I-injectivisation et ´ equivalence d’objets I- I-injectifs

Maintenant que l’on a un plan d’addition de cellules EI fonctoriel, v”erifiant les propri”et”es i) et ii) de l’I-injectivisation et qui assure l’unicit”e de la factori-sation du i) pour les objets I-injectifs marqu”es, il ne nous reste plus qu’`a montrer que EI v”erifie la propri”et”e iii), `a savoir que pour tout objet A, l’im-age par EI du morphisme naturel A ջ EI(A) est une ”equivalence d’objets I-injectifs, lorsqu’on s’est donn”e une telle notion. Pour cela on va supposer que l’on connaɏđt un plan d’addition de cellules fonctoriel P v”erifiant i) et ii) tel que, pour tout objet A I-injectif, le morphisme naturel A ջ P (A) est une ”equivalence d’objets I-injectifs.

Proposition 2.7.1 Soient C une cat´egorie cocompl`ete et ˯ un ensemble de morphismes de C dont les sources sont ˺-petites pour un certain cardinal r´egulier ˺ et tel que les ˯-cofibrations soient des monomorphismes. Soit ˺′

le plus petit cardinal r´egulier sup´erieur `a ˺. Consid´erons sur C une notion d’´equivalence d’objets ˯-injectifs v´erifiant les propri´et´es suivantes :

- pour tout couple (f, g) de morphismes composables entre objets ˯-injectifs, si parmi f, g, g ◦ f deux morphismes sont des ´equivalences d’objets ˯-injectifs, alors le troisi`eme morphisme aussi,

- pour tout couple (f, g) de morphismes composables entre objets ˯-injectifs, si la compos´ee g ◦f est l’identit´e et que la compos´ee f ◦g une ´equivalence d’objets ˯-injectifs, alors f et g sont des ´equivalences d’objets ˯-injectifs,

- les isomorphismes entre objets injectifs sont des ´equivalences d’objets ˯-injectifs.

Notons EΦ le plan d’addition de cellules fonctoriel de longueur ˺′ obtenu par des compositions rationnelles et dont tous les plans simples sont eΦ,1.

Soit P un plan d’addition de cellules de ˯ fonctoriel v´erifiant les propri´et´es suivantes :

- pour tout objet A de C, P (A) est ˯-injectif,

- tout morphisme A ջ B dont le but est ˯-injectif se factorise `a travers le morphisme naturel A ջ P (A),

- pour tout objet A ˯-injectif, le morphisme naturel A ջ P (A) est une ´equi-valence d’objets ˯-injectifs.

-i) pour tout objet A de C, EΦ(A) est ˯-injectif,

-ii) tout morphisme A ջ B dont le but est ˯-injectif se factorise `a travers le morphisme naturel A ջ EΦ(A),

-iii) pour tout objet A de C, l’image par EΦ du morphisme naturel A ջ EΦ(A) est une ´equivalence d’objets ˯-injectifs.

De plus pour tout morphisme f de C entre objets I-injectifs, on aura l’´equi-valence suivante :

f est une ´equivalence d’objets ˯-injectifs si et seulement si EΦ(f ) l’est. Preuve :

Par propri”et”e du plan P , pour tout objet A de C, P (A) est ˯-injectif. Choisis-sons-lui un marquage. Il est facile de voir alors que pour la propri”et”e de factori-sation par P (A) de tout morphisme de A vers un but ˯-injectif marqu”e, il ex-iste un morphisme marqu”e de P (A) vers B pr”eservant le marquage et r”ealisant la factorisation voulue. En effet, P (A) ”etant une colimite s”equentielle transfinie de sommes amalgam”ees de fl`eches de ˯, il suffit d’envoyer les fl`eches marqu”ees de P (A) sur celles marqu”ees de B et d’utiliser la propri”et”e de rel`evement `a droite de B pour les fl`eches de ˯ qui ne porte pas le marquage de P (A). On remarque cependant qu’une telle factorisation par un morphisme marqu”e n’est pas unique du fait de la pr”esence dans P (A) de fl`eches de ˯ ne portant pas le marquage.

La construction EΦ v”erifie les propri”et”es i) et ii) de la ˯-injectivisation par la proposition 2.6.7. De plus par cette proposition, tout morphisme `a valeur dans un objet ˯-injectif marqu”e admet une factorisation marqu”ee unique `a travers EΦ. Il ne reste dons plus qu’`a montrer iii). Pour cela on va tout d’abord comparer les plans P et E<sub>Φ</sub>, ce qui nous permettra de montrer que E<sub>Φ</sub> v”erifie lui aussi la troisi`eme propri”et”e de P . C’est de l`a que d”ecoulera la propri”et”e iii) pour EΦ.

Pour la suite, choisissons un objet A quelconque de C et notons eA le mor-phisme naturel de A vers EΦ(A) et pA le morphisme naturel de A vers P (A). Fixons un choix de marquage pour P (A). D’apr`es ce qui pr”ec`ede, il existe un morphisme peA de P (A) vers EΦ(A) pr”eservant le marquage et tel que peA◦ p_A = eA. De plus par propri”et”e de EΦ(A), il existe un unique morphisme ep_A de E_Φ(A) vers P (A) pr”eservant le marquage et tel que ep_A◦ e_A = p_A. Consid”erons l’”egalit”e suivante : peA◦ epA◦ eA = peA◦ pA = eA. Or par pro-pri”et”e d’unicit”e de factorisation marqu”ee par eA, il vient que peA◦ ep_A n’est

autre que IdEΦ(A). Consid”erons maintenant l’”egalit”e suivante : epA◦ pe_A◦ p_A= epA◦ eA = pA. Si A est ˯-injectif, alors par propri”et”e de P , on a que pA est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs. Ici on a que pA et (epA◦ pe_A) ◦ pA= pA

sont des ”equivalences d’objets ˯-injectifs. Par la premi`ere propri”et”e des ”equi-valences d’objets ˯-injectifs, il vient que epA◦ peA est une ”equivalence d’ob-jets ˯-injectifs. On a donc que peA◦ ep_A est une identit”e et que epA◦ pe_A est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs. Alors par la seconde propri”et”e des ”equi-valences d’objets ˯-injectifs, il vient que epAet peAsont des ”equivalences d’ob-jets ˯-injectifs, lorsque A est ˯-injectif.

Supposons encore que A est ˯-injectif. Consid”erons l’”egalit”e epA◦ e_A = pA. Deux des trois morphismes sont des ”equivalences d’objets ˯-injectifs : en effet pA est une ”equivalence par propri”et”e de P et epA est une ”equivalence par ce qui pr”ec`ede. Par la premi`ere propri”et”e des ”equivalences d’objets ˯-injectifs, il vient que le troisi`eme morphisme eA est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs. Ceci montre que pour tout objet A ˯-injectif, le morphisme naturel eA : A ջ EΦ(A) est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs.

Supposons maintenant A quelconque. Appliquons la propri”et”e de factori-sation par eEΦ(A) `a l’identit”e de EΦ(A). On obtient un unique morphisme r : EΦ(EΦ(A)) ջ EΦ(A) pr”eservant le marquage et tel que r◦e<sub>EΦ(A)</sub> = Id<sub>EΦ(A)</sub>. Comme EΦ(A) est ˯-injectif, par le r”esultat pr”ec”edent, il vient que eEΦ(A) est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs. Comme l’identit”e en est aussi une, par la premi`ere propri”et”e des ”equivalences d’objets ˯-injectifs, on obtient que r est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs. Consid”erons alors le diagramme commu-tatif suivant : A ^{eA -} EΦ(A) ^Id- EΦ(A) ¡^¡ ¡^¡ ¡ r µ EΦ(A) eA ? EΦ(eA) - EΦ(EΦ(A)) e_EΦ(A) ?

Par ce diagramme, on obtient l’”egalit”e suivante : r ◦ EΦ(eA) ◦ eA = r ◦ eEΦ(A)◦ e_A = Id ◦ e_A= e_A. Par unicit”e de la factorisation marqu”ee par e_A, il vient que r ◦ EΦ(eA) n’est autre que l’identit”e de EΦ(A). Or l’identit”e et r sont des valences d’objets ˯-injectifs, donc, toujours par la premi`ere propri”et”e des ”equi-valences d’objets ˯-injectifs, on a bien que E<sub>Φ</sub>(e<sub>A</sub>) est une ”equivalence d’ob-jets ˯-injectifs. Ceci montre la propri”et”e iii) de la ˯-injectivisation pour EΦ. Comme EΦ a d”ej`a les propri”et”es i) et ii), on a donc montr”e que EΦ est bien

une ˯-injectivisation.

Pour terminer, consid”erons un morphisme f : A ջ B quelconque entre objets ˯-injectifs. On a alors le diagramme commutatif suivant :

A ^{f -} B EΦ(A) eA ? EΦ(f ) - EΦ(B) eB ?

Comme A et B sont ˯-injectifs, par ce qui pr”ec`ede, on a que les morphismes eA et eB sont des ”equivalences d’objets ˯-injectifs. En appliquant `a ce dia-gramme la premi`ere propri”et”e des ”equivalences d’objets ˯-injectifs, il vient que f est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs si et seulement si EΦ(f ) l’est, ce qui montre le dernier r”esultat de la proposition.

CQFD.

Au passage, on remarque lors de cette d”emonstration l’utilit”e de l’unicit”e de la factorisation du plan EΦ. En effet, dans la d”emonstration, on montre d’abord que EΦ v”erifie que pour tout objet ˯-injectif A, le morphisme naturel eA : A ջ EΦ(A) est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs. A ce moment-l`a, EΦ

et P ont alors les mɏemes propri”et”es `a l’exception de l’unicit”e de la factorisation. Or c’est pr”ecis”ement grɏace `a cette derni`ere propri”et”e que l’on montre que Ȅ

v”erifie iii).

En outre la derni`ere propri”et”e de la proposition nous permet d’”etendre la notion d’”equivalence pour les objets ˯-injectifs aux objets quelconques. Corollaire 2.7.2 Sous les hypoth`eses de la proposition pr´ec´edente, d´efinissons une notion de ˯-´equivalence comme suit :

un morphisme f quelconque de C est une ˯-´equivalence si EΦ(f ) est une ´equi-valence d’objets ˯-injectifs.

Alors ces ˯-´equivalences v´erifient les propri´et´es suivantes :

- pour tout couple de morphismes composables (f, g), si parmi f, g, g ◦ f deux morphismes sont des ˯-´equivalences, alors le morphisme restant aussi. On appellera cette propri´et´e de la ˯-´equivalence la propri´et´e du ”trois pour deux”. - pour tout couple de morphismes composables (f, g), si f ◦ g est l’identit´e et g ◦ f une ˯-´equivalence, alors f et g sont des ˯-´equivalences.

- les isomorphismes de C sont des ˯-´equivalences.

- pour les morphismes d’objets ˯-injectifs, les notions de ˯-´equivalence et d’´equivalence d’objets ˯-injectifs se confondent.

Preuve :

Soient f et g deux morphismes composables. Supposons que parmi f, g, g ◦ f deux morphismes sont des ˯-”equivalences, ceci signifie que parmi EΦ(f ), EΦ(g) et E_Φ(g)◦E_Φ(f ) les deux morphismes correspondant sont des ”equivalences d’ob-jets ˯-injectifs. Or par propri”et”e de l’”equivalence d’obd’ob-jets ˯-injectifs, ceci nous donne que le troisi`eme morphisme est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs, donc que le troisi`eme morphisme parmi f, g, g ◦ f est une ˯-”equivalence. Si cette fois f ◦g est l’identit”e et g◦f est une ˯-”equivalence, alors comme EΦest un foncteur, EΦ(f )◦EΦ(g) est l’identit”e et EΦ(g)◦EΦ(f ) une ”equivalence d’ob-jets ˯-injectifs. Or par propri”et”e de l’”equivalence d’obd’ob-jets ˯-injectifs, ceci nous donne que EΦ(f ) et EΦ(g) sont des ”equivalences d’objets ˯-injectifs, donc que f et g sont des ˯-”equivalences.

Soit f un isomorphisme de C. Comme E_Φ est un foncteur rendant ˯-injectif, alors EΦ(f ) est un isomorphisme entre objets ˯-injectifs. Par la troisi`eme pro-pri”et”e v”erifi”ee par les ”equivalences d’objets ˯-injectifs, il vient que EΦ(f ) est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs, donc que f est une ˯-”equivalence. La proposition 2.7.1 montre que, pour tout morphisme f entre objets ˯-injectifs, f est une ”equivalence d’objets ˯-injectifs si et seulement si EΦ(f ) l’est, c’est-`a-dire si et seulement si f est une ˯-”equivalence. Ainsi pour les mor-phismes d’objets ˯-injectifs, les notions de ˯-”equivalence et d’”equivalence d’ob-jets ˯-injectifs sont confondues.

CQFD.

Comme pour la cat”egorisation, un des avantages de l’I-injectivisation est de pouvoir d”efinir des sortes de colimites pour les objets I-injectifs. Il est alors int”eressant de pouvoir comparer la colimite des injectivis”es avec la I-injectivisation de la colimite. Dans les deux cas, il s’agit toujours de plans d’addition de cellules. Ainsi, il serait utile de pouvoir comparer les plans d’ad-dition de cellules entre eux, ce que nous allons faire dans les sections suivantes, par l’interm”ediaire de la notion de rationalisation de plans d’addition de cel-lules.

2.8 Rationalisation des plans d’addition de