Application de l’I-injectivisation aux col- col-imites d’objets I-injectifs

Nous nous int”eressons maintenant `a comparer l’I-injectivisation des colim-ites avec les colimcolim-ites des objets I-injectiv”es. En fait nous aimerions en partic-ulier savoir s’il y a une I-”equivalence au sens du corollaire 2.7.2 entre les deux. Pour cela, nous allons supposer que le plan d’addition de cellules v”erifiant les propri”et”es i) et ii) de la I-injectivisation ainsi que la propri”et”e iii) pour les objets I-injectifs est de la forme BCat(t). En effet, dans ce cas le morphisme naturel d’un objet quelconque A dans le r”esultat du plan sera une I-”equi-valence. De l`a et du fait que BCat(t) se rationalise en HCat, il d”ecoulera que tout morphisme naturel d’un objet A quelconque dans le r”esultat d’un sous-plan de BCat(t) est encore une I-”equivalence. Les colimites des I-injectivis”es ”etant des sous-plans de l’I-injectivisation des colimites, on pourra leur appli-quer ce r”esultat. C’est pourquoi dans toute cette section, nous allons supposer les hypoth`eses suivantes.

Hypoth`eses 2.11.1 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de morphismes de C dont les sources sont ˺-petites pour un certain cardinal r´egulier ˺, et tel que les ˯-cofibrations sont des monomorphismes. Soit ˺′

le plus petit cardinal r´egulier sup´erieur `a ˺. Donnons-nous une notion d’´equi-valence d’objets ˯-injectifs v´erifiant les propri´et´es suivantes :

- pour tout couple (f, g) de morphismes composables entre objets ˯-injectifs, si parmi f, g, g ◦ f deux morphismes sont des ´equivalences d’objets ˯-injectifs, alors le troisi`eme morphisme aussi,

- pour tout couple (f, g) de morphismes composables entre objets ˯-injectifs, si la compos´ee g ◦f est l’identit´e et que la compos´ee f ◦g une ´equivalence d’objets ˯-injectifs, alors f et g sont des ´equivalences d’objets ˯-injectifs.

- les isomorphismes entre objets injectifs sont des ´equivalences d’objets ˯-injectifs.

Notons EΦ le plan d’addition de cellules fonctoriel `a compositions rationnelles de longueur ˺^′ dont tous les plans simples sont eΦ,1.

Soit (˯k)i∈K une partition de ˯. Soient T un ordinal transfini limite dont le cardinal est strictement sup´erieur `a ˺ et t : T ջ P(K) une fonction telle que, pour tout k dans K, on ait les propri´et´es suivantes :

- pour tout ordinal ̍ < T , il existe un ordinal ̍ ≤ ̍′ < T tel que t(̍ ) contienne k,

- le cardinal de l’ensemble t⁻¹(k) est ´egal au cardinal de T .

Supposons que le plan d’addition de cellules fonctoriel BCat(t) suivant l’ordre t v´erifie la propri´et´e suivante :

pour tout objet A ˯-injectif, le morphisme naturel A ջ BCat(t)(A) est une ´equivalence d’objets ˯-injectifs.

Sous ces hypoth`eses, le plan d’addition de cellules EΦ est bien une ˯-injectivisation par la proposition 2.7.1, ce qui permet de d”efinir la notion de ˯-”equivalence qui v”erifie la propri”et”e du ”trois pour deux” d’apr`es le corol-laire 2.7.2. De plus sous ces hypoth`eses, par le lemme 2.10.3, le plan d’addition de cellules BCat(t) v”erifie bien les propri”et”es i) et ii) de la ˯-injectivisation. Montrons tout d’abord que sous ces hypoth`eses, pour tout objet A de la cat”egorie C, le morphisme naturel A ջ BCat(t)(A) est une ˯-”equivalence. Lemme 2.11.2 Sous les hypoth`eses 2.11.1, pour tout objet A de la cat´egorie C, le morphisme naturel A ջ BCat(t)(A) est une ˯-´equivalence, c’est-`a-dire que l’image par EΦ de ce morphisme est une ´equivalence d’objets ˯-injectifs. Preuve :

Tout d’abord on remarque que sous les hypoth`eses 2.11.1, on peut appliquer la proposition 2.10.4 `a BCat(t), ce qui nous permet d’obtenir que BCat(t) se rationalise en HCatT2. Or le plan `a compositions rationnelles d’addition de cellules EΦ est un sous-plan de HCat_T2 donc de BCat(t) de longueur ˺′ avec Card(˺′) ≤ Card(T2). On peut alors appliquer le corollaire 2.9.5, qui nous donne pour tout objet A de la cat”egorie C le diagramme commutatif suivant :

A ^- EΦ(A)

BCat(t)(A)

? ∼₌

- BCat(t)(EΦ(A))

?

Le corollaire 2.9.5 nous certifie la commutativit”e de ce diagramme ainsi que l’isomorphisme entre BCat(t)(A) et BCat(t)(EΦ(A)). En outre par la propo-sition 2.7.1, le morphisme naturel A ջ E_Φ(A) est une ˯-”equivalence et E_Φ(A) est ˯-injectif. Par hypoth`ese sur BCat(t), il vient que le morphisme naturel EΦ(A) ջ BCat(t)(EΦ(A)) est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs, ce qui par le corollaire 2.7.2 revient `a dire que c’est une ˯-”equivalence. Comme par corollaire 2.7.2, les isomorphismes sont des ˯-”equivalences et les ˯-”equi-valences v”erifient la propri”et”e du ”trois pour deux”, il vient que le morphisme

naturel A ջ BCat(t)(A) est une ˯-”equivalence. CQFD.

Munis de cette propri”et”e de stabilit”e homotopique de BCat(t), montrons que tout sous-plan de BCat(t) conserve cette stabilit”e homotopique.

Lemme 2.11.3 Supposons vraies les hypoth`eses 2.11.1. Soit P un sous-plan de BCat(t) dont le cardinal de la longueur est inf´erieur au cardinal de la longueur de BCat(t). Alors pour tout objet A de la cat´egorie C, le morphisme naturel A ջ P (A) est une ˯-´equivalence.

Preuve :

Comme on l’a vu dans la d”emonstration pr”ec”edente, le plan d’addition de cellules BCat(t) se rationalise en un HCat. Comme en outre, par hypoth`ese sur le sous-plan P de BCat(t), le cardinal de la longueur du sous-plan P est inf”erieur `a celui de la longueur de BCat(t), le corollaire 2.9.5 s’applique et nous donne un isomorphisme dans X/C entre BCat(t)(A) et BCat(t)(P (A)) ainsi que le diagramme commutatif suivant :

A ^- P (A) BCat(t)(A) ∼ ? ∼₌ - BCat(t)(P (A)) ∼ ?

En outre, par le lemme pr”ec”edent, les morphismes canoniques A ջ BCat(t)(A) et P (A) ջ BCat(t)(P (A)) sont des ˯-”equivalences. Comme, par le corol-laire 2.7.2, les ˯-”equivalences v”erifient la propri”et”e du ”trois pour deux” et que les isomorphismes sont des ˯-”equivalences, on obtient que le morphisme A ջ P (A) est aussi une ˯-”equivalence.

CQFD.

Comme le fait de prendre la colimite d’objets ˯-injectivis”es est en fait un sous-plan de la ˯-injectivisation de la colimite, on peut donc appliquer le r”esultat que l’on vient de montrer afin de donner un crit`ere utile pour montrer que les morphismes naturels des colimites sont des ˯-”equivalences.

Lemme 2.11.4 Supposons vraies les hypoth`eses 2.11.1.

Soit F : I ջ C un foncteur d’une petite cat´egorie d’indices I vers la cat´egorie C. Soit i un objet de I. Alors le morphisme naturel F (i) ջ colim _i∈I F (i)

est une ˯-´equivalence si et seulement si le morphisme naturel EΦ(F (i)) ջ colim i∈I EΦ(F (i)) en est une.

Soit h : F ջ G une transformation naturelle entre foncteurs d’une petite cat´egorie d’indices I vers la cat´egorie C. Alors le morphisme universel, in-duit par h, colim i∈I F (i) ջ colim i∈I G(i), est une ˯-´equivalence si et seulement si le morphisme universel, induit par EΦ(h), colim i∈I Ȅ(F (i)) ջ colim i∈I EΦ(G(i)) en est une.

Preuve :

Consid”erons le diagramme commutatif suivant : F (i) ^- colim i∈I F (i) E_Φ(F (i)) ∼ ? - colim i∈I E_Φ(F (i)) ∼ ?

Par la proposition 2.7.1, la fl`eche verticale de gauche est une ˯-”equivalence. En outre la fl`eche verticale de droite consiste `a additionner des cellules de ˯ sur chacun des F (i), or ceci est un sous-plan de BCat(t) appliqu”e `a colim i∈I F (i). Comme en outre le cardinal de la longueur de EΦ est inf”erieur `a celui de BCat(t), on peut appliquer le lemme 2.11.3 qui nous certifie que la fl`eche verticale de droite est une ˯-”equivalence. Par le corollaire 2.7.2, les ˯-”equi-valences v”erifient la propri”et”e du ”trois pour deux”, ce qui nous donne que la fl`eche horizontale du haut est une ˯-”equivalence si et seulement si la fl`eche horizontale du bas l’est.

Consid”erons maintenant le diagramme commutatif suivant : colim

i∈I F (i) ^{colim h -} colim

i∈I G(i) colim i∈I E_Φ(F (i)) ∼ ? colim E_Φ(h) - colim i∈I E_Φ(G(i)) ∼ ?

Par le mɏeme argument de sous-plan que dans la premi`ere partie de la preuve, on montre que les deux fl`eches verticales sont des ˯-”equivalences, et on en conclut, avec l’aide de la propri”et”e du ”trois pour deux” des ˯-”equivalences,

que la fl`eche horizontale du haut est une ˯-”equivalence si et seulement si la fl`eche horizontale du bas l’est.

CQFD.

Ce lemme de reconnaissance du caract`ere ˯-”equivalence des morphismes naturels des colimites nous sera tr`es utile lorsque dans la suite de cette th`ese, nous montrerons la stabilit”e des cofibrations triviales par somme amalgam”ee le long d’un morphisme et par colimite s”equentielle transfinie. Nous allons donc terminer ce chapitre par quelques petits lemmes techniques sur la ˯-injectivisation qui seront ”egalement n”ecessaires pour la suite de cette th`ese.