Pr´ eservation du type d’homotopie par la construction Cat

Afin de r”esoudre la probl`eme de la cat”egorisation, nous cherchons `a mon-trer que la construction Cat adjointe du foncteur oubli des C-cat”egories faciles marqu”ees vers les C-pr”ecat”egories pr”eserve le type d’homotopie des C-pr”ecat”e-gories. Or la proposition 2.7.1 nous certifie que Cat a bien cette propri”et”e si les ”equivalences de C-cat”egories v”erifient certaines propri”et”es et s’il existe une cat”egorisation pr”eservant le type d’homotopie des C-cat”egories. Dans les sections pr”ec”edentes, nous avons justement montr”e que, sous certaines hy-poth`eses sur la donn”ee de Segal pr”e-facile, les propri”et”es voulues pour les ”equi-valences de C-cat”egories sont v”erifi”ees et que la construction Bigcat cat”egorise en pr”eservant le type d’homotopie des C-cat”egories. Rassemblons donc ces hy-poth`eses qui permettent d’appliquer la proposition 2.7.1, ce qui donnera la d”efinition de donn”ee de Segal facile.

D´efinition 4.6.1 Une donn´ee de Segal pr´e-facile (C, F1, F2) est dite facile si elle v´erifie les hypoth`eses suivantes :

1) La cat´egorie sous-jacente C est une cat´egorie de mod`eles ferm´ee dont tous les objets sont cofibrants.

2) Les alliances d’objets r´egaux sont exactement les ´equivalences faibles de la cat´egorie de mod`eles ferm´ee C entre objets r´egaux.

3) Le foncteur ̍0 est tel que, pour tout objet C de C, ̍0(C) est un quotient de l’ensemble des morphismes dans C de l’objet final vers C.

4) Il existe un objet r´egal contractile K muni de deux morphismes de l’objet final vers K not´es 0 et 1, et ayant la propri´et´e suivante : pour tout couple (f, g) de morphismes de l’objet final vers un objet r´egal C tel que leurs images par ̍0 soient ´egales, il existe un morphisme de K vers C envoyant 0 sur f et 1 sur g.

5) Les ´equivalences faibles sont stables par produit fibr´e au-dessus d’un objet discret.

6) Le produit fibr´e d’une ´equivalence faible entre objets r´egaux le long d’une fibration est une ´equivalence faible.

7) La famille F1 est incluse dans la classe des cofibrations triviales de la cat´egorie de mod`eles ferm´ee C et la famille F₂ dans celle des cofibrations.

Appliquons maintenant la proposition 2.7.1 au triplet Cat, Bigcat et ”equi-valence de C-cat”egories lorsque la donn”ee de Segal est facile.

Th´eor`eme 4.6.2 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal facile. Alors il existe un foncteur Cat de la cat´egorie des pr´ecat´egories vers la cat´egorie des cat´egories faciles marqu´ees qui est adjoint `a gauche du foncteur Oubli des C-cat´egories faciles marqu´ees vers les C-pr´eC-cat´egories et v´erifiant que pour toute C-pr´ecat´egorie A l’image par Cat du morphisme naturel canA: A ջ Cat(A) est une ´equivalence de C-cat´egories.

Preuve :

Les hypoth`eses de la donn”ee de Segal assurent, par le lemme 4.1.3 et le corol-laire 4.1.4, que les ”equivalences de C-cat”egories v”erifient les deux premi`eres hypoth`eses de la proposition 2.7.1. En outre le fait que les isomorphismes de C-cat”egories sont des ”equivalences de C-cat”egories est une cons”equence directe du lemme 4.1.2. Ainsi toutes les hypoth`eses sur les ”equivalences de C-cat”e-gories sont v”erifi”ees.

La proposition 3.3.4 a montr”e que les C-cat”egories faciles sont exactement les objets FG1-injectifs et la construction Cat d”efinie comme le plan EFG1 est bien un adjoint `a gauche du foncteur Oubli, car la donn”ee de Segal est facile, donc pr”e-facile, ce qui permet d’utiliser la proposition 3.4.11.

Enfin la proposition 4.5.4, dont les hypoth`eses sont v”erifi”ees par la donn”ee de Segal facile, montre que le plan fonctoriel d’addition de fl`eches de FG₁ nomm”e Bigcat v”erifie les deux premi`eres propri”et”es de la FG1-injectivisation mais aussi la troisi`eme pour les objets FG1-injectifs, c’est-`a-dire pour les C-cat”egories faciles. Ceci termine de montrer que les hypoth`eses de la proposi-tion 2.7.1 sont v”erifi”ees.

On peut alors appliquer cette proposition qui assure que Cat est une FG₁ -injectivisation, en particulier v”erifie la stabilit”e homotopique des C-pr”ecat”e-gories.

CQFD.

En fait l’application de la proposition 2.7.1 nous donne plus car elle nous dit que les morphismes de cat”egories faciles sont des ”equivalences de C-cat”egories si et seulement si leurs images par Cat sont des ”equivalences de C-cat”egories. Cette remarque va nous permettre d’”etendre la notion d’”equi-valence de cat”egories aux pr”ecat”egories en disant qu’un morphisme de C-pr”ecat”egorie est une ”equivalence si son image par Cat est une ”equivalence de C-cat”egories.

D´efinition 4.6.3 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal facile. On dit d’un morphisme de C-pr´ecat´egories que c’est une ´equivalence faible si son image par Cat est une ´equivalence de C-cat´egories.

Par cette d”efinition, nous allons pouvoir rapatrier sur les ”equivalences faibles les propri”et”es des ”equivalences de C-cat”egories, comme le ”trois pour deux” par exemple.

Lemme 4.6.4 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal facile.

Les ´equivalences faibles de C-pr´ecat´egories v´erifient les propri´et´es suivantes : - les isomorphismes de C-pr´ecat´egories sont des ´equivalences faibles,

- les morphismes de C-cat´egories faciles sont des ´equivalences faibles si et seulement si ce sont des ´equivalences de C-cat´egories,

- soient f et g deux morphismes de C-pr´ecat´egories composables, si parmi f, g, g ◦ f deux morphismes sont des ´equivalences faibles alors le troisi`eme aussi,

- soient f et g deux morphismes de C-pr´ecat´egories composables, si f ◦ g est l’identit´e et que g ◦ f est une ´equivalence faible, alors f et g sont des ´equi-valences faibles.

Preuve :

Comme pour la proposition 4.6.2, on d”emontre que les hypoth`eses du corol-laire 2.7.2, qui sont les mɏemes que celles de la proposition 2.7.1, sont v”erifi”ees, ce lemme ”etant une cons”equence directe du corollaire 2.7.2 car ici les ˯-”equi-valences ne sont autres que les ”equi˯-”equi-valences faibles.

CQFD.

En fait, si l’on regarde de plus pr`es, Bigcat v”erifie un r”esultat plus fort que celui demand”e par la proposition 2.7.1. En effet, la proposition demande seulement la pr”eservation de l’homotopie pour les C-cat”egories faciles alors que Bigcat pr”eserve l’homotopie pour toutes les C-cat”egories. Aussi si l’on refait la d”emonstration de la proposition 2.7.1 pour les C-cat”egories quelconques, on obtient les r”esultats suivants.

Lemme 4.6.5 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal facile.

- Pour toute C-cat´egorie quelconque A, le morphisme naturel A ջ Cat(A) est une ´equivalence de C-cat´egories.

- Pour tout morphisme de C-cat´egories quelconque f : A ջ B, on a :

Preuve : c’est la mɏeme d”emonstration que la proposition 2.7.1 en utilisant le fait que Bigcat pr”eserve l’homotopie de toutes les C-cat”egories et pas seule-ment des C-cat”egories faciles.

Il serait ”egalement int”eressant de comparer la notion d’”equivalence faible d”efinie par Cat avec la notion d’”equivalence faible qu’on aurait pu d”efinir avec Bigcat.

Lemme 4.6.6 Soit (C, F1, F2) une donn´ee de Segal facile.

- Pour toute C-pr´ecat´egorie A, le morphisme naturel A ջ Bigcat(A) est une ´equivalence faible de C-pr´ecat´egories, c’est-`a-dire son image par Cat est une ´equivalence de C-cat´egories.

- Pour tout morphisme de C-pr´ecat´egories f : A ջ B, on a :

f est une ´equivalence faible de C-pr´ecat´egories si et seulement si Bigcat(f ) est une ´equivalence de C-cat´egories. Ce qui signifie :

Cat(f ) est une ´equivalence de C-cat´egories si et seulement si Bigcat(f ) est une ´equivalence de C-cat´egories.

Preuve :

La premi`ere partie du lemme est l’application directe du lemme 2.11.2 dont les hypoth`eses nomm”ees hypoth`eses 2.11.1 ne sont autres que celles de la proposi-tion 2.7.1 dont on a montr”e qu’elles sont v”erifi”ees par la donn”ee de Segal facile. Pour la seconde partie, consid”erons le diagramme commutatif suivant :

A ^{f -} B Bigcat(A) ? Bigcat(f ) - Bigcat(B) ?

Par la premi`ere partie du lemme, les fl`eches verticales sont des ”equivalences fai-bles de C-pr”ecat”egories. En appliquant le lemme 4.6.4, il vient que f est une ”equivalence faible de C-pr”ecat”egories si et seulement si Bigcat(f ) est une ”equivalence faible de pr”ecat”egories. Or Bigcat(f ) est un morphisme de C-cat”egories faciles, donc toujours par le lemme 4.6.4, Bigcat(f ) est une ”equi-valence faible de C-pr”ecat”egories si et seulement si c’est une ”equi”equi-valence de C-cat”egories, ce qui montre la seconde partie du lemme.

CQFD.

Nous avons finalement r”esolu notre probl`eme de la cat”egorisation, `a savoir trouver une proc”ed”e qui `a une C-pr”ecat”egorie associe une C-cat”egorie qui soit de mɏeme type homotopique qu’elle. Pour cela, on a facilit”e la donn”ee de Segal en lui adjoignant deux familles engendrant certains objets r”egaux et certaines alliances d’objets r”egaux. Bien sɏur, comme on l’a fait remarquer `a l’”epoque ce choix est arbitraire et rien ne nous dit que la notion de C-cat”egorie facile n’est pas trop forte. C’est pourquoi pour ”eviter ce ph”enom`ene on a requis pour les cat”egorisations de pr”eserver le type d’homotopie.

On a par la suite trouv”e sous quelles hypoth`eses on a une telle cat”egorisation, c’est ce que l’on a appel”e donn”ee de Segal facile, car elle facilite l’obtention d’une bonne cat”egorisation. Les hypoth`eses de cette donn”ee de Segal facile montre la marge que l’on a dans le choix des familles g”en”eratrices d’objets r”egaux faciles et d’alliances faciles d’objets r”egaux faciles qui permettront une bonne cat”egorisation.

On remarque aussi que les hypoth`eses des donn”ees de Segal faciles sont as-sez contraignantes car elles demandent `a la cat”egorie C de poss”eder une struc-ture de cat”egorie de mod`eles ferm”ee, ce qui est tout `a fait normal puisque nous voulons manipuler des sortes d’”equivalences faibles que sont les alliances d’ob-jets r”egaux et nous assurer de leur stabilit”e par colimites. Par ailleurs, toutes les constructions cat”egorisantes sont en fait des I-injectivisations qui sont des processus caract”eristiques de la structure de cat”egorie de mod`eles ferm”ee.

Aussi allons nous dans le prochain chapitre nous int”eresser `a montrer que la cat”egorie C − PC avec les monomorphismes et les ”equivalences faibles de C-pr”ecat”egories forme une cat”egorie de mod`eles ferm”ee. Ceci nous donnera un bon cadre th”eorique aux manipulations homotopiques sur les C-pr”ecat”egories.

Chapitre 5