mod` eles ferm´ ee engendr´ ee de mani`ere cofibrante sur les
C- pr´ ecat´ egories
5.2 Ensembles g´ en´ erateurs I et J
La structure de categorie de mod`eles fermee engendree de mani`ere cofi-brante est basee sur le fait que les cofibrations et les cofibrations triviales sont engendrees par certains ensembles notes I et J . Comme nous avons dej`a verifie les deux premi`eres hypoth`eses du lemme de reconnaissance 5.0.4, il nous reste `a verifier les quatre derni`eres qui traitent justement de ces ensem-bles generateurs, que nous devons donc definir. Bien que l’on ait pris comme cofibrations de C-precategories les monomorphismes niveau par niveau, nous allons tant que faire se peut nous placer dans le cadre plus general o`u les cofibrations des C-precategories sont les cofibrations niveau par niveau.
Pour trouver l’ensemble I des cofibrations generatrices, on remarque tout d’abord que par definition les cofibrations sont niveau par niveau des cofibra-tions de C. Si C est une categorie de mod`eles fermee engendree de mani`ere cofibrante, alors les cofibrations de C − PC sont niveau par niveau des colim-ites de sommes amalgamees par les cofibrations generatrices de C.
Soit f : A ջ B une cofibration, tout d’abord c’est une injection au niveau des objets et donc, pour rajouter `a A les eventuels objets que B a en plus, on prend la somme amalgamee de A par ∅ ջ ∗.
Supposons maintenant que jusqu’au rang n − 1, f induise des isomorphismes. On veut alors rajouter `a An ce qui lui manque pour devenir Bn, c’est-`a-dire faire une colimite de somme amalgamee par les cofibrations generatrices de C. On remarque alors que quand on veut rajouter une cofibration generatrice g : X ջ Y de C `a An, l’image de Y dans le bord de Bn est dej`a dans le bord de An car f induit des isomorphismes jusqu’au rang n − 1. Ainsi si l’on suppose Y connexe, on obtient le diagramme suivant commutatif :
˝[n]ˡX a ∂∆[n]ΘX ∂˝[n]ˡY - A ˝[n]ˡY Attachn(g) ? - B f ?
Ces considerations nous conduisent `a proposer la definition suivante pour l’ensemble generateurs des cofibrations I.
Lemme 5.2.1 (-d´efinition) Soit C une cat´egorie discr´etisante munie d’une structure de cat´egorie de mod`eles ferm´ee engendr´ee de mani`ere cofibrante dont les cofibrations g´en´eratrices ont leurs sources et buts ˺-petits, pour un cardinal
r´egulier ˺ plus grand qu’ ℵ0. Notons I l’ensemble constitu´e de ∅ ջ ∗ et des fl`eches de type Attachn(g) : ˝[n]ˡX`
∂∆[n]ΘX∂˝[n]ˡY ջ ˝[n]ˡY pour n > 0 et g : X ջ Y d´ecrivant l’ensemble des cofibrations g´en´eratrices de C. Alors I permet l’argument du petit objet au sens 2.3.7.
Preuve :
On remarque que, niveau par niveau, la source d’une fl`eche de type Attachn(g) est la somme disjointe d’un ensemble fini avec un coproduit fini de X et un coproduit fini de Y et le but est la somme disjointe d’un ensemble fini avec un coproduit fini de Y . Par hypoth`ese, X et Y sont ˺-petits alors, par le lemme 2.3.4, chaque niveau des extremites de Attachn(g) aussi. Et par lemme 2.3.6, car ˺ est regulier et strictement superieur `a ℵ0, il vient que source et but de Attachn(g) sont ˺-petits. On a dej`a vu que ∅ et ∗ sont aussi ˺-petits. Donc par le lemme 2.3.8, on a bien que I permet l’argument du petit objet.
CQFD.
Pour l’ensemble generateur des cofibrations triviales J , nous allons suivre la demarche habituelle qui consiste `a ne garder que les classes d’equivalence de cofibrations triviales petites par rapport `a un cardinal fixe. L’avantage de cette demarche est que par definition mɏeme l’ensemble J verifie l’argument du petit objet.
Lemme 5.2.2 (-d´efinition) Sous les hypoth`eses et notations du lemme pr´e-c´edent, choisissons un cardinal ˺′ r´egulier et strictement sup´erieur `a 2˺. Notons J un ensemble de repr´esentants de classe d’isomorphismes de mor-phismes `a la fois cofibrations niveau par niveau et ´equivalences faibles dont les sources et buts sont e˺′-petits, au sens de la proposition 5.7.7. Alors J permet l’argument du petit objet.
Preuve : application directe du lemme 2.3.8.
A part pour la partie concernant l’engendrement des cofibrations triviales par J , il n’est pas necessaire de savoir quel cardinal limite les cofibrations triviales de J mais il suffit de savoir que les cofibrations triviales de J sont limitees, c’est-`a-dire que leurs sources et buts sont ˻-petits pour un cardinal ˻ regulier et strictement superieur `a 2ℵ0, afin que de savoir que J permet l’argument du petit objet.
Dans cette partie, nous avons non seulement defini les ensembles generateurs des cofibrations et des cofibrations triviales mais aussi montrer qu’ils perme-ttent l’argument du petit objet sous des hypoth`eses plus contraignante que celles de donnee de Segal facile car il est ici demande `a la categorie C d’ɏetre une categorie de mod`eles fermee engendree de mani`ere cofibrante. Neanmoins nous avons regle le cas de l’hypoth`ese 2) du lemme de reconnaissance 5.0.4. Il ne reste donc plus que les hypoth`eses 3), 4) et 5). Or l’hypoth`ese 3) est assez difficile `a demontrer et l’hypoth`ese 5) decoule en partie de la 3). C’est pourquoi nous allons demontrer d’abord l’hypoth`ese 4), ce qui sera l’objet de la prochaine section.