) en abscisse et Log(C(r)) en ordonnée. La pente de la droite obtenue avec ces différents points va fournir une estimation de la dimension de recouvrement. Cependant, il n'existe pas de renseignement a priori sur la dimension de l'espace des phases dans lequel évolue le système, puisque la seule information disponible est une série unidimensionnelle de valeurs x_t. Sur la base de cette série il faut construire des vecteurs x₁^p=x₁, ..., x_p, et calculer alors C(r) pour des tailles croissantes de ce vecteur. A chaque fois, le calcul de la pente s'établit sur la partie linéaire des points trouvés dans le repère cartésien défini précédemment. Dans le cas, par exemple, d'un bruit blanc, la pente trouvée augmentera indéfiniment avec la taille donnée au vecteur. Cela traduit le fait qu'un bruit blanc est aléatoire et qu'il faut un espace des phases de dimension infinie pour le représenter (une infinité de conditions initiales). Dans le cas d'un système possédant un attracteur fractal de taille finie, la dimension u devient indépendante de p qui est la “dimension de plongement”. Même lorsque p augmente, la pente u reste constante. Cette pente constante est la dimension de l'attracteur. Si la valeur de u est non entière, cela signifie que l'attracteur est fractal, et donc que la série est chaotique.

Le problème est qu'il n'y a aucune théorie de statistique inférentielle derrière cela. SCHEINKMAN et LEBARON (1989) constatent par exemple que dans le cas d'un processus ARCH, la pente ainsi calculée augmente moins vite que la dimension de plongement. Un tel cas pourrait conduire à conclure à la présence d'un chaos à degré de liberté relativement élevé à tort. C'est pour cette raison que dans le chapitre 5, nous présentons un test statistique issu de cette méthode de caractérisation d'une série par la dimension de son attracteur.

Mais auparavant nous voulons présenter une autre méthode de caractérisation géométrique des séries. Elle consiste à essayer de reconstruire l'attracteur dans l'espace des phases aux dimensions appropriées à partir d'une série univariée.