Détermination du prix d'équilibre

A partir des hypothèses explicitées précédemment, il est possible d'élaborer un modèle de détermination du prix d'équilibre de l'actif risqué. Il permet de voir l'évolution du prix dans le temps et l'influence que les bruiteurs peuvent avoir sur ce prix.

Pour les investisseurs rationnels, la richesse finale anticipée est :

w =λ_tⁱ r +E p_t+1- p_t1+r

(1.45)

σ_w² = λ_tⁱ

2

σ_p²_t+1+σ_ε²

(1.46) avec σ_ε²est le risque fondamental ; C'est la variation des rentabilités de l'actif

risqué causée par un changement dans sa valeur fondamentale λ_tⁱest la quantité d'actif risqué demandée en t par les agents informés

tσ_²_+1 = E_ _+1-E _+1 est l'espérance faite en t de la variance de P à la période suivante

L'investisseur rationnel exprime une demande telle qu'elle maximise la fonction d'espérance d'utilité suivante par rapport aux quantités demandées d'actifs risqués :

c₀ + λ_ⁱ + E _+1 -_1+ - γ λ_ⁱ

2

σ_²_+1 + σ_ε²

(1.47) c₀ représente le revenu du travail issu de la période t

De la même manière le bruiteur maximise une fonction de la forme : c₀ + λ_ⁿ + E _+1 -_1+ - γ λ_ⁿ

2

σ_²_+1 + σ_ε² + λ_ⁿ ρ_

(1.48)

avec λ_tⁿ: quantité d'actif risqué demandée en t par les bruiteurs

_t : erreur commise par le bruiteur au temps t.

La maximisation des fonctions d'espérance d'utilité respectives (équations (1.47) et (1.48)) permet alors d'obtenir les quantités pour chacun des deux types d'agents présents sur le marché. demandées par les investisseurs informés (1.49) à l'exception du terme où apparaît l'erreur commise par les bruiteurs dans l'estimation du taux de rentabilité anticipé de l'actif risqué. Au dénominateur apparaît le risque fondamental lié à l'environnement économique et financier de l'actif et le risque induit par la présence des bruiteurs qui permettent au marché d'exister et de ne pas être figé. Comme nous l'avons vu précédemment, sans leur présence, le marché verrait de faibles transactions dues uniquement à l'ajustement des portefeuilles au risque fondamental. Le risque causé par les bruiteurs affecte leur propre stratégie et celle des autres investisseurs. Dans leur modèle sans risque fondamental, DSSW justifient le bien-fondé de la présence des bruiteurs par le fait qu'ils créent un risque empêchant les investisseurs d'être capables de prendre des positions infinies. Le risque induit par les bruiteurs empêche le prix de revenir rapidement à la valeur fondamentale.

Les demandes exprimées par chacun des types d'agents permettent de déduire le mécanisme d'évolution du prix d'équilibre de l'actif risqué. En reprenant les équations (1.49) et (1.50) pour les sommer afin de déterminer la demande totale et en posant (1-) ⁱ + ⁿ=1³⁵, il vient :

35 Cette relation est une conséquence de l'hypothèse selon laquelle les investisseurs vendent en t tous leurs actifs en t+1. Ils ne sortent pas obligatoirement du marché mais en l'absence de coût de transaction certains vendent et rachètent simultanément leur portefeuille (opération blanche en réalité justifiée par les hypothèses théoriques du modèle de DSSW).

p_t = 11+r r + E_t p_t+1 - 2 γ _σ_²_+1 + σ_ε² + μ ρ_

(1.51) En t+1, en termes d'espérance conditionnelle, et en supposant que la variance du prix est une constante (non dépendante du temps) :

E_tp_t+1 = 1

1+r r +E_t+1p_t+2- 2 γ σ_p² +σ_ε² +μ ρ_t+1

(1.52) Il se déduit alors aisément :

1+r E_t p_t+1 - E_t+1 p_t+2

r = 1 - 2γ σ_²+ σ_ε² -μ ρ_+1

 (1.53)

Donc : E_t p_t+1 + 1

r E_t p_t+1 - E_t+1 p_t+2 = 1 - 2γ σ_²+ σ_ε² -μ ρ_+1

 (1.54)

En prenant l'espérance non conditionnelle, il est possible d'écrire :

E p_t+1 = 1 -2 γ σ_p² +σ_ε² -μ ρ^*

r (1.55)

En remplaçant cette valeur dans l'équation (1.51), on a une représentation de l'évolution du prix de l'actif risqué qui met en avant le rôle des bruiteurs :

p_t = 1 +μ ρ_t−ρ^*

1+r + μ ρ^*

r - 2 γ

r σ_p²_t+1+σ_ε²

(1.56) La variance causée par la présence des bruiteurs peut être établie en fonction des caractéristiques de l'erreur commise par ces investisseurs :

σ_p²_t+1=μ² σ_ρ²

1+r² (1.57)

DSSW définissent ainsi l'évolution du prix de l'actif risqué en fonction de données qui permettent de mesurer l'impact des bruiteurs sur le marché :

p_t = 1 + μ ρ_t-ρ^*

Le deuxième terme de cette équation prend en compte le rôle du changement dans la nature de l'erreur d'appréciation des bruiteurs sur le prix de l'actif risqué. Par exemple si les bruiteurs estiment que le prix doit encore monter (du moins si leur optimisme est supérieur à l'erreur moyenne qu'ils commettent habituellement) ils pousseront le prix à la hausse, et ce d'autant plus fortement que leur présence sur le marché () est importante.

Le troisième terme rend le prix de l'actif risqué fonction de la vision moyenne du marché qu'ont les bruiteurs. S'ils sont généralement optimistes (*>0), ils poussent le prix à être surévalué par rapport à son cours normal en l'absence de bruiteurs.

Enfin le dernier terme est considéré par DSSW comme le point le plus important de cette équation. Négligeons le risque fondamental pour insister sur le risque induit par les bruiteurs. Ce dernier consiste surtout en l'impossibilité de prévoir la réaction des bruiteurs dans le futur. Par exemple si ceux-ci poussent depuis plusieurs périodes le prix à la hausse, rien ne permet de dire que demain ils continueront cette action ou qu'ils changeront radicalement de comportement et influenceront le prix à la baisse. En effet, l'utilisation qu'ils font de l'information dont ils disposent ne leur est même pas connue à l'avance. Ce dernier terme met donc en valeur le fait qu'outre le risque fondamental, il existe un risque qui entraîne le prix à la baisse. Plus exactement les investisseurs confrontés à ces deux risques veulent payer moins cher l'actif risqué afin d'obtenir de plus forts rendements et ainsi compenser le risque qu'ils prennent. DSSW montrent que même en l'absence de risque fondamental (_=0), les bruiteurs créent leur propre “espace”, c'est-à-dire qu'ils induisent par leur action un risque empêchant les investisseurs informés de les chasser du marché. Une autre raison de l'impossibilité de voir les bruiteurs disparaître du marché est que leurs erreurs leur procurent une rentabilité plus élevée que pour les investisseurs informés.