C-pr´ ecat´ egories

Munis de la d”efinition de cat”egorie discr”etisante, nous pouvons maintenant d”efinir la notion de C-pr”ecat”egorie.

D´efinition 1.2.1 Si C est une cat´egorie discr´etisante, on appelle C-pr´ecat´e-gorie tout pr´efaisceau A de la cat´eC-pr´ecat´e-gorie simpliciale ˝ vers C dont l’espace A₀, dit l’ensemble des objets de A, est un objet discret de C. On appelle C − PC la sous-cat´egorie pleine de la cat´egorie des pr´efaisceaux de ˝ vers C d’objets les C-pr´ecat´egories.

Exemple 1.2.2 Si on prend pour cat´egorie discr´etisante EN S, on obtient que la cat´egorie des C-pr´ecat´egories n’est autre que la cat´egorie des ensembles simpliciaux.

En vue de r”eit”erer la construction des C-pr”ecat”egories, il est int”eressant de voir si la cat”egorie des C-pr”ecat”egories est elle-mɏeme discr”etisante.

Proposition 1.2.3 Si C est une cat´egorie discr´etisante, la cat´egorie C − PC des C-pr´ecat´egories est discr´etisante.

Preuve :

Par hypoth`ese, C est poss`ede l’objet final, les coproduits de l’objet final et les fibres. Or les cat”egories de pr”efaisceaux `a valeurs dans une cat”egorie poss”edant l’objet final, les coproduits de l’objet final et les fibres poss`edent ”egalement l’objet final, les coproduits de l’objet final et les fibres, ces derniers ”etant calcul”es niveau par niveau. C’est en particulier le cas pour la cat”egorie des pr”efaisceaux de ˝ vers C. En outre les fibres d’objets discrets dans C sont encore des objets discrets et, par d”efinition, l’objet final et ses coproduits sont des objets discrets. Donc l’objet final, les coproduits de l’objet final et les fibres niveau par niveau dans les pr”efaisceaux de ˝ vers C pr”eservent la condition que le niveau 0 est discret. D’o`u C − PC poss`ede l’objet final, les coproduits de l’objet final et les fibres, ces derniers ”etant calcul”es niveau par niveau.

Soit Z ջ X un morphisme de C − PC dont le but est un objet dis-cret. Comme C − PC est une cat”egorie de pr”efaisceaux, `

x∈XZ(x) se calcule niveau par niveau, or pour tout entier n, on a Zn = `

x∈XZn(x) car C est discr”etisante. Ainsi `

x∈XZ(x) n’est autre que Z et C − PC v”erifie la pro-pri”et”e 1 de la d”efinition 1.1.4.

On remarque facilement que se donner un morphisme dans C − PC de l’ob-jet final vers un coproduit de l’obl’ob-jet final ”equivaut `a se donner un morphisme dans C de l’objet final vers le mɏeme coproduit de l’objet final, car pour un objet discret de C − PC, tous les niveaux sont isomorphes au niveau 0. Ainsi il vient pour tout ensemble E :

HomC−PC ³ ∗,a E ∗´ = HomC ³ ∗,a E ∗´ ∼ = E

o`u l’isomorphisme est naturel en E, car C v”erifie la propri”et”e 2 de la d”efinition 1.1.4. On a donc montr”e la propri”et”e 2 pour C − PC.

Pour montrer la stabilit”e des objets discrets par limite, il suffit de rappeler que les limites dans une cat”egorie de pr”efaisceaux sont les limites niveau par niveau. Or niveau par niveau les objets discrets sont stables par limites car C est discr”etisante. De plus nos objets ”etant discrets, leurs niveaux sont tous isomorphes. Donc nos limites d’objets discrets sont niveau par niveau des objets discrets et tous leurs niveaux sont isomorphes, ce qui en fait des objets discrets et montre la propri”et”e 3 de la d”efinition 1.1.4.

CQFD.

Exemple 1.2.4 Dans l’exemple pr´ec´edent, on a vu qu’EN SSIMP la cat´e-gorie des ensembles simpliciaux n’est autre que EN S − PC. Par la proposition pr´ec´edente, on obtient donc que la cat´egorie EN SSIMP est discr´etisante. Avec la cat´egorie discr´etisante EN SSIMP, les C-pr´ecat´egories sont les en-sembles bi-simpliciaux dont l’espace des objets est discret.

Proposition 1.2.5 Soit C une cat´egorie discr´etisante.

Si C est compl`ete (respectivement cocompl`ete), alors C − PC est compl`ete (re-spectivement cocompl`ete).

Preuve :

Les cat”egories de pr”efaisceaux vers une cat”egorie compl`ete (respectivement cocompl`ete) sont compl`etes (respectivement cocompl`etes) avec les limites (re-spectivement les colimites) niveau par niveau. Et comme les limites (respec-tivement les colimites) de C pr”eservent la discr”etude des objets, les limites (respectivement les colimites) niveau par niveau pr”eservent la condition d’ɏetre discr`etes au niveau 0. Par cons”equent, C − PC est compl`ete (respectivement cocompl`ete) avec les limites (respectivement les colimites) niveau par niveau. CQFD.

Munis de ces propositions, on peut d”efinir par r”ecurrence une notion de n-C-pr”ecat”egorie.

Proposition 1.2.6 (d´efinition) Si C est une cat´egorie discr´etisante, on ap-pelle 1-C-pr´ecat´egories les C-pr´ecat´egories. Soit n un entier strictement sup´e-rieur `a un et supposons d´efinie la cat´egorie (n − 1) − C − PC des (n − 1)-C-pr´ecat´egories, on appelle alors n-C-pr´ecat´egories les (n − 1) − C − PC-pr´ecat´e-gories et n − C − PC la sous-cat´egorie pleine de la cat´egorie des pr´efaisceaux de ˝ vers (n − 1) − C − PC d’objets les n-C-pr´ecat´egories.

Si C est compl`ete (respectivement cocompl`ete) et que ses objets discrets sont stables par limites (respectivement par colimites), alors, pour tout entier n, n − C − PC est compl`ete (respectivement cocompl`ete) et ses objets discrets sont stables par limites (respectivement par colimites).

Preuve : c’est une d”emonstration par r”ecurrence qui utilise les deux proposi-tions pr”ec”edentes `a chaque ”etape. CQFD.

Exemple 1.2.7 En prenant pour cat´egorie discr´etisante EN S, on obtient les n-pr´ecat´egories de Tamsamani de [5].

Exemple 1.2.8 En prenant pour cat´egories discr´etisante EN SSIMP, on obtient les n-pr´ecat´egories de Segal de [2]. On peut remarquer que comme la cat´egorie EN SSIMP est en fait celle des 1-pr´ecat´egories de Tamsamani, pour tout entier n, les n-pr´ecat´egories de Segal ne sont autres que les n + 1-pr´ecat´egories de Tamsamani.