Tâches proposées

Le matériel utilisé pour recueillir nos données était divers. Nous avions les problèmes résolus par les élèves (lors du pré-test, de l’activité en groupe et du post-test, voir annexe 11 et 12) ainsi que les vidéos et les enregistrements audio des élèves cibles (élèves de niveau faible dans la résolution de problèmes ouverts, lors du pré-test).

Dans cette présente section, nous allons nous intéresser aux problèmes avec leur analyse a priori et les échelles descriptives nous permettant d’évaluer les productions des élèves.

Chaque problème du RMT est présenté à l’enseignant avec son analyse a priori.

Cette analyse est utile aux chercheurs pour comparer les résultats et les stratégies utilisées. De plus, elle donne suite à une analyse a posteriori qui permet, au fil des années, « d’améliorer les choix des problèmes, de préciser les savoirs en jeu, de distinguer les représentations sous-jacentes à chaque procédure de résolution. » (Grugnetti, Jaquet, Crociani, Doretti & Salomone, 2001, p. 11). Notons toutefois, que les analyses a priori telles que proposées par l’Association du Rallye Mathématique Transalpin ne correspondent pas à la définition originale et plus complexe des analyses a priori donnée par Brousseau. Elles ressemblent plus à des analyses

« préalables » et moins complètes. (C. Del Notaro, communication personnelle, 3 juin 2010). Cependant, nous parlerons, tout au long de cette recherche, du terme

« analyse apriori » utilisé par l’ARMT.

Nous nous sommes servies de ces analyses a priori pour élaborer nos critères de correction ainsi que pour l’analyse qualitative du travail des élèves présentés plus loin dans notre mémoire. Pour cette raison, nous avons décidé de présenter l’analyse a priori des trois problèmes de base utilisés dans notre recherche.

1. LES FLEURS DE ROSALIE (Cat. 3, 4, 5)

Rosalie est fleuriste.

Aujourd’hui, elle compose un beau bouquet de tulipes de trois couleurs différentes : pour chaque tulipe rouge, elle met deux tulipes jaunes et trois tulipes blanches.

En tout, son bouquet comprend 48 tulipes.

Combien de tulipes rouges Rosalie met-elle dans son bouquet ? Combien de tulipes jaunes Rosalie met-elle dans son bouquet ? Combien de tulipes blanches Rosalie met-elle dans son bouquet ? Expliquez comment vous avez trouvé vos réponses.

14e RMT ÉPREUVE I janvier- février 2006 ©ARMT.2006 5

ANALYSE A PRIORI

Domaine de connaissances

- Arithmétique : opérations (décomposer 48 en une somme de 3 nombres dans des rapports de 1, 2 et 3)

Analyse de la tâche

- Comprendre que le nombre de tulipes jaunes est le double de celui des tulipes rouges et que le nombre des tulipes blanches en est le triple.

- Imaginer que le bouquet peut se décomposer en petits bouquets comprenant six tulipes (1 rouge, 2 jaunes, 3 blanches) et qu’il y a 8 de ces petits bouquets (48 : 6 = 8), et donc qu'il y a 8 rouges, 16 jaunes et 24 blanches.

Ou : travailler à partir d’un dessin soit par groupements successifs jusqu’à obtention de 48 tulipes soit par

“décomposition” du dessin de 48 tulipes ;

Ou : établir un tableau progressif (de proportionnalité) comme celui-ci : Tulipes rouges Tulipes jaunes Tulipes blanches Total

1 2 3 6

2 4 6 12

... ... ... ...

8 16 24 48

Niveaux : 3, 4, 5 Origine : Parma

ANALYSE A PRIORI

Domaine de connaissances

- Arithmétique Analyse de la tâche

- Comprendre qu’on est en présence de deux suites arithmétiques qui se développent

simultanément, que la première commence à 0 et la seconde à 26, et écrire les deux suites en s’arrêtant lorsque la somme des deux valeurs correspondantes est 60.

- Ou se rendre compte que 60 est la somme de 26 et du double de l’âge de Paul, et en déduire que Paul a (60 - 26) : 2 = 17 ans et Pierre en a 26 +17 = 43.

- Ou comprendre que l’écart entre les deux âges est 26 ans et reste constant. Chercher ensuite, par essais progressifs, les couples de deux nombres d’écart 26, dont la somme est 60.

- Ou chercher progressivement, parmi les couples de nombres dont la somme est 60, celui dont l’écart des deux nombres est 26.

Niveau : 4 – 5 Origine : Lodi

11e RMT EPREUVE I janvier-février 2003 ©ARMT.2003 7

2. PAUL ET PIERRE (Cat. 4, 5)

Paul est né quand son père, Pierre, avait 26 ans.

Aujourd'hui, si on additionne leurs deux âges, on obtient 60.

Quel est l'âge de Paul et de Pierre aujourd'hui ? Expliquez comment vous avez obtenu votre réponse.

Par rapport aux problèmes mathématiques, nous avons préalablement construit une échelle descriptive (annexe 8) très précise pour chaque type d’exercice dans le but d’évaluer le nombre de points acquits pour chaque élève. La différence du pourcentage de réussite entre le pré-test et le post-test était notre indice de progression. Nous avons décidé de ne pas utiliser l’échelle « type » d’évaluation

ANALYSE A PRIORI

Domaine de connaissances

- Arithmétique : opérations dans N (addition, multiplication : décomposition de 25 en sommes de termes 3, 5 et 8)

- Logique : arrangements ou combinaisons Analyse de la tâche

- Faire des essais additifs avec 3, 5 et 8 en vue d’obtenir 25

- Examiner systématiquement comment obtenir 25 kg uniquement avec des paquets de même poids :

il n’y a qu’une solution : 5 paquets de 5 kg, car 5 x 5 = 25 alors que 25 n’est multiple ni de 3 ni de 8.

avec deux types de paquets pour obtenir 25 kg il y a deux solutions :

5 paquets rouges de 3 kg, et 2 paquets bleus de 5 kg : (5 x 3) + (2 x 5) = 25.

3 paquets rouges de 3 kg, et 2 paquets verts de 8kg : (3 x 3) + (2 x 8) = 25.

avec trois types de paquets, il n’y a qu’une seule solution :

4 paquets rouges, 1 paquet bleu et 1 paquet vert (4 x 3) + (1 x 5) + (1 x 8) = 25 - Organiser la recherche à l’aide d’un tableau ou d’une liste des multiples de 3, 5 et 8.

Niveaux : 3, 4

Origine : Suisse romande

3. LES PAQUETS DU PÈRE NOËL (Cat. 3, 4)

Le Père Noël prépare des paquets rouges, des paquets bleus et des paquets verts.

Chaque paquet rouge pèse 3 kilos.

Chaque paquet bleu pèse 5 kilos.

Chaque paquet vert pèse 8 kilos.

Le Père Noël met plusieurs paquets dans sa hotte. Il veut que les paquets pèsent, ensemble, exactement 25 kilos.

Quels types de paquets peut-il mettre ensemble dans sa hotte ?

Notez toutes vos solutions et expliquez comment vous les avez trouvées.

14e RMT ÉPREUVE I janvier- février 2006 ©ARMT.2006 3

proposée dans le RMT car elle ne nous semblait pouvoir attester que trop faiblement d’une quelconque progression. En effet, chaque exercice n’est évalué que sur quatre points et les critères de correction sont assez sévères. Ceci peut être justifié puisqu’il s’agit, dans le RMT, d’un travail en commun dont les exigences sont plus élevées que dans un travail individuel. Dans notre recherche, il était important de pouvoir observer la progression des élèves de manière individuelle. Ainsi, il nous a semblé pertinent de construire notre propre outil d’évaluation qui comporterait plus de points et qui permettrait une plus grande variation dans les résultats. Nous avons établi une échelle descriptive pour chaque type d’exercice (trois types d’exercice) tirés du RMT.

Pour valider ces échelles, il est important de souligner que nous avons corrigé la totalité des tests en commun. Nous prenions connaissance de la réponse d’un élève, puis nous évaluions silencieusement chacune pour soi, et finalement nous échangions sur le nombre de points attribués par l’une et ensuite par l’autre. De manière générale, nos évaluations étaient similaires. Lorsque, parfois, nous doutions entre deux nombres de points, nous argumentions et précisions notre échelle en fonction des décisions prises. Finalement, nous passions en revue une seconde fois toutes les copies pour vérifier que notre évaluation était équitable pour chaque élève et égale pour chaque exercice. Il faut également préciser que nous sommes retournées à de nombreuses reprises sur les copies pour être convaincues de la validité de nos corrections et avons, après avoir récolté tous les post-tests, repris tous les pré-tests et post-tests ensemble pour accroître encore la fiabilité de nos données. Celles-ci étaient importantes puisqu’elles représentaient la progression des élèves.

Ces échelles se sont avérées un très bon outil pour nous permettre une pondération équivalente. En ce qui concerne les élèves de niveau faible, il était primordial de ne pas douter de leurs résultats.

6.MÉTHODES D’ANALYSE DES DONNEES

6.1 Adaptation de l’échelle de Nattiv (1994)

Après avoir retranscrit les paroles des élèves en visionnant les vidéos prises durant le travail en conditions S et N-S (annexes 13 à 20), nous avons dû coder les différentes interactions. Pour cela, nous avons élaboré un outil à partir de l’échelle de Nattiv (1994) adaptée de celle de Webb (1987). En effet, nous trouvions l’échelle de Nattiv intéressante, et portant sur une recherche assez similaire à la notre. C’est la raison pour laquelle nous avons voulu réutiliser cet outil qui nous paraissait très pertinent. Rappelons que les huit critères de base de ce système sont : « Donne des explications, donne de l’aide autre que des explications, donne uniquement la réponse, reçoit des explications, reçoit de l’aide autre que des explications, reçoit uniquement la réponse, ne reçoit aucune aide, demande de l’aide ».

Nous distinguons, dans ce système, trois grands ensembles : ce que l’élève cible demande, reçoit et ce qu’il donne. Nous trouvions très important d’avoir ces trois ensembles, nous pourrions alors voir si une posture d’aide semble plus bénéfique ou plus présente qu’une autre. A l’intérieur de chaque ensemble, nous avons précisé quelques aspects. Par rapport à ce que l’élève demande, nous voulions savoir si sa question portait plutôt sur la stratégie de résolution, sur la consigne, sur une partie du problème ou si sa demande consistait simplement en une sorte de vérification de sa compréhension. Nous n’étions pas sûres, au moment ou nous avons établi la grille, d’avoir besoin de tous ces critères, cependant, il nous était plus facile de séparer ces catégories, quitte à les rassembler si besoin était, plutôt que de devoir recommencer notre codage au cas où nous aurions remarqué qu’un tel classement aurait pu être pertinent.

Dans l’ensemble de l’aide reçue, Nattiv a élaboré quatre catégories, à savoir :

« reçoit des explications, reçoit de l’aide autre que des explications, reçoit uniquement la réponse, ne reçoit aucune aide ». Là encore, nous trouvions intéressant de préciser le type d’aide. Tout d’abord notre recherche portant sur l’acquisition et la mobilisation de stratégies, nous trouvions capital d’élaborer une catégorie spécifique à l’aide reçue par rapport à ce point là. Cette première catégorie

certaine façon, similaire à celle conçue par Nattiv. Nous avons décidé de séparer sa deuxième catégorie « reçoit de l’aide autre que des explications » en quatre points.

Tout d’abord il nous paraît important de dire que nous considérons cette catégorie presque au même titre que Nattiv. C’est une aide moins complète que la première, dans le sens que seule, elle ne peut permettre à l’élève d’atteindre la réponse finale, mais elle peut s’avérer utile. Les quatre aspects que nous voyons dans cette catégorie sont « l’aide par rapport à la consigne », « l’aide par rapport à une partie du problème » (ex : comment faire un calcul), « les confirmations » et « les infirmations » que l’élève peut recevoir par rapport à son travail ou sa compréhension. Nous avions tout d’abord décidé de garder la troisième catégorie de Nattiv « reçoit uniquement la réponse » telle qu’elle. Cependant, nous avons réalisé, en codant les retranscriptions, que recevoir (ou donner) uniquement une réponse n’était pas forcément négatif. En effet, parfois, lorsque les élèves essayent de trouver ensemble une réponse, l’un énonce le calcul et l’autre répond tout de suite en donnant le résultat, ce qui permet d’avancer dans la démarche. L’élève ayant posé la question est aussi en train de calculer et n’attend pas d’explications autres que la réponse. Nous avons alors jugé que ce type de comportements d’aide pouvait être constructif. De plus, lorsque l’élève cible donne ce genre de réponse, il atteste d’une certaine manière sa compréhension. Nous avons donc divisé cette catégorie en deux. L’une est constructive, l’autre est négative (l’élève reçoit uniquement une réponse et n’est pas plus avancé). Nous avons gardé la dernière catégorie de Nattiv telle quelle : « ne reçoit aucune aide ».

Par rapport à ce que l’élève donne, nous trouvions qu’il était aussi intéressant de savoir ce qui était donné, c’est la raison pour laquelle nous avons gardé les mêmes catégories que pour l’aide reçue.

Voilà donc la grille que nous avons constituée :

Grille de codage des interactions

Lorsque l’élève cible recevait de mauvaises réponses, nous avons tout d’abord décidé de garder le même codage que pour les réponses correctes, simplement en entrant le code dans la colonne des fausses réponses. Nous avons alors réalisé que plusieurs locutions n’entraient dans aucune des catégories. Il nous aurait fallu créer une nouvelle grille plus précise par rapport aux fausses réponses. Nous ne voyions par ailleurs, pas l’intérêt de distinguer ces différents apports du moment qu’ils étaient faux. Par conséquent, nous avons simplement codé par la lettre B toutes les informations fausses reçues, et par la lettre C toutes les informations fausses données (ces informations peuvent aller de la confirmation qui n’a pas lieu d’être à la stratégie erronée).

Un autre problème nous est apparu dans le codage lorsque les élèves travaillent à

pas spécialement destinées à l’élève cible. Il n’est alors pas évident de savoir s’il a pris l’information en compte, bien qu’il l’ait entendue. Ne trouvant pas logique de tenir compte de ces informations dans l’aide reçue, nous avons alors élaboré un deuxième ensemble contenant les mêmes catégories que pour l’aide reçue, mais appelé aide reçue indirectement. Nous y avons classé toutes les informations qui n’étaient pas directement destinées à l’élève et au sujet desquelles il ne participe pas à la discussion.

La grille établie (ci-dessus), il nous fallait encore décider de l’unité d’analyse (épisodes significatifs, tours de parole, actions de l’élève ciblé,…). Nous avons décidé de coder les interactions en fonction des informations données. Dans ce sens, si un élève s’y prend à deux fois pour donner une information parce qu’il est coupé par un autre élève, son information n’est codée qu’une seule fois. Cependant, s’il se voit obligé, quelques minutes plus tard, de répéter ce qu’il a dit, parce que cela n’a pas été pris en compte par les autres élèves, alors nous codions une deuxième fois l’information. Parfois, plusieurs élèves se complètent pour donner une information. Cette dernière n’est alors aussi codée qu’une seule fois.

Comme précédemment explicité, nous avons établi quelques précisions en codant les interactions des premiers groupes. Dans le but d’avoir la certitude que notre codage soit cohérent entre les premiers et derniers groupes codés, nous avons, une fois le premier codage terminé, procédé à une vérification de la totalité des interactions. Pour cela nous étions les deux présentes, cachions le premier codage afin de ne pas être influencées, et vérifions que nos deux idées étaient en accord. Si tel n’était pas le cas, nous justifiions notre proposition et discutions de la meilleure façon de coder.

Une fois nos grilles établies, nos donnés recueillies, il nous restait à les analyser.

Nous avons donc effectué deux types d’analyse, une plutôt qualitative et l’autre plus quantitative.

6.2 Elaboration et interprétation de graphiques pour l’analyse

Si, pour l’analyse qualitative, nous n’avons pas utilisé de graphique puisqu’il s’agissait d’analyser les copies des élèves en fonction des stratégies utilisées, notre analyse quantitative en contient plusieurs.

Pour les créer, nous avons tout d’abord établi une base de données rapportant toutes les informations concernant chacun des huit élèves (points obtenus au deux tests, pourcentage de réussite, pourcentage de progression quantité des différents apports d’aide, voir annexe 22). Rappelons que nous avons calculé le pourcentage de réussite en divisant le nombre de points obtenus par le nombre de points total et que nous avons multiplié le résultat par cent. Nous avons calculé le pourcentage de progression en soustrayant le pourcentage de réussite initial (pré-test) du pourcentage de réussite final (post-test). Ce tableau nous a permis d’établir de nombreux graphiques utiles pour notre analyse.

Nous trouvions intéressant de pouvoir afficher divers pourcentages. Par exemple, nous voulions savoir si les interactions étaient de même nature dans les groupes S et N-S. Nous avons alors totalisé la quantité de chaque type d’apport pour les élèves du groupe S (par exemple, aide reçue : 89 aide reçue indirectement : 35 aide incomplète ou non reçue : 41 et fausses informations : 74). Avec ces informations, Excel nous a crée un graphique de secteur (graphique a), représentant le pourcentage de chaque type d’apport. Nous avons ensuite effectué le même tableau pour l’autre groupe, afin de pouvoir effectuer des comparaisons.

Graphique a : Exemple d’un graphique de secteur

Répartition des différents apports Groupe S graphique b) permettant de mettre en évidence la quantité de chaque apport.

Graphique B : Exemple d’histogramme

La troisième sorte de graphique utilisée est un peu plus complexe (graphique c). Elle permet de représenter la corrélation qu’il peut y avoir entre deux variables. Dans notre cas, ce type de graphique (nuage de points avec droite de régression linéaire) nous permet de dire dans quelle mesure la variable de la progression des élèves est liée à la variable correspondant un apport d’aide spécifique.

Graphique C : Exemple de graphique type « nuage de points »

Indice de progression par rapport aux confirmations reçues directement

Nous avons établi divers graphiques selon le même principe ; affichant, sur l’axe des ordonnées, le pourcentage de progression des élèves et sur l’axe des abscisses, la quantité des diverses interactions, que ce soient des apports d’aide au niveau de la stratégie, de la consigne, simplement une confirmation, directe ou indirecte, des demandes ou des informations données.

Avant de commencer à analyser ces tableaux, il nous parait important de rappeler que, comme le rapporte Pini (2008), l’intensité de la liaison qui peut exister entre deux variables peut être calculée en fonction d’un coefficient de corrélation « R ». Ce dernier est compris entre -1 et 1. Plus le coefficient s’approche de 0, moins la relation entre ces deux variables est intense. Cela veut dire que si l’on représente une droite de régression linéaire sur le graphique pour faire état de l’ensemble des points, ces derniers en seront assez éloignés indiquant qu’il n’y a pas de relation entre les deux variables. En revanche, plus l’on s’approche des extrémités (-1 ou 1), plus la corrélation entre les variables est forte. Les points sont alors presque tous sur ou à proximité de la droite de régression. Le signe du coefficient indique l’inclinaison de la pente (dans notre cas ;

Relation positive ou négative avec la progression des apprentissages des élèves.)

Excel calcule cependant également le coefficient de détermination qui est le carré de ce coefficient de corrélation. Un changement en découle, la pente (positive ou (communication personnelle, 18 mai 2010) nous a donné une échelle délimitant trois secteurs d’intensité (faible, modérée, forte).

On peut voir sur cette échelle que seul R est représenté. Cependant, R², correspond au pourcentage de corrélation affiché en dessous de l’échelle. Si nous prenons l’exemple de notre graphique (figure 3). R²=0.38, soit 38%, ce qui correspond à R=0.61. Cette valeur se situe dans le secteur de forte intensité. Nous pouvons donc dire que ces variables sont fortement corrélées.

IV. Présentation et analyse des résultats

1.STRUCTURE DE PRÉSENTATION DES RÉSULTATS

Cette partie de notre mémoire a pour objectif de répondre à nos questions de recherche de manière à confirmer ou infirmer nos hypothèses. Tout d’abord, nous aimerions évoquer le fait que notre dispositif élaboré avant la venue sur le terrain a été respecté au mieux. Nous nous sommes efforcées de suivre notre planification et notre protocole de recherche comme décrits dans le cadre méthodologique. Ce chapitre est toujours centré sur les élèves de niveau faible et est structuré en fonction de nos questions de recherche. En effet, nous avons choisi de répondre à chacune d’entre elles de façon successive. Tout d’abord, nous traiterons du lien entre les interactions et la progression (sous forme de deux questions). Ensuite, nous nous focaliserons sur le rapport entre la condition de travail en groupe (structuré ou non-structuré) et le comportement d’aide. Finalement, nous terminerons

Cette partie de notre mémoire a pour objectif de répondre à nos questions de recherche de manière à confirmer ou infirmer nos hypothèses. Tout d’abord, nous aimerions évoquer le fait que notre dispositif élaboré avant la venue sur le terrain a été respecté au mieux. Nous nous sommes efforcées de suivre notre planification et notre protocole de recherche comme décrits dans le cadre méthodologique. Ce chapitre est toujours centré sur les élèves de niveau faible et est structuré en fonction de nos questions de recherche. En effet, nous avons choisi de répondre à chacune d’entre elles de façon successive. Tout d’abord, nous traiterons du lien entre les interactions et la progression (sous forme de deux questions). Ensuite, nous nous focaliserons sur le rapport entre la condition de travail en groupe (structuré ou non-structuré) et le comportement d’aide. Finalement, nous terminerons

Dans le document Les élèves de niveau faible en mathématiques et l'apprentissage coopératif : quelle progression lors de situations de résolution de problèmes ouverts ? Etude à travers des tâches du Rallye Mathématique Transalpin dans deux classes de 4P (Page 90-0)