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Lemmes techniques sur l’I-injectivisation

Cat´ egories faibles enrichies sur une cat´egorie

2.12 Lemmes techniques sur l’I-injectivisation

Dans la suite de cette th`ese, nous aurons `a montrer des r”esultats qui n”ecessitent de connaɏđtre les propri”et”es de stabilit”e de l’I-injectivisation par rapport aux monomorphismes, aux intersections de sous objets et `a la pe-titesse.

Lemme 2.12.1 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de mor-phismes de C tel que les ˯-cofibrations sont les monomormor-phismes. Soient ˱ un sous-ensemble de ˯ et ̄ un cardinal quelconque (transfini ou non). Soit enfin X ջ Y un monomorphisme de C. Alors eΨ,̄(X ջ Y ) est encore un monomorphisme.

De mˆeme, pour tout plan d’addition P. dont les plans simples sont du type eΨ,̄, P.(X ջ Y ) est un monomorphisme.

Preuve :

Tout d’abord, il est facile de voir que comme X ջ Y est un monomorphisme, l’ensemble des diagrammes de ˱ `a valeur dans X s’injecte par extension `a travers X ջ Y dans l’ensemble des diagrammes de ˱ `a valeur dans Y . De plus, comme par hypoth`ese les ˯-cofibrations sont les monomorphismes, on obtient d’une part que les fl`eches de ˯ sont des monomorphismes et que d’autre part les monomorphismes sont stables par somme amalgam”ee le long d’un morphisme et colimite s”equentielle transfinie.

Consid”erons maintenant la somme amalgam”ee, not”ee Z, de eΨ,̄(X) avec Y au-dessus de X. Tout d’abord par commutation des sommes amalgam”ees, il vient que Z est isomorphe `a la somme amalgam”ee de Y par l’ensemble des extensions le long de X ջ Y des diagrammes de ˱ `a valeur dans X pris chacun ̄ fois. Le morphisme canonique de eΨ,̄(X) vers la somme amalgam”ee Z est un monomorphisme comme somme amalgam”ee du monomorphisme X ջ Y le long du morphisme X ջ eΨ,̄(X). En utilisant les remarques pr”ec”edentes, on obtient que le morphisme universel de la somme amalgam”ee Z dans eΨ,̄(Y ) est en fait le r”esultat d’un plan d’addition par les diagrammes de ˱ `a valeur dans Y pris ̄-fois qui ne sont pas extensions par X ջ Y de diagrammes de ˱ `a valeur dans X. Comme ˯ est un ensemble de monomorphismes, le morphisme cellulaire Z ջ eΨ,̄(Y ) est un monomorphisme comme somme amalgam”ee de monomorphismes. On en d”eduit que le morphisme eΨ,̄(X ջ Y ), compos”ee des monomorphismes eΨ,̄(X) ջ Z et Z ջ eΨ,̄(Y ), est bien un monomorphisme. En utilisant ce r”esultat ainsi que la pr”eservation des monomorphismes par colimite s”equentielle transfinie le long de colimites s”equentielles transfinies de monomorphismes, on obtient le r”esultat pour P..

Lemme 2.12.2 Soit C une cat´egorie cocompl`ete telle que les r´eunions de deux sous-objets sont exactement les sommes amalgam´ees de ces sous-objets au-dessus de leur intersection. Soit ˯ un ensemble de morphismes de C tel que les ˯-cofibrations sont des monomorphismes. Soient ˱ un sous-ensemble de ˯ et ̄ un cardinal quelconque (transfini ou non). Soient A et B deux objets de C. Alors pour tout plan d’addition P. dont les plans simples sont du type eΨ,̄, on a :

P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B) Preuve :

Par le lemme 2.12.1, les monomorphismes sont stables par tout plan P. d’ad-dition de cellules compos”e de plans simples du type eΨ,̄. Donc P (A) et P (B) sont des sous-objets de P (C) et donc leur intersection a un sens. De plus P (A ∩ B) est un sous-objet `a la fois de P (A) et de P (B), car A ∩ B est inclus dans A et B et que le plan P. pr”eserve les monomorphismes. Ainsi P (A ∩ B) est un sous-objet de P (A) ∩ P (B). Il ne reste donc plus qu’`a montrer l’autre sens. Comme le plan P.est la colimite des plans simples eΨ,̄, il suffit de mon-trer que eΨ,̄(A ∩ B) contient eΨ,̄(A) ∩ eΨ,̄(B). La construction eΨ,̄ est un proc”ed”e d’addition de cellules. Donc pour montrer que eΨ,̄(A) ∩ eΨ,̄(B) est inclus dans eΨ,̄(A ∩ B), il suffit de montrer que les cellules du premier sont en fait des cellules du second. Or cela d”ecoule directement du fait que les di-agrammes de fl`eches de ˯ apparaissant pour A n’apparaissent pour B que si les sources des fl`eches de ˯ s’envoyent dans A ∩ B. Ainsi on a montr”e que la construction eΨ,̄ pr”eserve l’intersection et donc par r”ecurrence transfinie on pourra montrer que le plan P. aussi pr”eserve l’intersection.

CQFD.

Lemme 2.12.3 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de fl`eches de C. Supposons qu’il existe un cardinal transfini ˺ pour lequel les sources et buts de toutes les fl`eches de ˯ sont ˺-petites. Soient ̄ et ̄ deux ordinaux quelconques et P. un plan d’addition de cellules fonctoriel de longueur ̄ et uniquement compos´e de plans simples du type eΨ,̄′ avec ˱ un sous-ensemble de ˯. Soit ˺ un cardinal r´egulier strictement sup´erieur `a 2̄ et 2˺. Alors il existe un cardinal r´egulier ˺′′ strictement sup´erieur `a ˺ tel que, pour tout objet ˺-petit A de C, P (A) est ˺′′-petit.

Preuve :

On rappelle que P (A) est la colimite d’une ̄-s”equence (A˻)˻≤̄ o`u A˻+1 = eΨ,̄′(A˻). Montrons par r”ecurrence transfinie sur ˻ ≤ ̄ que A˻ est ˺(˻)-petit pour un cardinal r”egulier ˺(˻) > ˺ qui ne d”epend pas de A. Le cas ˻ = 0 est

vrai car A0 n’est autre que A qui est par hypoth`ese ˺-petit. Supposons le cas ˻ montr”e et montrons le cas ˻ + 1. Comme A˻+1 = eΨ,̄(A˻) et que, par hy-poth`ese de r”ecurrence, A˻ est ˺(˻)-petit, il suffit de montrer que le plan simple ȇ,̄′ pr”eserve la petitesse. Or eΨ,̄′(A˻) consiste en une somme amalgam”ee de A˻ par un coproduit de fl`eches de ˱, sous-ensemble de ˯, chacune de ces fl`eches ”etant prise ̄ fois. Ce coproduit est petit car la sous-famille ˱ de la famille ˯ est un ensemble par hypoth`ese et que la collection des morphismes `a but fix”e et `a source index”ee par un ensemble est un ensemble. Par hypoth`ese sur ˯, les sources et buts des fl`eches de ˯ sont ˺-petits, donc en particulier ˺(˻)-petits car ˺(˻) > ˺ > ˺. Ainsi eΨ,̄′(t˻) est la colimite d’un petit diagramme dont tous les objets sont ˺(˻)-petits. D’apr`es le lemme 2.3.5, une telle colimite est ˺(˻+1)-petite pour un cardinal r”egulier ˺(˻+1) strictement plus grand que ˺(˻)

et que le cardinal de l’ensemble des morphismes de la petite cat”egorie indexant le diagramme. Or ce cardinal d”epend de ˺(˻), du cardinal de l’ensemble ˱ et du cardinal de ̄, ces trois cardinaux ”etant ind”ependants de A, ce qui montre que eΨ,̄′(A˻) = A˻+1 est bien ˺(˻+1)-petit avec ˺(˻+1) > ˺ cardinal r”egulier ind”ependant de A. Ainsi est prouv”ee l’hypoth`ese de r”ecurrence au rang ˻ + 1. Supposons maintenant l’hypoth`ese vraie pour tout ordinal ˼ < ˻ avec ˻ ≤ ̄ ordinal limite et montrons qu’elle est aussi vraie pour ˻. Posons ˺(˻)le plus pe-tit cardinal r”egulier majorant l’ensemble {˺(˼), ˼ < ˻}, qui existe par propri”et”e des cardinaux et qui est ind”ependant de A car ˻ et les ˺(˼) le sont. Comme A˻ est la colimite des ˺(˼)-petits A˼ pour ˼ < ˻ et que ˻ ≤ ̄ est strictement inf”erieur `a ˺(˻) car ˺(˻) > ˺(0) = ˺ > ̄, par r”egularit”e de ˺(˻), il vient que la colimite A˻ est ˺(˻) petite avec ˺(˻) > ˺ cardinal r”egulier ind”ependant de A, ce qui montre le cas ˻ ordinal limite. Par r”ecurrence transfinie, on a donc montr”e que, pour tout ˻ ≤ ̄, A˻ est ˺(˻)-petit, avec ˺(˻) > ˺ cardinal r”egulier ind”ependant de A. Donc ceci est vrai en particulier pour Ā = P (A), ce qui est le r”esultat attendu en prenant pour ˺′′ le cardinal ˺(̄).

CQFD.

Nous avons dans ce chapitre fait une mise au point sur la th”eorie des plans d’addition de cellules qui nous a fourni les outils n”ecessaires pour I-injectiviser. Si donc nous trouvons un ensemble I de fl`eches pour lequel les objets I-injectifs sont des C-cat”egories, en appliquant les constructions d’I-injectivisation exhib”ees dans ce chapitre, nous serons `a mɏeme de cat”egoriser nos C-pr”ecat”egories. Aussi le but du prochain chapitre est de trouver un en-semble de morphismes de C-pr”ecat”egories I pour lequel les C-pr”ecat”egories I-injectives sont des C-cat”egories.

Chapitre 3