Construction Cat - Engendrement des C-cat´ egories

Engendrement des C-cat´ egories

3.4 Construction Cat

Nous avons montre dans la section precedente que la notion de C-cate-gorie facile est simple à manipuler car elle est caracterisee par des proprietes de relèvements. En effet, on a montre que les C-precategories FG1-injectives correspondent exactement aux C-categories faciles. L’idee pour categoriser est donc de prendre la FG1-injectivisation des C-precategories. Ainsi on obtiendra une categorie facile associee à travers laquelle tout morphisme de notre C-precategorie vers une C-categorie facile se factorisera. La seule ombre à ce tableau idyllique est que l’on veut que ce procede preserve l’homotopie, ce que l’on est incapable de montrer directement. Aussi a-t-on vu au chapitre precedent l’interɏet d’une I-injectivisation possedant la propriete d’unicite de la factorisation des morphismes à but I-injectifs. Comme au chapitre precedent, on va construire une telle FG₁-injectivisation en se servant de la notion de marquage partiel des C-precategories, qui n’est autre que la notion d’objet partiellement FG1-marquee.

Définition 3.4.1 Soit (C, F1, F2) une donnée de Segal proto-facile dont la catégorie sous-jacente C possède les coproduits et les sommes amalgamées et telle que les sources et buts des flèches de la famille F1 soient connexes ainsi que les buts de la famille F2. Une C-précatégorie partiellement marquée est la donnée d’un couple (A, ̅), où A est une C-précatégorie et ̅ une fonction d’un ensemble de diagrammes solides de type (I’) et (II’) pour A qui associe à chaque diagramme solide de cet ensemble un relèvement, que l’on dira marqué. Par abus de langage, on dit qu’un diagramme appartient à ̅ pour dire qu’il appartient au domaine de définition de la fonction ̅ et donc qu’on lui a choisi un relèvement.

On remarque que si A est totalement marquee (i.e. ̅ contient tous les diagrammes des flèches generatrices de C-categories faciles vers A) alors A a bien evidemment la propriete de relèvement à droite par rapport à toutes les flèches generatrices de C-categories faciles, ce qui fait de A une C-cate-gorie facile pour laquelle tous les relèvements sont marques, c’est ce qu’on appelle une C-categorie marquee.

Définition 3.4.2 Soit (C, F1, F2) une donnée de Segal proto-facile dont la catégorie sous-jacente C possède les coproduits et les sommes amalgamées et telle que les sources et buts des flèches de la famille F1 soient connexes ainsi que les buts de la famille F2. Une C-catégorie marquée est la donnée d’un couple (A, ̅), où A est une C-catégorie facile et ̅ une fonction de l’ensemble

des diagrammes solides de type (I’) et (II’) pour A qui `a chaque diagramme solide associe un rel`evement.

Les notions de C-precategorie totalement marquee et de C-categorie marquee sont equivalentes, comme on l’a vu plus haut. Il nous reste donc `a deﬁnir ce que sont les morphismes de C-precategories partiellement marquees.

Définition 3.4.3 Soit (C, F1, F2) une donnée de Segal proto-facile dont la catégorie sous-jacente C possède les coproduits et les sommes amalgamées et telle que les sources et buts des flèches de la famille F1 soient connexes ainsi que les buts de la famille F2. Un morphisme f : A ջ B entre les gories partiellement marquées (A, ̅) et (B, ̆) est un morphisme de C-précaté-gories partiellement marquées si, pour tout diagramme de ̅, son prolongement par f est un diagramme de ̆. On dit que le morphisme préserve le marquage. Un morphisme de catégories marquées n’est autre qu’un morphisme de C-précatégories partiellement marquées.

X ^e ^- A X ^e ^- A ^f ^- B ..^.. ..^.. ..^.. .. r µ ∈ ̅ ..^.. ..^.. ..^.. .. r µ ....^.... ....^.... ....^.... ....^.... .. f ◦ r * ∈ ̆ Y h ? Y h ?

On obtient ainsi deux categories : C − PCm, la categories des C-precate-gories partiellement marquees et sa sous-categorie pleine C − Cm des C-cate-gories marquees. Tout d’abord, remarquons qu’une mɏeme C-categorie facile peut avoir plusieurs marquages differents et ainsi peut donner lieu à plusieurs C-categories marquees, il en va de mɏeme pour les C-precategories. Ainsi nos deux nouvelles categories ne sont pas des sous-categories de C − PC. En re-vanche, elles sont toutes deux munies d’un foncteur Oubli vers C − PC qui est fidèle mais n’est pas plein car tout morphisme ne preserve pas le marquage. En outre on a vu que la notion de C-categorie facile n’est pas stable par limite mais en revanche celle de C-categories marquees l’est.

Lemme 3.4.4 Soit (C, F₁, F₂) une donnée de Segal proto-facile dont la caté-gorie sous-jacente C possède les coproduits, les limites et les sommes amal-gamées et telle que les sources et buts des flèches de la famille F1 soient connexes ainsi que les buts de la famille F₂. La catégorie C − C_m des C-caté-gories marquées avec les morphismes préservant les marquages possède les limites.

Preuve : application directe du lemme 2.1.5 !

Cette notion de marquage va nous permettre de definir un procede de categorisation qui à une C-precategorie va associer une C-categorie marquee, procede qui non seulement sera fonctoriel mais servira d’adjoint au foncteur Oubli des C-categories marquees vers les C-precategories. On nommera ce procede Cat. Pour definir Cat, on va se servir de la construction EΦ definie au chapitre precedent avec pour ˯ la famille FG1. Toutefois si l’on veut que le procede ainsi defini FG1-injectivise bien, c’est-à-dire categorise bien, il faut que les flèches de ˯, ici de FG1, ait des proprietes de petitesse et que les ˯-cofibrations soient des monomorphismes. Le lemme suivant nous montre que si les familles F1 et F2 de la donnee de Segal proto-facile ont leurs sources et buts petits alors FG1 aussi.

Lemme 3.4.5 Soit (C, F1, F2) une donnée de Segal proto-facile dont la caté-gorie sous-jacente possède les coproduits et les sommes amalgamées et vérifie les deux propriétés suivantes :

-les sources et buts des fl`eches de la famille F1 sont connexes ainsi que les buts de la famille F2,

-il existe un cardinal transfini régulier strictement supérieur à ℵ0, que l’on notera ˺, pour lequel tout morphisme de F₁ et F₂ a sa source et son but ˺-petits au sens 2.3.3.

Alors tout morphisme de FG₁ et FG₂ a aussi sa source et son but ˺-petits. Preuve :

Par construction, (˝[m]ˡX)n et (ˮ(m)ˡX)n sont des sommes amalgamees d’un ensemble fini avec un coproduit fini d’exemplaire de X. Si X est ˺-petit alors (˝[m]ˡX)_n et (ˮ(m)ˡX)_n aussi, par le lemme 2.3.4 et, comme on a pris ˺ regulier et strictement superieur à ℵ0, par le lemme 2.3.6, ˝[m]ˡX et ˮ(m)ˡX sont ˺-petits ainsi que B(m, g), somme amalgamee des precedents, si g est ˺-petite. Comme, par ailleurs, l’inclusion ∅ ջ ∗ a sa source et son but ℵ0-petits, les ensembles FG1 et FG2 ont bien leurs morphismes ayant les sources et buts ˺-petits.

CQFD.

Un des corollaires de ce lemme est que la famille FG1 permet l’argu-ment du petit objet. Ainsi les FG₁-cofibrations sont des retracts de colim-ites sequentielles transfinies de sommes amalgamees de flèches de FG1. Mon-trons alors que si les retracts de colimites sequentielles transfinies de sommes

amalgamees de flèches de F1 et de F2 sont des monomorphismes, alors les FG1-cofibrations sont des monomorphismes.

Lemme 3.4.6 Soit (C, F₁, F₂) une donnée de Segal proto-facile dont la caté-gorie sous-jacente possède les colimites et vérifie les trois propriétés suivantes : -les sources et buts des flèches de la famille F1 sont connexes ainsi que les buts de la famille F2,

-il existe un cardinal transfini régulier strictement supérieur à ℵ0, que l’on notera ˺, pour lequel tout morphisme de F₁ et F₂ a sa source et son but ˺-petits au sens 2.3.3,

-les F1 ∪ F₂∪ {∅ ջ ∗}-cofibrations sont des monomorphismes. Alors les FG1∪ FG2-cofibrations sont des monomorphismes. Preuve :

Par le lemme precedent, les familles FG1 et FG2 permettent l’argument du petit objet et donc la famille reunion FG1 ∪ FG₂ aussi. Ceci permet de car-acteriser les FG1 ∪ FG2-cofibrations comme les retracts de colimites sequen-tielles transfinies de sommes amalgamees de flèches de FG1∪ FG₂. Or niveau par niveau, les flèches de FG1∪FG₂sont des coproduits de flèches de F1∪F₂∪ {∅ ջ ∗}. Ainsi nos FG1∪ FG2-cofibrations sont donc niveau par niveau des retracts de colimites sequentielles transfinies de sommes amalgamees de flèches de F1∪ F₂∪ {∅ ջ ∗}, donc ce sont niveau par niveau des F₁∪ F₂∪ {∅ ջ ∗}-cofibrations. Or par hypothèse, les F1 ∪ F2 ∪ {∅ ջ ∗}-cofibrations sont des monomorphismes. Donc les FG1 ∪ FG₂-cofibrations sont niveau par niveau des monomorphismes. Comme C − PC est une categorie de prefaisceaux sur C, les monomorphismes de C − PC sont les monomorphismes niveau par niveau. Ainsi les FG1∪FG₂-cofibrations sont bien des monomorphismes dans C − PC. CQFD.

Exemple 3.4.7 Les m-simplexes standards et leurs bords ayant un nombre fini de simplexes non dégénérés sont ℵ₀-petits et donc, avec les familles de flèches choisies dans l’exemple 3.1.2, EN SSIMP vérifie l’hypothèse de pe-titesse de la proposition-définition de Cat ci-dessous.

En outre les familles de flèches de l’exemple 3.1.2 sont des monomorphismes. De plus dans EN SSIMP, ∅ ջ ∗ est un monomorphisme et les monomor-phismes sont stables par rétract, somme amalgamée le long d’un morphisme, coproduit et comilite séquentielle transfinie. Ainsi l’hypothèse concernant les monomorphismes de la proposition-définition de Cat ci-dessous est vérifiée également.

Nous avons maintenant tous les elements en main pour pouvoir donner la proposition-deﬁnition du procede de categorisation Cat.

Proposition 3.4.8 (-définition) Soit (C, F1, F2) une donnée de Segal proto-facile dont la catégorie sous-jacente est cocomplète et vérifie les trois propriétés suivantes :

-les sources et buts des fl`eches de la famille F1 sont connexes ainsi que les buts de la famille F₂,

-il existe un cardinal transfini régulier strictement supérieur à ℵ0, que l’on notera ˺, pour lequel tout morphisme de F1 et F2 a sa source et son but ˺-petits au sens 2.3.3,

-les F1 ∪ F2∪ {∅ ջ ∗}-cofibrations sont des monomorphismes.

Il existe un foncteur Cat des C-précatégories vers les C-catégories faciles mar-quées muni d’une transformation naturelle can entre l’identité des C-précaté-gories et la composée de Cat avec le foncteur Oubli des C-catéC-précaté-gories faciles marquées vers les C-précatégories ayant la propriété universelle suivante : pour tout morphisme f : A ջ B d’une C-précatégorie quelconque A vers une C-catégorie marquée (B, ̄), il existe un unique morphisme ɥf de Cat(A) vers B préservant le marquage et dont la précomposition par canA est f .

A ^f ^- B ..^.. ..^.. ..^.. .. ∃! ɥf µ Cat(A) canA ? Preuve :

Nous allons prendre pour foncteur Cat le plan d’addition de cellules EΦ avec pour ˯ la famille FG1. Les hypothèses sur la donnee de Segal proto-facile permettent de verifier les hypothèses des lemmes 3.4.5 et 3.4.6, ce qui nous donne que les morphismes de ˯ ont leurs sources et buts ˺-petit et que les ˯-cofibrations sont des monomorphismes. On peut alors appliquer la propo-sition 2.6.7, qui nous dit que E_Φ est un foncteur à valeur dans les objets ˯-injectifs marques et que tout morphisme A ջ B à but ˯-injectif marque se factorise de manière unique à travers le morphisme naturel A ջ EΦ(A) en un morphisme preservant le marquage. Or les objets ˯-injectifs marques ne

sont autres que les C-categories faciles marquees, ce qui nous donne que Cat va dans les C-categories faciles marquees et veriﬁe la propriete universelle. Enﬁn la transformation naturelle can est induite par le morphisme naturel A ջ EΦ(A).

CQFD.

Comme on a pu le faire remarquer au sujet du plan d’addition de cellules EΦ, la factorisation ci-dessus s’applique aussi bien pour les C-categories faciles mais il n’y aura pas d’unicite de la factorisation `a travers Cat(A).

Corollaire 3.4.9 Soit (C, F1, F2) une donnée de Segal proto-facile dont la catégorie sous-jacente est cocomplète et vérifie les trois propriétés suivantes : -les sources et buts des flèches de la famille F1 sont connexes ainsi que les buts de la famille F₂,

-il existe un cardinal transfini régulier strictement supérieur à ℵ0, que l’on notera ˺, pour lequel tout morphisme de F1 et F2 a sa source et son but ˺-petits au sens 2.3.3,

-les F₁ ∪ F₂∪ {∅ ջ ∗}-cofibrations sont des monomorphismes.

La construction Cat est un foncteur de C − PC vers C − Cm qui est adjoint `a gauche du foncteur Oubli, i.e. on a un isomorphisme naturel en A et (B, ̄), induit par le morphisme canA :

HomC−Cm(Cat(A), (B, ̄)) = HomC−PC(A, Oubli((B, ̄))) De ce fait, le foncteur Cat pr´eserve les colimites.

Preuve :

De la propriete universelle decoule l’unicite à isomorphisme près de Cat(A), ce qui entraɏđne que Cat est en fait un adjoint à gauche du foncteur Oubli des C-categories marquees vers les C-precategories. Enfin comme foncteur adjoint à gauche, Cat preserve les colimites.

CQFD.

On prendra bien garde que, contrairement aux limites, les colimites dans C − Cm ne sont pas les colimites niveau par niveau dans C − PC des C-precate-gories sous-jacentes avec pour marquage la colimites des marquages. Par exem-ple, pour les (petites) categories, une colimite niveau par niveau de nerfs de categories n’est pas un nerf de categorie en general.

Nous avons desormais un procede de categorisation Cat ayant de bonnes proprietes mais pas encore celle de preserver le type d’homotopie. Toutefois, il est interessant de recapituler les hypothèses faites sur la donnee de Segal proto-facile qui ont permis la construction Cat. Cela donnera lieu à la definition de donnee de Segal pre-facile et à une proposition montrant que, pour toute donnee de Segal pre-facile, il existe une categorisation de type Cat.

Définition 3.4.10 Une donnée de Segal pré-facile est une triplet (C, F1, F2) constitué d’une donnée de Segal C, dont la catégorie sous-jacente est co-complète, et de deux familles F1 et F2 de morphismes de C qui sont des ensembles satisfaisant les propriétés suivantes :

8) Les objets de C ayant la propriété de relèvement à droite par rapport à F1

sont des objets r´egaux et sont stables par produit fibr´e au-dessus d’un objet discret.

9) Les objets discrets de C ont la propriété de relèvement à droite par rapport à F1.

10) Les morphismes qui ont la propriété de relèvement à droite par rapport à F2 et dont la source et le but sont des objets régaux ayant la propriété de relèvement à droite par rapport à F1 sont des alliances d’objets régaux et le produit fibré, dans la catégorie des morphismes, de deux tels morphismes au-dessus d’un objet discret a encore la propriété de relèvement à droite par rapport à F2.

11) Les sources et buts des fl`eches de la famille F1 sont connexes non vides ainsi que les buts de la famille F2.

12) Il existe un cardinal transfini régulier strictement supérieur à ℵ0, que l’on notera ˺, pour lequel tout morphisme de F₁ et F₂ a sa source et son but ˺-petits au sens 2.3.3.

13) Les F1∪ F2∪ {∅ ջ ∗}-cofibrations sont des monomorphismes.

On remarque qu’ici nous avons demande en hypothèse 11) en plus de la connexite des sources et buts des flèches generatrices leur non vacuite. Si la non vacuite des sources et buts des flèches generatrices est superflue pour assurer l’existence de Cat, en revanche c’est l’une des hypothèses permettant d’assurer que la donnee de Segal des C-categories munie des familles FG1 et FG₂est une donnee de Segal proto-facile. Montrons maintenant qu’une donnee de Segal pre-facile donne bien lieu à un foncteur Cat.

Proposition 3.4.11 Soit (C, F1, F2) une donnée de Segal pré-facile. Alors il existe un foncteur Cat de C − PC vers C − Cm qui est adjoint à gauche du foncteur Oubli, i.e. on a un isomorphisme naturel en A et (B, ̄) :

HomC−Cm(Cat(A), (B, ̄)) = HomC−PC(A, Oubli((B, ̄))) De ce fait, le foncteur Cat pr´eserve les colimites.

Preuve : c’est juste une reformulation du corollaire precedent.

On a dej`a vu que la categorie C − PC munie des C-categories, des equi-valences de C-categories et des familles FG1 et FG2 forme une donnee de Segal proto-facile. Il est donc interessant de savoir si cette donnee de Segal proto-facile est aussi une donnee de Segal pre-facile.

Lemme 3.4.12 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal pr´e-facile.

Alors la donnée de Segal C − PC définie dans le lemme 1.4.7 munie des familles FG₁ et FG₂ constitue une donnée de Segal pré-facile.

Preuve :

On a dejà montre dans le lemme 3.3.9 qu’avec les familles FG1 et FG2, la donnee de Segal sur C − PC des C-categories et equivalences de C-cate-gories forme une donnee de Segal proto-facile. Il ne reste donc plus qu’à mon-trer que C − PC est cocomplète et que les familles FG1 et FG2 verifient les proprietes 11), 12) et 13).

Tout d’abord, comme C − PC est une categorie de prefaisceaux sur la categorie C qui est cocomplète par hypothèse, alors C − PC est cocomplète. En outre, par hypothèse, les familles F1 et F2 verifient la propriete 11) de connexite, donc , par le lemme 3.3.8, les familles FG1 et FG2 aussi. De mɏeme, par hy-pothèse, les familles F1 et F2 verifient la propriete 11) ainsi que la propriete 12) sur la petitesse, donc , par le lemme 3.4.5, les familles FG1 et FG2verifient aussi la propriete 12). Enfin les familles F1 et F2 verifient par hypothèse les proprietes 11), 12) et 13), donc, par le lemme 3.4.6, les familles FG1 et FG2

veriﬁent bien la propriete 13) concernant les monomorphismes. CQFD.

Grɏace à notre nouvelle notion de donnee de Segal pre-facile, nous avons assurer l’existence d’un foncteur de categorisation Cat adjoint au foncteur Oubli des C-categories faciles marquees vers les C-precategories. Cependant nous ne savons toujours pas si ce procede preserve le type d’homotopie, c’est-à-dire si pour toute C-precategorie A l’image par Cat du morphisme naturel canA : A ջ Cat(A) est une equivalence de C-categories. C’est l’objet du chapitre suivant que de resoudre ce problème.

Chapitre 4

Dans le document Weak enriched categories - Catégories enrichies faibles. (Page 127-136)