Probl` eme de la cat´ egorisation

Les cat”egories enrichies faibles ainsi d”efinies ne sont pas stables par colim-ite. Pour s’en convaincre, consid”erons deux exemplaires de la cat”egorie ayant un seul morphisme et recollons les de telle sorte que les deux morphismes soient composables. Ce recollement correspond bien `a la somme amalgam”ee dans les ensembles simpliciaux mais pas `a celle des cat”egories car le r”esultat obtenu est une pr”ecat”egorie avec deux morphismes composables sans composi-tion correspondante. L’une des id”ees permettant de rem”edier `a ce probl`eme est de cat”egoriser le r”esultat obtenu. Ainsi on d”efinirait les colimites de cat”egories comme les cat”egoris”ees des colimites des pr”ecat”egories sous-jacentes.

On s’est donc ramener `a un probl`eme de cat”egorisation. On cherche donc un foncteur, notons-le Cat, muni d’une transformation naturelle not”ee can de l’identit”e vers Cat, qui `a toute C-pr”ecat”egorie associe une C-cat”egorie. Bien ”evidemment on voudrait que la C-cat”egorie associ”ee par ce foncteur soit la minimale, c’est `a dire que tout morphisme d’une pr”ecat”egorie dans une C-cat”egorie se factorise par la cat”egorisation de la C-pr”eC-cat”egorie.

A ^-B cat”egorie @ @ @ @ @ canA R ..^.. ..^.. ..^.. .. ∃ µ Cat(A)

En outre on aimerait aussi que la cat”egorisation donne une C-cat”egorie as-soci”ee ”equivalente `a la C-pr”ecat”egorie de d”epart au sens suivant : soit A une C-pr”ecat”egorie, le morphisme Cat(can_A) : Cat(A) ջ Cat(Cat(A)) est une ”equivalence de C-cat”egories. Ceci nous donnerait d’ailleurs une notion d’”equi-valence de C-pr”ecat”egories. On pourra en effet poser qu’un morphisme de C-pr”ecat”egories est une ”equivalence si sa cat”egorisation l’est.

Comme il est assez difficile de trouver une telle cat”egorisation, en suivant l’id”ee de [5], nous allons ramener ce probl`eme `a un probl`eme de rel`evement de diagramme. S’il existe en effet une famille I de fl`eches telle que les objets ayant la propri”et”e de rel`evement `a droite par rapport `a I sont des C-cat”e-gories, une bonne fa˜con d’avoir ces propri”et”es de rel`evement est de construire la cat”egorisation comme une colimite s”equentielle transfinie de sommes amal-gam”ees des fl`eches de I, ce que nous appellerons un plan infini d’addition de cellules de I.

Dans cette optique nous allons tout d’abord traiter de ces probl`emes de rel`evement et de ceux d’engendrement qui leur sont li”es avant de chercher par rapport `a quelles fl`eches nos C-cat”egories pourraient se relever.

Chapitre 2

Dans ce chapitre nous allons tout d’abord rappeler certaines d”efinitions et certains r”esultats classiques sur les rel`evements de diagrammes. Une des d”efinitions principales est celle d’objet I-injectif qui est un objet ayant la pro-pri”et”e de rel`evement `a droite par rapport `a l’ensemble de fl`eches I. En effet le but de ce chapitre est de donner des constructions rendant I-injectifs les objets qui ne le sont pas. Pour ce faire, nous allons utiliser certaines techniques ap-paraissant dans l’argument du petit objet de Quillen qui permet de r”epondre en partie `a notre probl`eme de rendre I-injectif. L’un des points clefs de cet argument, outre la notion de petitesse, est le proc”ed”e de colimite s”equentielle transfinie de sommes amalgam”ees de fl`eches de I, ce que nous appellerons plan d’addition de cellules.

Nous donnerons alors une formalisation de plan d’addition de cellules et nous donnerons des conditions pour lesquelles ces plans d’addition de cellules P I-injectivisent, c’est-`a-dire r”epondent aux trois crit`eres suivants :

- pour tout objet A, P (A) est I-injectif,

- tout morphisme A ջ B vers un objet I-injectif se factorise `a travers le mor-phisme naturel A ջ P (A),

- pour tout objet A, l’image par P du morphisme naturel A ջ P (A) est une ”equivalence d’objets I-injectifs, si l’on poss`ede une notion naturelle d’”equi-valence entre objets I-injectifs.

Si les deux premiers crit`eres sont simples `a traiter, ce n’est pas le cas du troisi`eme qui nous obligera d’une part `a trouver un proc”ed”e rendant I-injectif avec la propri”et”e d’avoir unicit”e des factorisations des morphismes `a but I-injectifs. Pour cela, nous ferons intervenir la notion de marquage d’un rel`evement. D’autre part, nous allons montrer que, muni d’un tel proc”ed”e et en supposant l’existence d’un autre proc”ed”e d’I-injectivisation qui ne v”erifie la propri”et”e de stabilit”e homotopique que pour les objets I-injectifs, le proc”ed”e I-injectivant `a factorisation unique v”erifie bien les trois crit`eres.

Comme l’une des utilit”es de l’I-injectivisation est aussi de pourvoir les ob-jets I-injectifs de colimites, nous allons terminer ce chapitre en comparant les plans d’addition de cellules via un proc”ed”e de rationalisation des plans et ap-pliquer cette comparaison `a certains types de plans qui sont stables lorsqu’on les compose avec l’un de leurs sous-plans. Avec ces plans, on pourra comparer

la colimite des I-injectiv”es avec l’I-injectivisation de la colimite, ce qui nous permettra d’obtenir une bonne caract”erisation d’”equivalence pour les colimites d’objets quelconques en termes de colimites de leurs I-injectiv”es.