A modelação matemática é, vulgarmente, utilizada para descrever e simular sistemas ambientais, onde os processos inerentes são de elevado grau de complexidade. Os modelos matemáticos podem integrar balanços de massa e energia e a cinética de degradação do substrato, envolvendo expressões analíticas mais ou menos complexas, consoante o grau de especificidade do modelo (Kaiser, 1996; Hamelers, 2004; Mason, 2006).
No caso dos processos de biodegradação a cinética tem um papel fundamental, na medida em que permite estimar a velocidade a que os microrganismos degradam determinado substrato e o tempo necessário para se atingir um determinado grau de estabilização da matéria orgânica. Este comportamento é de extrema importância no desenvolvimento e operação de sistemas de tratamento, fornecendo uma base racional para a análise do processo e para o seu dimensionamento e controlo (Haug, 1993; Bernal et al.,1998; Lasaridi e Stentiford, 1998; Sole-Mauri et al., 2007).
Como já foi descrito, o processo de biodegradação aeróbia corresponde ao consumo de um substrato por uma população microbiana. Assim, a aplicação de modelos que representem o crescimento microbiano ou que associem o consumo de O2 ou libertação de CO2 ao metabolismo microbiano permite avaliar a cinética de degradação do substrato. A curva típica que descreve o crescimento microbiano encontra-se na figura 2.9.
Figura 2.9. Curva típica de crescimento microbiano (Adaptado de Swinnen et al., 2004)
Como se pode verificar, através de uma análise visual, a curva que representa o crescimento microbiano (N) ao longo do tempo está divida em três fases, a lag phase, a fase exponencial e a fase estacionária. O comportamento desta curva depende das características da população microbiana e das condições do meio de crescimento. A lag phase é o período de adaptação da população ao meio de crescimento (λ), a fase exponencial representa o período de crescimento da população e, finalmente, a fase estacionária é caracterizada pela interrupção do crescimento microbiano devido à falta de nutrientes ou à presença de substâncias inibidoras. A diferença entre o crescimento máximo atingido (Nmáx) e crescimento no tempo inicial (N0) num determinado período de tempo representa a taxa máxima de crescimento da população microbiana (μmáx) (Soler, 2008).
Têm sido realizadas várias tentativas para obter expressões que descrevam as curvas de crescimento dos microrganismos em termos cinéticos. A justificação para a respectiva escolha está dependente das variáveis a estimar, dos objectivos do modelo e da utilização final do mesmo (Ferreira, 2006).
A revisão da literatura mostra que a cinética de primeira ordem é a forma mais comum de descrever o processo de degradação de substratos. De acordo com Stow et al. (1999) este é também o modelo mais usado para descrever processos fundamentais, como reacções químicas ou o decaimento nuclear. No entanto, os mesmos autores elucidam para o facto de os processos ambientais representarem um conjunto de reacções individuais, que ocorrem a uma escala diferente das reacções químicas, podendo ser melhor representados por um modelo multi-exponencial.
De facto, modelos multi-exponenciais encontram-se também, muitas vezes, descritos na literatura para o estudo de reacções cinéticas. Vários autores referem que estes modelos se ajustam melhor aos dados experimentais quando se combinam duas reacções cinéticas (Levenspiel, 1999; Borsuk e Stow, 2000; Mason, 2008)
Santos Oliveira (1982) referencia o modelo desenvolvido por Tischler e Eckenfelder (1968), que se baseia no facto de as substâncias orgânicas serem removidas simultaneamente, a taxas diferentes, considerando uma cinética de ordem zero para concentrações muito baixas, quando se considera uma cultura mista adaptada. Os autores do modelo mencionam ainda que, para substratos complexos, a reacção global de degradação pode ser descrita através de uma equação de primeira ordem ou de segunda ordem. Aplicando-se a reacção de segunda ordem quando, um ou mais, componentes do substrato apresentam uma taxa de degradação muito baixa.
Borsuk e Stow (2000) referem que a complexidade do processo de biodegradação leva à interacção entre populações mistas e substratos não uniformes, que podem ter influência na taxa de reacção. Assim, os autores relatam que um modelo que considere o somatório de reacções cinéticas de primeira ordem, onde cada uma representa uma população que degrada um tipo de substrato específico e a velocidades diferentes, é a melhor forma de descrever estas interacções.
Avaliando a distinção entre componentes de um substrato, diversos estudos têm sido feitos recorrendo a modelos multi-exponenciais. Bernal et al. (1998), Tosun et al. (2008) e Ponsá et al. (2011) avaliaram as fracções facilmente e dificilmente biodegradáveis de resíduos orgânicos no processo de compostagem, recorrendo a dois modelos multi-exponenciais. Os modelos aplicados resultaram da combinação de duas equações de primeira ordem ou de duas equações cinéticas de ordem diferente, tendo revelado um bom ajuste aos dados experimentais.
A aplicação de uma abordagem dupla exponencial foi também usada por Haug (1993) e Mason et al. (2006) para a análise de dados de consumo de oxigénio a partir de testes respirométricos. Tanto Haug (1993) como Mason et al. (2006) constaram que a precisão do ajuste por este modelo era superior ao ajuste com o modelo exponencial de primeira ordem.
Outros modelos do tipo Monod ou que representam funções sigmoidais foram também adoptados para modelar o crescimento microbiano. Simkins e Alexander (1984) fizeram um estudo comparativo de seis modelos de mineralização da matéria orgânica derivados da equação de Monod, sendo eles: ordem zero, Monod sem crescimento, primeira ordem, logístico, Monod com crescimento e logarítmico. Também Zwietering et al. (1990) elaboraram um estudo comparativo do crescimento de bactérias em solução pela aplicação dos modelos logístico, de Gompertz, de Richards, de Schnute e de Stannard.
Recorrendo a métodos respirométricos para avaliar a biodegradabilidade de compostos, Reuschenbach et al. (2003) modelaram as curvas de biodegradação através da cinética de primeira ordem e do modelo logístico. Também Fan et al. (2004) aplicaram os modelos de Gompertz e de Richards para avaliar a biodegradação do ácido ftálico por culturas de bactérias aeróbias.
Mais recentemente, procedendo à análise da degradação de resíduos no processo de compostagem, Chang et al. (2006) e Mason (2006; 2008) procederam ao ajuste do modelo de Gompertz, tendo verificado uma boa precisão de ajuste dos resultados modelados aos resultados experimentais.
Como foi referido acima, a escolha do modelo está dependente de uma diversidade de factores, pelo que o modelo será mais complexo se existir maior número de variáveis a estudar e parâmetros a estimar.
Os modelos cinéticos de primeira ordem são muito usados devido à sua facilidade de aplicação e à informação que disponibilizam. Estes modelos permitem estimar o tempo necessário para se alcançar um determinado nível de estabilização, apresentando assim a informação mais importante para a optimização de sistemas de tratamento (Stow et al., 1999).
No entanto, existe a necessidade de, por vezes, se estimar com maior detalhe o comportamento das populações microbianas, como por exemplo, a presença de substâncias inibidores ou a duração da lag phase. Neste caso, é necessário recorrer-se a modelos do tipo Monod ou que caracterizam funções sigmoidais (Gompertz, Richards ou logistíca), uma vez que permitem a estimação dos parâmetros associados a estes factores. Todavia, estas equações dificultam o processo de optimização do modelo, uma vez que exigem mais parâmetros e/ou a estimativa do crescimento inicial da população microbiana (Davey e Daughtry, 1994; Swinnen et al., 2004; Mason, 2006, 2008; Soler, 2008).