C-cat´ egories

Nous avons vu que pour d”efinir une C-pr”ecat”egorie, il fallait juste que C soit discr”etisante. Mais pour d”efinir une notion de C-cat”egorie, la seule donn”ee de C ne suffit pas. Il faut pouvoir prendre en compte des notions de cat”egories et d’”equivalences de cat”egories dans C, que nous appellerons respectivement objets r”egaux et alliances d’objets r”egaux. Nous allons donc d”efinir la notion de donn”ee de Segal qui prendra en compte ces ”el”ements et `a partir de laquelle la notion de C-cat”egorie d”ecoulera. Comme en outre pour d”efinir par la suite la notion d’”equivalence de C-cat”egories nous avons besoin de savoir si des objets d’une C-cat”egorie sont ”equivalents, nous allons demander aussi `a la donn”ee de Segal un foncteur not”e ̍0 qui a pour vocation d’associer `a un objet r”egal l’ensemble des classes d’”equivalence de ses objets.

D´efinition 1.3.1 Une donn´ee de Segal est un quadruplet (C, C_c, C_eq, ̍₀) consti-tu´e d’une cat´egorie C discr´etisante et poss´edant les produits fibr´es de deux ob-jets au-dessus d’un objet discret, d’une sous-cat´egorie pleine Cc de C, d’une sous-cat´egorie C_eq de C_c, ayant les mˆemes objets que C_c, et d’un foncteur ̍₀ de Cc vers la cat´egorie des ensembles, satisfaisant les propri´et´es suivantes : 1) Cc est repl`ete et contient les objets discrets de C.

2) Le produit fibr´e de deux objets de C_c au-dessus d’un objet discret appartient `a Cc.

3) Ceqcontient les isomorphismes de Cc et les produits fibr´es, dans la cat´egories des morphismes de C, de deux morphismes de Ceq au-dessus d’un objet discret. 4) Etant donn´e un diagramme :

R ^- R^′ @ @ @ @ @ R ª¡^¡ ¡^¡ ¡ X

avec R et R^′ des objets r´egaux et X objet discret, R ջ R^′ est un morphisme de Ceq si et seulement si pour tout ´el´ement x de X, les morphismes induits R(x) ջ R′(x) sont des morphismes de Ceq.

5) La restriction du foncteur ̍0 aux objets discrets n’est autre que le foncteur HomC(∗, −).

7) ̍0 envoie les morphismes de Ceq sur les bijections ensemblistes.

On appellera objets r”egaux les objets de C_c et alliances d’objets r”egaux les morphismes de Ceq. A partir de maintenant, par abus de notation nous noterons indiff”eremment C la donn”ee de Segal (C, Cc, Ceq, ̍0) et sa cat”egorie sous-jacente.

Au niveau des objets discrets, on aura pu remarquer qu’on leur a demand”e d’ɏetre des objets r”egaux et que le foncteur ̍₀ se restreint sur eux en le foncteur HomC(∗, −). Ainsi si l’on identifie les objets discrets avec leurs ensembles sous-jacents, on obtient que la restriction aux objets discrets de ̍0 n’est autre que l’identit”e. En outre les alliances d’objets discrets sont des alliances d’objets r”egaux et donc s’envoyent par ̍0 sur les bijections d’ensembles. Or comme l’on vient de voir que la restriction du foncteur ̍0 aux objets discrets n’est autre que l’identit”e, on obtient que les alliances d’objets discrets sont des isomorphismes d’objets discrets. La r”eciproque est incluse dans la propri”et”e 3) de donn”ee de Segal. Ainsi les alliances d’objets r”egaux entre objets discrets sont exactement les isomorphismes d’objets discrets.

Exemple 1.3.2 Pour EN S, on peut prendre la donn´ee de Segal suivante : la sous-cat´egorie EN Sc est EN S tout enti`ere, les morphismes de EN Seq sont les bijections ensemblistes. Enfin pour ̍0, on prend l’identit´e. Il est facile de voir que cette donn´ee est bien une donn´ee de Segal.

Exemple 1.3.3 Pour EN SSIMP, on peut prendre la donn´ee de Segal suiv-ante : la sous-cat´egorie EN SSIMPc est EN SSIMP tout enti`ere, les mor-phismes de EN SSIMP_eq sont les ´equivalences faibles d’ensembles simplici-aux (i.e. les morphismes dont les r´ealisations induisent des ´equivalences sur les groupes d’homotopie). Enfin pour ̍0, on prend la compos´ee du foncteur r´ealisation g´eom´etrique par le foncteur composante connexe. Il est facile de voir que cette donn´ee est bien une donn´ee de Segal.

Exemple 1.3.4 (C, Cc, Ceq, ̍0) une donn´ee de Segal, il est assez facile de voir que si on remplace les alliances d’objets r´egaux par les isomorphismes de C entre objets r´egaux, on obtient une nouvelle donn´ee de Segal plus stricte que la pr´ec´edente. En effet, la seule chose `a v´erifier est la pr´eservation des iso-morphismes par fibre et par produit fibr´e au-dessus d’un objet discret, ce qui est vrai car C est une cat´egorie discr´etisante.

D´efinition 1.3.5 Soit C une donn´ee de Segal, on dit d’une C-pr´ecat´egorie A qu’elle est une C-cat´egorie si, pour tout entier m strictement positif, Am est

un objet r´egal et si, pour tout entier m sup´erieur ou ´egal `a deux, le morphisme de Segal

Am ջ A₁·_A0 . . . ·A0 A1

induit par les applications de 1 dans m qui `a 0 et 1 associent i et i+1 (pour i compris entre 0 et m-1), est une alliance d’objets r´egaux. Un morphisme de C-cat´egories est un morphisme de C-pr´ecat´egories.

Notations :

A₁(x, y) note la fibre en (x, y) de l’application A₁ ջ A₀· A₀ induite par les morphismes source et but. C’est donc l’objet r”egal des morphismes de A al-lant de x `a y. Plus g”en”eralement, Am(a0, . . . , am) note la fibre en (a0, . . . , am) de l’application A<sub>m</sub> ջ A<sub>0</sub> · . . . · A<sub>0</sub> induite par les applications sommets de 0 vers m qui envoyent 0 sur i, pour i compris entre 0 et m. On consid`ere Am(a0, . . . , am) comme l’objet r”egal des m-simplexes construits sur la suite de sommets (a₀, . . . , a_m).

Lemme 1.3.6 Soit C une donn´ee de Segal, une pr´ecat´egorie A est une C-cat´egorie si et seulement si, pour tout entier m strictement positif, Am est un objet r´egal et si, pour tout entier m sup´erieur ou ´egal `a deux, et pour tout m-uplet (a0, . . . , am) d’objets de A, le morphisme

Am(a0, . . . , am) ջ A1(a0, a1) · . . . · A1(am−1, am) induit par le morphisme de Segal, est une alliance d’objets r´egaux.

Preuve : application directe de la propri”et”e 4 de donn”ee de Segal au dia-gramme : Am - A1 ·A0 . . . ·A0 A1 @ @ @ @ @ R ª¡^¡ ¡^¡ ¡ A0· . . . · A₀

o`u les morphismes diagonaux sont induits par les applications sommets de 0 vers m et de 0 vers 1`

0 . . .` 0 1). CQFD.