Argument du petit objet

L’argument du petit objet de Quillen permet de r”esoudre le probl`eme suiv-ant. On se donne une cat”egorie C cocompl`ete et une famille I de morphismes de C et l’on cherche `a factoriser tous morphismes de C en une I-cofibration suivie d’un morphisme I-injectif. Un des corollaires de ce r”esultat est que I engendre les I-cofibrations au sens auquel on s’attend. Pour arriver `a cette factorisation, l’id”ee de l’argument du petit objet consiste `a limiter la taille des fl`eches de I, ce que l’on mod”elise par la notion de petitesse que nous allons rappeler. Mais auparavant rappelons les d”efinitions de ̄-s”equence et de cardinal r”egulier. D´efinition 2.3.1 Un cardinal ˺ est r´egulier si, pour toute famille d’ensembles (A_i)_i∈I telle que le cardinal de I et les cardinaux des A_i, pour i ∈ I, sont strictement inf´erieurs `a ˺, le cardinal de la r´eunion ∪i∈IAi est strictement inf´erieur `a ˺.

D´efinition 2.3.2 Soient A une cat´egorie admettant les colimites s´equentielles transfinies et F une famille de morphismes de A. Soit ̄ un ordinal.

Une ̄-s´equence de morphismes de F est un foncteur X : ̄ ջ C tel que, pour tout ordinal ˻ < ̄, le morphisme X˻ ջ X_˻+1 appartient `a F et, pour tout ordinal limite ˻ < ̄, le morphisme colim ˼<˻ X˼ ջ X<sub>˻</sub> est un isomorphisme. D´efinition 2.3.3 Soit ˺ un cardinal r´egulier et F une famille de morphismes d’une cat´egorie A admettant les colimites s´equentielles transfinies, un objet A de A est ˺-petit par rapport `a F si pour tout ̄ cardinal r´egulier strictement plus grand qu’˺ et pour toute ̄-s´equence de morphismes de F X0 ջ X₁ ջ . . ., on a :

colim_{−−−−ջ}

˻<̄

Hom(A, X˻)−ջ Hom(A, colim^∼= _{−−−−ջ}

˻<̄

X˻)

On dit que A est ˺-petit s’il est ˺-petit par rapport `a tous les morphismes de A.

Afin de montrer qu’un objet est petit, voici quelques r”esultats techniques, inspir”es de [1], sur la stabilit”e de la petitesse vis-`a-vis de certaines op”erations ainsi que quelques r”esultats sur la petitesse des C-pr”ecat”egories.

Lemme 2.3.4 Soient ˺ un cardinal r´egulier et A une cat´egorie admettant les coproduits et les colimites s´equentielles transfinies. Soit I un ensemble d’indices de cardinal strictement inf´erieur `a ˺ et soit (Ai)i∈I une famille d’ob-jets de A ˺-petits alors `

Lemme 2.3.5 Soient ˺ un cardinal r´egulier et A une cat´egorie admettant les coproduits et les colimites s´equentielles transfinies. Soit F un foncteur d’une petite cat´egorie I vers la cat´egorie C tel que pour tout objet i de I l’objet F (i) de C est ˺-petit. Alors la colimite de F , colim i∈I F (i), est ˺^′-petite, avec ˺^′ un cardinal plus grand qu’˺ et que le cardinal de l’ensemble des morphismes de I.

Lemme 2.3.6 Soit ˺ un cardinal r´egulier strictement plus grand qu’ℵ0. Soit A un pr´efaisceau de ˝ vers une cat´egorie C admettant les colimites s´equen-tielles transfinies, si, pour tout n ∈ N, An est ˺-petit alors A est ˺-petit.

On va maintenant ”enoncer la d”efinition qui pr”ecise que, sous certaines conditions, un ensemble de fl`eches permet l’argument du petit objet de Quillen D´efinition 2.3.7 Soit A une cat´egorie admettant les colimites s´equentielles transfinies. Soit E un ensemble de morphismes de A, on dit que E permet l’argument du petit objet si, pour tout morphisme de E, il existe un cardinal r´egulier ˺ tel que la source du morphisme est ˺-petite par rapport `a E.

Un des cas les plus fr”equents d’ensembles de fl`eches permettant l’argument du petit objet provient d’ensembles de fl`eches dont les sources et buts sont petits. On dira de ces fl`eches qu’elles sont petites ou limit”ees. Bien entendu, de tels ensembles permettent l’argument du petit objet, ce qu’”enonce le lemme suivant.

Lemme 2.3.8 Soient ˺ un cardinal r´egulier et A une cat´egorie admettant les colimites s´equentielles transfinies. Soit E un ensemble de morphismes de A dont les sources et buts sont ˺-petits, alors E permet l’argument du petit objet.

Comme on l’a d”ej`a dit plus haut, l’argument du petit objet sert `a obtenir la factorisation de toute fl`eche en une cofibration suivie d’un morphisme I-injectif pour un ensemble I assez petit. Ce fait est ”enonc”e dans le th”eor`eme suivant dont on trouvera la d”emonstration dans [1].

Th´eor`eme 2.3.9 (L’argument du petit objet) Soient C une cat´egorie co-compl`ete et I un ensemble de morphismes de C permettant l’argument du petit objet. Alors tout morphisme de C se factorise de mani`ere fonctorielle en une I-cofibration suivie d’un morphisme I-injectif.

L’un des corollaires de ce th”eor`eme qui nous int”eresse le plus est celui qui nous donne la caract”erisation des I-cofibrations en termes de colimites s”equentielles transfinies de sommes amalgam”ees de fl`eches de I lorsque I est assez petit. Mais en fait, les I-cofibrations ne sont pas toujours de telles col-imites mɏeme si I est assez petit, car en g”en”eral ce sont des r”etracts de telles colimites. Aussi vais-je tout d’abord rappeler la notion de r”etract d’un mor-phisme avant d’”enoncer le corollaire sur l’engendrement.

D´efinition 2.3.10 Soient f : A ջ B et g : C ջ D deux morphismes, on dit que f est un r´etract de g s’il existe un tel diagramme commutatif :

A ^{i -}C ^{r -}A B f ? j - D g ? s - B f ? avec r ◦ i = IdA et s ◦ j = IdB

Corollaire 2.3.11 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et I un ensemble de morphismes de C permettant l’argument du petit objet. Alors les I-cofibrations sont exactement les r´etracts de colimites s´equentielles transfinies de sommes amalgam´ees de morphismes de I.

Grɏace `a ce corollaire nous savons que les morphismes engendr”es par un bon ensemble I, ce que l’on appelle des I-cofibrations, s’expriment en termes de colimites s”equentielles transfinies de sommes amalgam”ees d’”el”ements de I. De plus, si l’on regarde la d”emonstration du th”eor`eme 2.3.9 donn”ee dans [1], on s’aper˜coɏđt que pour construire la factorisation d’une fl`eche quelconque f : A ջ B en une I-cofibration suivi d’un morphisme I-injectif, on va en fait rajouter `a A toutes les fl`eches de I rendant commutatif le diagramme suivant et r”ep”eter ce proc”ed”e un nombre transfini de fois.

X ^- A Y ∈ I ? - B f ?

On remarque donc que cette construction est encore du type colimite s”equen-tielle transfinie de sommes amalgam”ees d’”el”ements de I. C’est en outre cette m”ethode que nous allons utiliser pour cat”egoriser nos C-pr”ecat”egories une fois explicit”e l’ensemble I de fl`eches pour lequel nos C-cat”egories sont des objets I-injectifs. C’est la raison pour laquelle nous allons consacrer la prochaine partie `a l’”etude de ces proc”ed”es que nous appellerons plans d’addition de cellules, du fait de leur similarit”e d’avec la construction des complexes cellulaires.