Construction Bigcat

Grɏace aux sections pr”ec”edentes, nous avons pu exhiber un plan d’addi-tion de fl`eches g”en”eratrices Cat(1, m) qui pr”eserve le type d’homotopie des C-cat”egories. Toutefois ce plan n’ajoute que certaines fl`eches g”en”eratrices de C-cat”egories faciles et pas toutes. En revanche, si l’on consid`ere l’ensemble des Cat(1, m) avec m d”ecrivant les entiers strictement sup”erieurs `a un, on ob-tient une famille de plans d’addition qui ensembles prennent toutes les fl`eches g”en”eratrices. Nous allons donc d”efinir la cat”egorisation Bigcat comme un plan d’addition de cellules suivant un ordre et construit `a partir des Cat(1, m), c’est-`a-dire comme un plan d’addition de cellules de la forme BCat(t), o`u t va parcourir tous les entiers strictement sup”erieurs `a un et ce un nombre suffisamment grand de fois pour assurer que le plan Bigcat cat”egorise.

D´efinition 4.5.1 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal pr´e-facile. Soit ˺ un cardinal r´egulier strictement sup´erieur au cardinal r´egulier pour lequel les sources et buts des fl`eches des familles F1 et F2 sont petites.

Notons ˯ la famille FG1 des fl`eches g´en´eratrices de C-cat´egories faciles. No-tons ˯1 la famille constitu´ee des fl`eches g´en´eratrices de la forme ˝[1]ˡf avec f ∈ F1 et, pour tout entier m ≥ 2, notons ˯m la famille constitu´ee des fl`eches g´en´eratrices de la forme ˝[m]ˡf et Boitm(g) avec f ∈ F1 et g ∈ F2. On a bien une partition de ˯ en ˯m pour m ≥ 1.

Posons T l’ordinal transfini ˺ · ℵ0 et t la fonction qui `a tout ordinal (˻, n) < ˺ · ℵ0 associe le couple d’entier (1, n + 2).

On d´efinit alors le plan d’addition de cellules Bigcat comme le plan d’addition de cellules suivant l’ordre t qui, `a chaque ´etape ̍ < T , a pour plan d’addition Cat(t(̍ )).

Apr`es avoir d”efini Bigcat, nous allons montrer qu’il s’agit bien d’une cat”egorisation.

Proposition 4.5.2 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal pr´e-facile.

Bigcat est un foncteur de la cat´egorie des C-pr´ecat´egories vers la cat´egories des C-cat´egories faciles v´erifiant la propri´et´e suivante :

pour tout morphisme f d’une C-pr´ecat´egorie quelconque A vers une C-cat´e-gorie facile C, il existe un morphisme de C-pr´ecat´eC-cat´e-gories non n´ecessairement unique de Bigcat(A) vers C dont la pr´ecompos´ee avec le morphisme naturel de A vers Bigcat(A) est le morphisme f .

Preuve :

Tout d’abord, il est facile de voir que Bigcat est un foncteur car c’est une ap-plication directe du lemme 4.4.7. Pour avoir le reste de la proposition, il suffit

de montrer que les hypoth`eses du lemme 2.10.3 sont v”erifi”ees : celles sur ˯ et celle sur t. Avant tout, on remarque que les plans du type Cat(1, m) sont des plans d’addition de cellules compos”es de plans simples de type Raj(1, m) qui sont des sous-plans de eΦ1∪Φm,1. Or comme `a la premi`ere ”etape de Cat(1, m) on prend pour parties peintes la totalit”e des niveaux 1 et m, le sous-plan Raj(1, m) `a cette ”etape n’est autre que eΦ1∪Φm,1 tout entier. Ainsi les plans Cat(1, m) sont bien du type CatΨ,̄ et donc Bigcat est bien du type BCat(t), ce qui justifie le fait d’utiliser le lemme 2.10.3.

Premi`erement, par hypoth`ese (C, F1, F2) est une donn”ee de Segal pr”e-facile. Donc les sources et buts des fl`eches des familles F1 et F2 sont petites pour un certain cardinal r”egulier strictement inf”erieur `a ˺. Par le lemme 3.4.5, ceci entraɏđne que les sources des fl`eches de la famille FG1 = ˯ sont petites par rapport `a ce mɏeme cardinal. Comme en outre ˯ admet une partition, on a bien v”erifi”e les hypoth`eses sur ˯.

Comme T est le produit ˺ · ℵ0 dont le cardinal est ˺, on a bien que le car-dinal de T est un carcar-dinal r”egulier strictement sup”erieur au carcar-dinal r”egulier pour lequel les sources des fl`eches de la famille ˯ sont petites. Par la suite, on mettra sur T l’ordre lexicographique.

Soit m ≥ 1 un entier. Montrons que pour tout ordinal (˻, n) < T , il existe un ordinal ̍ < T plus grand pour lequel t(̍ ) contient m. Deux cas se pr”esentent. Si m ≥ n+2, alors l’ordinal (˻, m−2) v”erifie d’une part (˻, n) ≤ (˻, m−2) < T et d’autre part t(˻, m − 2) = (1, m). Sinon m < n + 2. Comme ˺ est un car-dinal transfini et que ˻ est strictement inf”erieur `a ˺ alors ˻ + 1 est encore strictement inf”erieur `a ˺. Ainsi ̍ = (˻ + 1, m − 2) est plus petit strictement que T mais aussi plus grand que (˻, n), car l’ordre est lexicographique. De plus ce ̍ v”erifie bien que t(̍ ) = (1, m). Ceci montre donc la premi`ere condition sur t.

Il est facile de voir avec notre t que, pour m ≥ 2, t−1(m) n’est autre que l’ensemble des couples (˻, m − 2), avec ˻ < ˺, dont le cardinal est ˺ = Card(T ). Pour m = 1, t⁻¹(1) est en fait T tout entier, donc son cardinal est bien celui de T . Ceci montre la seconde condition sur t.

On peut donc appliquer le lemme 2.10.3 qui nous assure que le r”esultat de Bigcat est ˯-injectif, c’est-`a-dire est une C-cat”egorie facile, et que Bigcat a bien la propri”et”e de factorisation de la proposition.

CQFD.

Corollaire 4.5.3 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal pr´e-facile. Soit A une pr´ecat´egorie. Comme, par la proposition pr´ec´edente, Bigcat(A) est une C-cat´egorie facile, on peut choisir de la marquer en prenant pour rel`evements marqu´es les premiers qui apparaissent dans l’ordre de la construction. On obtient alors le r´esultat suivant :

tout morphisme de A vers une C-cat´egorie marqu´ee C se factorise `a travers un morphisme pr´eservant le marquage de Bigcat(A) vers C, cette factorisation n’´etant pas n´ecessairement unique.

Preuve : cela d”ecoule de la d”emonstration de la proposition. CQFD.

Notre nouvelle construction Bigcat est une cat”egorisation compos”ee de plans Cat(1, m) dont on a vu qu’ils pr”eservaient l’homotopie des C-cat”egories. Il serait donc normal que Bigcat pr”eserve cette propri”et”e.

Proposition 4.5.4 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal pr´e-facile v´erifiant les propri´et´es suivantes :

1) la cat´egorie sous-jacente C est une cat´egorie de mod`eles ferm´ee,

2) les alliances d’objets r´egaux sont exactement les ´equivalences faibles de la cat´egorie de mod`eles ferm´ee C entre objets r´egaux,

3) la famille F1 est incluse dans la classe des cofibrations triviales de la cat´egorie de mod`eles ferm´ee C et la famille F2 dans celle des cofibrations, 4) les ´equivalences faibles sont stables par produit fibr´e au-dessus d’un objet discret.

Alors pour toute C-cat´egorie A, le morphisme canonique A ջ Bigcat(A) est une ´equivalence de C-cat´egories niveau par niveau et une cofibration niveau par niveau. En particulier A ջ Bigcat(A) est une ´equivalence de C-cat´egories. Preuve :

Tout d’abord on observe que toutes les constructions apparaissant dans la con-struction Bigcat laissent invariant l’ensemble des objets. Ainsi le morphisme canonique induit l’identit”e sur l’ensemble des objets. Montrons par r”ecurrence transfinie que pour tout ordinal ̍ ≤ T , C ջ Bigcat̍(C) est niveau par niveau une cofibration triviale et que les morphismes de Segal de Bigcat̍(C) sont des ”equivalences faibles dans C. Pour ̍ = 0, c’est vrai car Bigcat0(C) n’est autre

que C qui est une C-cat”egorie, donc ses morphismes de Segal sont des al-liances d’objets r”egaux, ce qui par l’hypoth`ese 2) montre que ses morphismes de Segal sont des ”equivalences faibles dans C.

Supposons la propri”et”e vraie pour ̍ < T , alors les morphismes de Segal de Bigcat̍(C) sont des ”equivalences faibles dans C. Donc Bigcat̍(C) v”erifie les hypoth`eses du lemme 4.4.6 et donc Bigcat̍(C) ջ Cat(t(̍ ))(Bigcat̍(C)) = Bigcat̍ +1(C) est niveau par niveau une cofibration triviale et les morphismes de Segal de Cat(t(̍ ))(Bigcat̍(C)) = Bigcat̍ +1(C) sont des ”equivalences fai-bles. Comme par hypoth`ese de r”ecurrence sur ̍ < T le morphisme naturel C ջ Bigcat̍(C) est niveau par niveau une cofibration triviale et que dans la cat”egorie de mod`eles ferm”ee C les cofibrations triviales sont stables par com-position, il vient que le morphisme C ջ Bigcat̍ +1(C) est niveau par niveau une cofibration triviale. On a donc montr”e l’hypoth`ese de r”ecurrence pour ̍ +1. Soit ̍ ≤ T un ordinal limite et supposons l’hypoth`ese de r”ecurrence vraie pour tout ̍′ < ̍ . Comme C ջ Bigcat̍(C) est niveau par niveau une colimite s”equentielle transfinie de cofibrations triviales C ջ Bigcat̍′(C) et que les cofibrations triviales de la cat”egorie de mod`eles ferm”ee C sont stables par col-imite s”equentielle transfinie, il vient que niveau par niveau C ջ Bigcat̍(C) est une cofibration triviale. Et par un raisonnement identique `a celui de la d”emonstration du lemme 4.4.6, on en d”eduit que les morphismes de Segal de Bigcat̍(C) sont des ”equivalences faibles, ce qui montre l’hypoth`ese de r”ecurrence pour l’ordinal limite ̍ .

Par r”ecurrence transfinie, on a donc montr”e que pour tout ordinal ̍ ≤ T le morphisme naturel C ջ Bigcat̍(C) est une cofibration triviale niveau par niveau et que les morphismes de Segal de Bigcat̍(C) sont des ”equi-valences faibles de C. C’est en particulier le cas pour ̍ = T , et comme C et Bigcat(C) sont des C-cat”egories, C ջ Bigcat(C) est niveau par niveau une alliance d’objets r”egaux par l’hypoth`ese 2), donc c’est bien une ”equi-valence de C-cat”egories niveau par niveau, et par le lemme 4.1.2, c’est aussi une ”equivalence de C-cat”egories, ce qui montre la proposition.

CQFD.

La construction Bigcat est donc non seulement un proc”ed”e de cat”egorisation mais aussi une op”eration qui pr”eserve le type d’homotopie des C-cat”egories. Comme nous avons d”ej`a vu que les ”equivalences de C-cat”egories v”erifient la propri”et”e de ”trois pour deux”, nous sommes maintenant en mesure

4.6 Pr´eservation du type d’homotopie par la