Rappels sur les rel` evements de diagrammes

Comme l’une des propri”et”es que l’on demande `a la cat”egorisation est une propri”et”es de rel`evement, nous allons pr”eciser cette notion dans la d”efinition suivante prise dans [1] :

D´efinition 2.1.1 Soient i : A ջ B et p : C ջ D deux morphismes tels que pour tous les carr´es commutatifs du type suivant :

A ^- C ..^.. ..^.. ..^.. .. ∃ µ B i ? - D p ?

la fl`eche en pointill´e existe et fait commuter les deux parties du diagramme. On dira alors que :

-cette fl`eche est un rel`evement de ce diagramme,

-i a la propri´et´e de rel`evement `a gauche par rapport `a p, -p a la propri´et´e de rel`evement `a droite par rapport `a i,

-C a la propri´et´e de rel`evement `a droite par rapport `a i, si D est un objet final.

Pour la suite, nous aurons souvent besoin de certaines sommes amalgam”ees ou de certains produits fibr”es. Pour simplifier les appellations, nous prendrons toujours en suivant [1] la convention suivante.

D´efinition 2.1.2 Soit un carr´e commutatif : A ^{a -} C B f ? b - D g ?

- Si ce carr´e est cocart´esien, on dit que g est la somme amalgam´ee de f le long de a.

- Si ce carr´e est cart´esien, on dit que f est le produit fibr´e de g le long de b. Les fl`eches ayant des propri”et”es de rel`evement sont stables par certaines limites et colimites, ce que nous rappelons ci-dessous.

Lemme 2.1.3

- Les classes de fl`eches ayant une propri´et´e de rel`evement `a gauche contiennent les isomorphismes et sont stables par composition, par r´etract, par somme amalgam´ee le long d’un morphisme, par colimite s´equentielle transfinie et par coproduit dans la cat´egorie des morphismes.

- Les classes de fl`eches ayant une propri´et´e de rel`evement `a droite contiennent les isomorphismes et sont stables par composition, par r´etract, par produit fibr´e le long d’un morphisme et par produit dans la cat´egorie des morphismes. Preuve :

Nous devons juste montrer la stabilit”e par coproduit (resp. produit) dans la cat”egorie des morphismes car le reste de la preuve se trouve dans l’ouvrage d’Hirschhorn [1]. Soient J un ensemble et (fj : Aj ջ Bj)j∈J une famille de morphismes ayant la propri”et”e de rel`evement `a gauche par rapport `a un morphisme p fix”e. Consid”erons le diagramme suivant :

a j∈J Aj a -C a j∈J Bj ` j∈Jfj ? b - D p ?

Notons ij le morphisme canonique de Aj dans `

j∈JAj et i′

j le morphisme canonique de Bj dans `

j∈JBj. Comme chaque fj se rel`eve par rapport `a p, il vient que pour tout j, il existe un morphisme ̏_j : B_j ջ C tel que p ◦ ̏j = b ◦ i′

j et ̏j ◦ fj = a ◦ ij. Par propri”et”e universelle du coproduit `

j∈JBj, il existe un unique morphisme ̏ :`

j∈JBj ջ C tel que pour tout j, on ait ̏◦i′

j = ̏_j. On obtient donc les ”egalit”es suivantes : p◦̏◦i′

j = p◦̏_j = b◦i′ j

et ̏ ◦`

j∈Jfj ◦ ij = ̏ ◦ i′

j ◦ fj = ̏j ◦ fj = a ◦ ij. Et par propri”et”e universelle des coproduits `

j∈JBj et`

j∈JAj, il vient que p ◦ ̏ = b et ̏ ◦`

j∈Jfj = a et donc que ̏ est un rel`evement pour le diagramme (`

j∈Jf_j, a, b, p). On a donc montr”e que les morphismes ayant une propri”et”e de rel`evement `a gauche sont stables par coproduit dans la cat”egorie des morphismes. Dualement on aura

que ceux ayant une propri”et”e de rel`evement `a droite sont stables par produit dans la cat”egorie des morphismes.

CQFD.

On remarquera au passage que pour la somme amalgam”ee (resp. le produit fibr”e) dans la cat”egorie des morphismes, on n’a g”en”eralement pas de morphisme induit par les rel`evements de chaque membre de la somme amalgam”ee (resp. du produit fibr”e) car la non-unicit”e des rel`evements est une obstruction `a leur compatibilit”e avec la somme amalgam”ee (resp. le produit fibr”e). D’o`u la d”efinition et le lemme suivants.

D´efinition 2.1.4 Soient i : A ջ B et p : C ջ D deux morphismes tels que pour tous les carr´es commutatifs du type suivant :

A ^- C ..^.. ..^.. ..^.. .. ∃ µ B i ? - D p ?

la fl`eche en pointill´e existe et fait commuter les deux parties du diagramme. On dira alors :

- si i est muni d’un choix de rel`evements pour chaque diagramme du type ci-dessus avec p fix´e, que i est marqu´e `a gauche par rapport `a p.

- si p est muni d’un choix de rel`evements pour chaque diagramme du type ci-dessus avec i fix´e, que p est marqu´e `a droite par rapport `a i.

On obtient alors une cat´egorie dont les objets sont les morphismes marqu´es et les morphismes les carr´es commutatifs compatibles avec le marquage.

Lemme 2.1.5

- La cat´egorie des morphismes marqu´es `a gauche par rapport `a un ensemble de fl`eches est stables par colimites.

- La cat´egorie des morphismes marqu´es `a droite par rapport `a un ensemble de fl`eches est stables par limites.

Preuve :

Comme cons”equence du lemme pr”ec”edent, ces cat”egories sont stables respec-tivement par coproduit et produit. Il suffit donc de montrer qu’elles sont sta-bles respectivement par co-”egalisateur et par ”egalisateur pour avoir le r”esultat.

Soit le diagramme commutatif suivant : A₀ ^f0 -f′ 0 - B₀ ^{fɥ0 -} C₀ ^{x -} X A1 a ? f1 -f′ 1 - B1 b ? _fɥ₁ - C1 c ? y -Y p ?

o`u c est le morphisme universel du co-”egalisateur C₀ de f₀, f′

0 vers le co-”egalisateur C1 de f1, f′

1. Comme a est marqu”e par rapport `a p, il vient avec un morphisme ̏ : A1 ջ X tel que p ◦ ̏ = y ◦ ɥf1 ◦ f₁ = y ◦ ɥf1 ◦ f′

1 et ̏ ◦ a = x ◦ ɥf₀◦ f₀ = x ◦ ɥf₀◦ f′

0. De mɏeme comme b est marqu”e par rapport `a p, il vient avec un morphisme ̑ : B1 ջ X tel que p ◦ ̑ = y ◦ ɥf1 et ̑ ◦ b = x ◦ ɥf0. Or les morphismes f et f^′ sont compatibles avec les marquages et donc il vient ̑ ◦ f₁ = ̏ = ̑ ◦ f′

1. Par la propri”et”e universelle du co-”egalisateur C₁, il existe un morphisme ̐ : C1 ջ X tel que ̐ ◦ ɥf1 = ̑. On obtient donc les ”egalit”es suivantes : p ◦ ̐ ◦ ɥf1 = p ◦ ̑ = y ◦ ɥf1 et ̐ ◦ c ◦ ɥf0 = ̐ ◦ ɥf1◦ b = ̑ ◦ b = x ◦ ɥf0. Par la propri”et”e universelle des co-”egalisateurs C₁ et C₀, il vient que p ◦ ̐ = y et ̐ ◦ c = x. Donc ̐ est un rel`evement pour le diagramme (c, x, y, p) et c’est celui qui marquera c par rapport `a p. On a donc montr”e que la cat”egorie des morphismes marqu”es `a gauche par rapport `a un morphisme fix”e est stable par co-”egalisateur. Et on aura dualement la stabilit”e des morphismes marqu”es `a droite par ”egalisateur.