Plans d’addition de cellules I-injectivants

On peut en effet reformuler le probl`eme de la cat”egorisation en termes de plans d’addition de cellules et d’objets I-injectifs. Supposons en effet que nous ayons exhib”e une famille I de morphismes dont les objets I-injectifs sont les C-cat”egories. Le probl`eme devient alors de rendre I-injectif un objet qui ne l’est pas. L’id”ee la plus r”epandue pour faire cela est de rajouter les fl`eches de I jusqu’`a rendre l’objet I-injectif, c’est-`a-dire d’appliquer `a l’objet un plan d’ad-dition de cellules. Ainsi l’”equivalent en termes de plan d’add’ad-dition de cellules et d’objets I-injectifs du probl`eme de la cat”egorisation est de trouver un plan d’addition de cellules P fonctoriel v”erifiant :

- i) tout morphisme f : A ջ B dont le but est I-injectif se factorise `a travers P (A),

- ii) pour tout objet A, P (A) est I-injectif,

- iii) si l’on poss`ede une notion d’”equivalence d’objets I-injectifs, pour tout objet A, l’image par P du morphisme naturel A ջ P (A) est une ”equi-valence d’objets I-injectifs.

Tout plan fonctoriel d’addition de cellules r”esolvant ce probl`eme sera appel”e plan I-injectivant ou I-injectivisation.

Comme on l’a dit plus haut, l’id”ee que nous allons suivre pour r”esoudre ce probl`eme d’I-injectivisation est de construire un plan d’addition de fl`eches de I. Or il est assez facile de voir, avec les d”efinitions d’objets I-injectifs et de I-cofibrations, que tout plan d’addition de fl`eches de I est une I-cofibration et donc, par propri”et”e de rel`evement `a gauche par rapport aux objets I-injectifs, v”erifie le i). C’est ce que nous donne le lemme suivant.

Lemme 2.5.1 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et I un ensemble de mor-phismes de C. Soient A un objet de C et P un plan d’addition de cellules de I sur A. Alors le morphisme naturel A ջ P (A) est une I-cofibration. En parti-culier pour tout morphisme f : A ջ B vers un objet I-injectif B, il existe un morphisme de P (A) vers B qui pr´ecompos´e avec le morphisme naturel de A vers P (A) redonne f .

A ^{f -} B ¡^¡ ¡^¡ ¡ ∃ µ P (A) ?

Preuve :

Tout d’abord il convient de remarquer que le morphisme naturel A ջ P (A) est une colimite s”equentielle transfinie de sommes amalgam”ees de fl`eches de I. Or les fl`eches de I sont des I-cofibrations et les I-cofibrations sont stables par somme amalgam”ee le long d’un morphisme et par colimite s”equentielle trans-finie d’apr`es le lemme 2.2.2. Donc le morphisme naturel A ջ P (A) est bien une I-cofibration. En outre par d”efinition de I-cofibration, A ջ P (A) poss`ede la propri”et”e de rel`evement `a gauche par rapport aux morphismes I-injectifs et donc en particulier par rapport aux objets I-injectifs.

CQFD.

Ce lemme nous a donc permis d’avoir une infinit”e de solutions pour le probl`eme i) de l’I-injectivisation. Il suffit que le plan d’addition de cellules ra-joute des fl`eches de I `a la source d’un morphisme vers un objet I-injectif pour factoriser ce morphisme `a travers le r”esultat du plan appliqu”e `a la source. Toutefois on peut aussi bien rajouter `a chaque ”etape du plan une partie quel-conque de I ou bien avoir une partition de I et un plan qui `a chaque ”etape rajoute les fl`eches d’un certain nombre d’”el”ements de la partition de I. Nous allons donc donner une d”efinition g”en”erale qui permet de mod”eliser de tels plans.

D´efinition 2.5.2 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de morphismes de C. Soit (˯k)k∈K une partition de ˯. Donnons nous une fonc-tion t d’un cardinal T quelconque vers l’ensemble des parties de K. On appelle plan d’addition de cellules suivant l’ordre t tout plan P de longueur T tel que, pour tout ordinal ̍ < T , les diagrammes apparaissant dans P̍ ne sont obtenus qu’`a partir des fl`eches des ˯k avec k d´ecrivant t(̍ ).

On notera t−1(k) pour k ∈ K l’ensemble des ordinaux ̍ < T pour lesquels t(̍ ) contient k.

Pour r”esoudre le probl`eme ii) de l’I-injectivisation, l’id”ee est de rajouter autant de fois que n”ecessaire les fl`eches de I pour rendre les objets quelcon-ques I-injectifs. On se demande alors quelles conditions doit v”erifier un plan d’addition de fl`eches de I pour que son r”esultat soit I-injectif. Comme les plans ont chacun une certaine longueur, si l’ensemble I est petit par rapport `a cette longueur, toutes fl`eches d’une source d’un morphisme de I vers le r”esultat du plan se factorisera `a travers l’une des ”etapes du plan. Deux cas se pr”esente alors : soit le diagramme `a cette ”etape poss`ede d”ej`a un rel`evement, et dans ce cas c’est bon, soit le diagramme `a cette ”etape n’en poss`ede pas. Or si l’on veut que le diagramme se rel`eve pour le r”esultat du plan, il faudra qu’il se rel`eve

pour une ”etape ult”erieure du plan. Ces consid”erations nous am`enent au lemme suivant qui nous donne une condition suffisante pour qu’un plan d’addition suivant un ordre ait son r”esultat I-injectif.

Lemme 2.5.3 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de mor-phismes de C. Soient (˯k)k∈K une partition de ˯ et ˺ un cardinal r´egulier pour lequel les sources des morphismes de ˯ sont ˺-petites.

Soit A un objet de C. Donnons nous une fonction t d’un cardinal r´egulier T strictement sup´erieur `a ˺ vers l’ensemble des parties de K et un plan d’addi-tion de cellules P sur A suivant l’ordre t. Si P v´erifie la propri´et´e suivante : pour tout ordinal ̍ < T , pour tout k ∈ K et pour tout diagramme D sur P̍(A) fabriqu´e avec une fl`eche de ˯k qui ne se rel`eve pas dans P̍(A), il existe ̍<sup>′</sup> ∈ t−1(k) tel que ̍<sup>′</sup> ≥ ̍ et que le diagramme D ´etendu `a P_̍′(A) appartienne au plan P̍′,

alors P (A) est ˯-injectif. Preuve :

Soit P un plan sur A v”erifiant la condition du lemme. Montrons que P (A) est ˯-injectif. Consid”erons alors le diagramme suivant :

X ^{g -} P (A)

Y ̏

?

Comme par hypoth`ese la source X de ̏ est ˺-petite et que A ջ P (A) est une colimite s”equentielle transfinie de longueur T cardinal r”egulier strictement sup”erieur `a ˺, il existe un ordinal ̍ < T tel que g se factorise par P_̍(A). Soit le diagramme se rel`eve dans P̍(A) et, par extension `a P (A), on obtient que le diagramme ci-dessus se rel`eve. Soit le diagramme ne se rel`eve pas dans P̍(A), et dans ce cas, par la propri”et”e de P , il vient qu’il existe ̍′ ≥ ̍ tel que t(̍′) contienne l’indice de la partie de ˯ `a laquelle appartient ̏ et que la restriction du diagramme `a P̍′(A) appartienne au plan P̍′. Ainsi P̍′+1(A) se rel`eve par rapport `a ̏, et par extension `a P (A),on obtient que P (A) se rel`eve aussi, ce qui montre que le diagramme consid”er”e se rel`eve.

CQFD.

Corollaire 2.5.4 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de morphismes de C. Soient (˯k)k∈K une partition de ˯ et ˺ un cardinal r´egulier

pour lequel les sources des fl`eches de ˯ sont ˺-petites.

Soit A un objet de C. Donnons nous une fonction t d’un cardinal r´egulier T strictement sup´erieur `a ˺ vers l’ensemble des parties de K et un plan d’addi-tion de cellules P sur A suivant l’ordre t.

Supposons que t v´erifie que pour tout ̍ < T et pour tout k ∈ t(̍ ) il existe ̍′ ≥ ̍ tel que ̍′ appartienne `a t−1(k). Si P v´erifie la propri´et´e suivante : pour tout ordinal ̍ < T , le plan P̍ contient tous les diagrammes obtenus `a partir des morphismes de ˯k, pour k d´ecrivant t(̍ ), qui ne se rel`event pas dans P̍(A), alors P (A) est ˯-injectif.

Preuve :

Montrons que sous les conditions du corollaire le plan P v”erifie la condition du lemme pr”ec”edent. Soit donc un ordinal ̍ < T et un diagramme D sur P_̍(A) obtenu `a partir d’un morphisme d’un ˯k avec k ∈ t(̍ ) qui ne se rel`eve pas dans P̍(A). Par propri”et”e de t, il existe un ordinal ̍^′ ≥ ̍ tel que k appartienne `a t(̍′). Prenons le plus petit ̍′ v”erifiant cela. En outre par propri”et”e de P , il vient que P̍′ contient tous les diagrammes obtenus avec ˯k (car k ∈ t(̍′)) ne se relevant pas dans P̍′(A), c’est en particulier le cas pour D ”etendu `a P̍′(A), par minimalit”e de ̍′. Ainsi P v”erifie la condition du lemme et donc P (A) est ˯-injectif.

CQFD.

Donnons deux exemples de plans d’addition de cellules qui v”erifient les propri”et”es i) et ii) de l’I-injectivisation.

Lemme 2.5.5 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de mor-phismes de C dont les sources sont ˺-petites pour un certain cardinal r´egulier ˺. Soient ˺′ le plus petit cardinal r´egulier sup´erieur `a ˺ et ̄ un cardinal quel-conque.

Notons E_Φ,̄ le plan d’addition de cellules fonctoriel de longueur ˺′ dont tous les plans simples sont eΦ,̄ et notons E′

Φ,̄ le plan d’addition de cellules foncto-riel de longueur ˺^′ obtenu `a partir des compositions rationnelles et dont tous les plans simples sont e_Φ,̄.

Alors, pour tout objet A de A, EΦ,̄(A) et E′

Φ,̄(A) sont ˯-injectifs et tout morphisme f : A ջ B dont le but est ˯-injectif se factorise `a travers le morphisme naturel A ջ E<sub>Φ,̄</sub>(A) et aussi `a travers A ջ E′

Φ,̄(A). Preuve :

Tout d’abord on remarque que comme EΦ,̄ et E′

Φ,̄ sont des plans d’addition de morphismes de ˯, par le lemme 2.5.1, les morphismes naturels A ջ EΦ,̄(A)

et A ջ E_Φ,̄^′ (A) sont des ˯-cofibrations qui donc ont la propri”et”e de rel`evement `a gauche par rapport aux objets ˯-injectifs. Ceci prouve la seconde partie du lemme.

Pour montrer que les r”esultats des plans EΦ,̄ et E′

Φ,̄ sont ˯-injectifs, il suffit de montrer que ces plans v”erifient le corollaire 2.5.4. Tout d’abord on remarque que dans notre cas il n’y a pas de partition de ˯, ce qui revient `a dire que la partition n’a qu’un ”el”ement. Du coup la fonction t correspondant `a nos plans n’est autre que la fonction constante du cardinal ˺′ dans l’ensem-ble des parties du singleton `a valeur le singleton. Ainsi t v”erifie de mani`ere triviale la condition du corollaire 2.5.4. Il ne reste plus qu’`a montrer que pour tout ordinal ˻ < ˺′, les plans simples (EΦ,̄)˻ et (E′

Φ,̄)˻ contiennent tous les diagrammes obtenus avec des morphismes de ˯ qui ne se rel`event pas dans (EΦ,̄)˻(A) et (E′

Φ,̄)˻(A). Or les plans simples (EΦ,̄)˻ et (E′

Φ,̄)˻ sont en fait les plans eΦ,̄ qui par d”efinition contiennent tous les diagrammes possibles obtenus `a partir de ˯. Si dans (EΦ,̄)˻, on a bien tous les diagrammes pos-sibles sur (EΦ,̄)˻(A), en revanche par rationalit”e des compositions de E′

Φ,̄, dans (E′

Φ,̄)˻ on ne garde que les diagrammes qui ne rel`event pas dans (E′ Φ,̄)˻. Dans les deux cas la propri”et”e du corollaire 2.5.4 est v”erifi”ee, ce qui nous donne que les r”esultats des plans EΦ,̄ et E′

Φ,̄ sont bien ˯-injectifs. CQFD.

On a donc exhib”e deux plans d’addition de cellules qui v”erifient les pro-pri”et”es i) et ii) des plans I-injectivants. Le probl`eme consiste maintenant `a savoir s’ils v”erifient ou non la propri”et”e iii) concernant les ”equivalences. En fait cette propri”et”e iii) est la plus difficile `a obtenir. En nous inspirant des id”ees de [5] pour r”esoudre ce probl`eme, nous allons chercher deux plans d’ad-dition de cellules particuliers v”erifiant i) et ii). Le premier aura une propri”et”e d’unicit”e de rel`evement par rapport aux objets I-injectifs et le second aura la propri”et”e iii) mais uniquement pour les objets I-injectifs. Nous allons donc con-struire le premier plan et montrer que, si l’on suppose l’existence du second, le premier v”erifie iii).