Rationalisation des plans d’addition de cel- cel-lules

Comme la notion de plan rationnel permet de mieux comprendre l’op”eration d’addition finie ou infinie de cellules, on va montrer que l’on peut r”eduire tout plan d’addition `a un plan rationnel, ce qui nous permettra de mieux le manip-uler. Pour cela nous avons besoin d’un lemme technique sur la commutativit”e des colimites s”equentielles transfinies avec les sommes amalgam”ees.

Lemme 2.8.1 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de mor-phismes de C. Soient ̄ un cardinal transfini et A = colim ˻<̄ (A˻) une ̄-s´equence d’objets de C. Soit P un plan simple sur A dont tous les diagrammes se factorisent par l’un des A˻. Pour tout ˻ < ̄, notons P˻ le plan simple d´efini ainsi : un diagramme D de P est dans P˻ si et seulement si ˻ est le plus petit indice tel que d se factorise par A˻. Et notons P<˻ le plan simple r´eunion des plans simples P˺ pour ˺ < ˻.

Posons maintenant A′

0 = A0 et, pour tout ˻ < ̄, posons : A^′_˻ = A˻ a ‘ D∈P<β ‘ αDS_φD Ã a D∈P<β a ˺D B̏D ! . On a alors l’´egalit´e suivante :

à colim_{−−−−ջ} ˻<̄ A_˻ ! a ‘ D∈P ‘ αDS_φD à a D∈P a ˺D B_̏D ! ∼ = colim_{−−−−ջ} ˻<̄ A^′_˻ Preuve :

En utilisant les propri”et”es universelles des sommes amalgam”ees, des coproduits et des colimites s”equentielles transfinies, on exhibe un unique morphisme de la somme amalgam”ee vers la colimite et un unique morphisme de la colimite vers la somme amalgam”ee. Toujours en utilisant les propri”et”es universelles, on montre que ces morphismes sont inverses l’un de l’autre.

CQFD.

Proposition 2.8.2 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de morphismes de C tel que les ˯-cofibrations sont des monomorphismes. Alors tout plan d’addition de cellules fini ou infini est rationnalisable dans le sens suivant. Soient X un objet de C et P. un plan quelconque sur X. Notons (X˻)˻≤̄ sa suite associ´ee. Alors il existe un plan rationnel Q. sur X, dont

la suite associ´ee sera not´ee (Z˻)˻≤̄ et, pour tout ˻ ≤ ̄, des morphismes dans C de X˻ vers Z˻ tels que le morphisme entre P.(X) et Q.(X) soit un isomorphisme et que le diagramme suivant soit commutatif :

X = X0 - . . . ^- X˻ - . . . ^- X̄ = P.(X) X = Z0 = ? - . . . ^- Z˻ ? - . . . ^- Z̄ = Q.(X) ∼ = ? Preuve :

Soit ̄ un cardinal transfini quelconque. Montrons que tout plan de longueur inf”erieure ou ”egale `a ̄ est rationnalisable en un plan `a compositions ra-tionnelles, par r”ecurrence transfinie sur la longueur du plan. En effet comme par hypoth`ese les ˯-cofibrations sont des monomorphismes, par la proposi-tion 2.4.8, les plans `a composiproposi-tions raproposi-tionnelles sont des plans raproposi-tionnels. On va donc montrer la proposition dans le cas plus fort des plans `a compositions rationnelles. Si le plan est `a un pas alors il est n”ecessairement `a composition rationnelle car non constitu”e de composition de plans simples.

Supposons la proposition vraie pour tout plan `a ˻ pas o`u ˻ < ̄ est un or-dinal quelconque. Soit P. un plan sur X `a ˻ + 1 pas. Notons (X˺)˺≤˻+1 la ˻ + 1-s”equence associ”ee. Par d”efinition de plan d’addition, on a que P<sub>.</sub>(X) est la somme amalgam”ee de X˻ par un coproduit de cellules index”e par P˻. Or X˻ est le r”esultat d’un plan `a ˻ pas donc, par hypoth`ese, il existe un plan `a composition rationnelle `a ˻ pas Q_., dont la ˻-s”equence associ”ee sera not”ee (Z˺)˺≤˻, et, pour tout ˺ ≤ ˻, des morphismes de X˺ vers Z˺ dans X/C tel que celui entre X˻ et Q.(X) est un isomorphisme. Avec les notations du lemme pr”ec”edent, il vient que la somme amalgam”ee de X_˻ par un coproduit de cellules index”e par³

P˻

´

<˻ est isomorphe dans X/C `a la somme amalgam”ee de Z_˻ par un coproduit de cellules index”e par P′, extension de ³

P_˻´

<˻ par l’isomorphisme de X˻ `a Z˻. L’existence de morphismes de X˺ vers Z˺ assure que les diagrammes de P<sup>′</sup> se factorisent par les Z˺ pour ˺ < ˻. Par le lemme pr”ec”edent, cette somme amalgam”ee est isomorphe dans X/C `a une colimite s”equentielle transfinie de Z′

˺. Par d”efinition, Z′

˺+1 est la somme amalgam”ee de Z˺+1 par un coproduit de cellules index”e par P_<˺+1^′ . Or Z˺+1 est lui-mɏeme la somme amalgam”ee de Z_˺ par un coproduit de cellules index”e par Q_˺. Donc Z′

˺+1 est la somme amalgam”ee de Z˺ par un coproduit de cellules index”e par P_<˺+1^′ et Q˺. Comme la somme amalgam”ee de Z˺ par un coproduit de cellules

index”e par P_<˺^′ n’est autre que Z_˺^′, il vient que Z_˺+1^′ est la somme amalgam”ee de Z′

˺ par un coproduit de cellules index”e par P′

˺ et Q˺. Posons donc Q′ ˺ le plan simple r”eunion de P′

˺ et Q˺. On vient donc de montrer que la suite des Q^′_˺ n’est autre que le plan associ”e `a la ˻-s”equence des Z_˺^′.

Montrons que pour tout ˺ < ˻ les diagrammes de Q^′_˺ ne se factorisent pas par Z′

˼, pour ˼ < ˺. Soit D un diagramme de Q′

˺ qui se factorise par Z′ ˼, avec ˼ ≤ ˺, comme en outre ce diagramme a valeur dans Z˺, alors il se factorise par le produit fibr”e de Z_˼^′ par Z˺ sur Z_˺^′ qui n’est autre que Z˼. Or si D est un diagramme de Q˺, comme Q. est un plan `a compositions rationnelles, alors ˼ n’est autre que ˺ et si D est dans P′

˺, par d”efinition mɏeme de P′ ˺, on a donc ˼ ”egal `a ˺. Ceci montre que la suite des Q<sup>′</sup><sub>˺</sub> forme un plan sur X dont toutes les compositions sont rationnelles. En outre on a montr”e qu’il est isomorphe dans X/C `a la somme amalgam”ee de X˻ par un coproduit de cellules index”e par ³

P˻

´

<˻ et muni de morphismes de X˺ vers Z′

˺, pour tout ˺ ≤ ˻. On termine en posant : Q′

˻ est l’extension par cet isomorphisme de ³

P˻

´

˻ et Z_˻+1^′ la somme amalgam”ee de Z_˻^′ par un coproduit de cellules index”e par Q′

˻. Par un argument similaire `a ce qui pr”ec`ede en utilisant la d”efinition de ³

P˻

´

˻, on montre que les diagrammes de Q′

˻ ne se factorisent pas par Z′ ˼, avec ˼ < ˻, ainsi le plan Q′

. `a ˻ + 1 pas est `a compositions rationnelles. En outre comme la somme amalgam”ee de X˻ par un coproduit de cellules, index”e par ³

P˻

´

<˻, et Z′

˻ sont isomorphes dans X/C, il vient que P.(X) et la somme amalgam”ee de Z_˻^′ par Q^′_˻ sont isomorphes dans X/C. On a donc montr”e que P.a pour rationalisation le plan `a compositions rationnelles Q^′_., i.e. que P. est rationnalisable.

Supposons la proposition vraie pour tout plan d’addition de cellules de longueur strictement inf”erieure `a ˻, pour ˻ < ̄ ordinal limite. Soit P. un plan sur X `a ˻ pas. Notons (X˺)˺≤˻ la ˻-s”equence associ”ee. Par d”efinition de plan infini, on a que P.(X) est la colimite des X˺ pour ˺ < ˻. Con-struisons par r”ecurrence transfinie sur ˺ < ˻ une suite de couples de plans infinis (Q˺,., P˺,.)˺<˻ dont les s”equences associ”ees sont not”ees respectivement (Z˺,˼)˼≤˺ et (X˺,˼)˼>˺ v”erifiant les propri”et”es suivantes : les plans Q˺,. sont `a compositions rationnelles, ces couples de plans sont munis de morphismes entre eux dans X/C, ceux de X˼,˺ vers Z˺,˺ et ceux de X˼,˻ vers X˺,˻, pour

tout ˼ < ˺, sont des isomorphismes.

Pour ˺ nul, Q˺,. sera un plan vide et P˺,. le plan P . Supposons construits ces couples jusqu’au rang ˺, alors le plan compos”e P˺,˺◦ Q_˺,. est un plan `a ˺ + 1 pas. Comme ˺ < ˻ et que ˻ est un ordinal limite, par hypoth`ese de r”ecurrence, la proposition s’applique. Notons alors Q˺+1,. le plan `a composi-tions rationnelles rationalisation de P˺,˺◦ Q_˺,., cette rationalisation vient avec des morphismes dans X/C entre la s”equence de P˺,˺◦ Q_˺,. et celle de Q˺+1,.

tels que celui de X˺,˺+1 vers Z˺+1,˺+1 est un isomorphisme. On pose alors P˺+1,. l’extension de P˺,.+1 par cet isomorphisme. On obtient donc bien que le morphisme entre P˺,.◦Q_˺,.(X) et P˺+1,.◦Q_˺+1,.(X) est un isomorphisme. Sup-posons ces plans construits pour tout ˼ < ˺, ordinal limite. Alors on d”efinit Q˺,˼ comme la r”eunion des plans Q˽,˼ pour tout ˼ < ˽ < ˺ et Z˺,˼ comme la colimite s”equentielle transfinie des Z˽,˼ pour tout ˼ < ˽ < ˺. Il est facile de voir d’une part que, par un r”esultat similaire `a celui du lemme pr”ec”edent, Q˺,.

est bien le plan infini associ”e `a la suite des (Z˺,˼)˼<˺ et d’autre part que, par intervertion des colimites, le Z˺,˺ ainsi obtenu est isomorphe dans X/C `a tous les X˼,˺, pour ˼ < ˺. La compatibilit”e de ces isomorphismes entraɏđne que les extensions par ces isomorphismes des plans P˼,.+˺−˼ donnent lieu `a un unique plan que l’on notera P˺,.. On a donc les morphismes des X˼,˻ vers X˺,˻ sont des isomorphismes. Enfin le plan Q˺,. est bien `a compositions rationnelles car un diagramme de Q˺,˼ ne peut pas se factoriser par un Z˺,˼′, avec ˼′ < ˼ < ˺, car il appartient en fait `a l’un des Q˽,˼, pour un certain ˽ < ˺, et donc s’il se factorise par Z˺,˼′, il se factoriserait aussi par Z˽,˼′, ce qui contredirait la rationalit”e des compositions du plan Q˽,.. On a donc bien le r”esultat cherch”e par r”ecurrence transfinie sur ˺ < ˻.

Ainsi pour tout ordinal ˼ < ˻, on a une suite de plans simples³ Q˺,˼

´

˼<˺<˻

et une ˻-s”equence d’objets³ Z_˺,˼´

˼<˺<˻. Posons Q˼

. le plan simple r”eunion de cette suite de plans simples et Z˼ la colimite de la ˻-s”equence des Z˺,˼. Il est facile de voir, en utilisant un r”esultat similaire au lemme pr”ec”edent, que la suite des Q˼

. forme un plan infini dont (Z˼)_˼≤˻ est la ˻-s”equence associ”ee, o`u Z˻ note la colimite de la ˻-s”equence. Nous allons donc montrer que d’une part le plan infini des Q˼

. est `a compositions rationnelles et qu’il existe un isomorphisme dans X/C entre P_.(X) et Z_˻.

Soient ˼ < ˻ un ordinal et D un diagramme de Q˼ tel que d se factorise par un Z˼′

, avec ˼^′ ≤ ˼. Comme Q˼ est une r”eunion de plans simples, il existe un ordinal ˺ tel que D soit en fait un diagramme de Q_˺,˼. Donc d a pour but

Z˺,˼. Or comme d se factorise par Z˼, alors d se factorise par Z˺,˼′. Or D est un diagramme de Q˺,˼ et par hypoth`ese Q˺,. est `a compositions rationnelles donc ˼′ est ”egal `a ˼. Ceci montre que le plan infini des Q˼

. est `a compositions rationnelles.

Par intervertion des colimites, on a que la colimite des X˺,˻ pour ˺ < ˻ n’est autre que celle des Z˼ pour ˼ < ˻. Or le morphisme de X˻ dans cette colimite est une colimite s”equentielle transfinie d’isomorphismes par construction, donc on a bien que le morphisme dans X/C de X˻ vers Z˻ est un isomorphisme. Donc le plan P. `a ˻ pas est bien rationnalisable. Donc par r”ecurrence trans-finie sur ˻ ≤ ̄, on a bien montr”e que tout plan infini d’au plus ̄ pas est rationnalisable.

CQFD.

Il est int”eressant mais aussi utile pour la suite d’”enoncer un corollaire, tir”e directement de la d”emonstration de rationalisation des plans d’addition de cellules, qui donne une construction explicite de rationalisation des plans d’addition infinie de cellules.

Corollaire 2.8.3 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de morphismes de C tel que les ˯-cofibrations sont des monomorphismes. Soient X un objet de C et P. un plan quelconque sur X. Notons (X˻)˻≤̄ sa suite associ´ee. Alors il poss`ede comme rationalisation le plan `a compositions ra-tionnelles Q. sur X, dont la suite associ´ee sera not´ee (Z˻)˻≤̄, d´efini de la mani`ere suivante.

Pour tout couple d’ordinaux ˺, ˻ inf´erieur `a ̄, notons (P<sub>˺</sub>)<sub>˻</sub> l’ensemble des couples (D′, ˺D′) tel que D′ se factorise par Z˻ mais pas par Z˼ pour ˼ < ˻, o`u les D^′ sont les extensions par X˺ ջ Z_˺ des diagrammes D de P˺ et o`u ˺_D′ est la cardinalit´e de D dans P_˺.

On d´efinit alors Q˻ comme la colimite des plans (P˺)˻ pour ˺ < ̄.

Preuve : C’est le plan `a compositions rationnelles associ”e `a P. construit par r”ecurrence transfinie dans la d”emonstration de la proposition pr”ec”edente. CQFD.

Cette notion de rationalisation des plans d’addition de cellules nous perme-ttra de comparer les plans d’addition de cellules, car il d”ecoule de la proposition de rationalisation des plans d’addition de cellules que deux plans d’addition de cellules sont isomorphes si et seulement si leurs rationalisations le sont.