Qubits supraconducteurs comme m´ emoire quantique

Avec les circuits supraconducteurs, l’environnement ´electromagn´etique est restreint

`

a une seule dimension le long d’une ligne `a transmission et o`u des capacit´es plac´ees en s´erie jouent le rˆole de miroirs semi-transparents. Alors que la moiti´e du signal ´emis par le qubit dans la ligne se propage en direction du miroir, la g´eom´etrie 1D fait en sorte que l’atome artificiel capte 100% du signal qui se propage dans la ligne, si les processus de d´ephasage et de relaxation vers d’autres degr´es de libert´e sont n´eglig´es. Les circuits supraconducteurs semblent donc constituer une architecture id´eale pour observer les effets de r´etroaction des miroirs.

Dans cette section, je d´emontre que le mod`ele dispersif multimode contient les effets de r´etroaction des miroirs du r´esonateur sur les qubits et que les qubits supraconducteurs peuvent ˆetre utilis´es comme m´emoire quantique avec un long temps de d´ecoh´erence.

J’ai mentionn´e plus tˆot que pour les longues ´echelles de temps, l’´evolution de la probabilit´e d’occupation de l’´etat excit´e du qubit suit une exponentielle d´ecroissante au taux effectif _eγ sous l’effet de la r´etroaction d’un miroir. Dans un r´esonateur l’´evolution du qubit se fait sous l’influence des ports `a l’entr´ee et `a la sortie et sera dict´ee par l’effet Purcell γ_κ `a l’´Eq. (3.63). Puisque la formulation multimode deγ_κ contient tout le d´etail

§3.6. Effets de r´etroaction des miroirs sur les qubits 93

1 7

2 6 5 4 3

0 0.5

-0.5

2 4 6 8

10

10

10

10

T emps Purcell

a)

b)

0

10⁷

10¹ 10⁵ 10³

Figure 3.10: Suppression de l’´emission spontan´ee.a) Temps de relaxation Purcellγ_κ⁻¹ en fonction de la position et de la fr´equence d’un transmon dans un r´esonateur avec des courbes `a position constantes en b). Les param`etres du syst`emes sont d´ecrits dans le texte avec cependant des capacit´es de couplages `a l’entr´ee et `a la sortie asym´etriques C<sub>e</sub>=C<sub>s</sub>/10 = 2fF. En pla¸cant le qubit en r´esonance avec un mode stationnaire du syst`eme qubit-miroir de gauche en ω^∗_a, le qubit est isol´e de l’influence du bruit ext´erieur.

des conditions de fronti`eres et la g´eom´etrie du circuit, les effets de r´etroaction des miroirs devraient alors engendrer une forte modulation de l’amplitude de γ<sub>κ</sub> en fonction de la fr´equence, devenant fortement inhib´ee `a la condition d’interf´erence destructive cit´ee plus haut.

Afin de mieux discerner la contribution de chaque port au taux de relaxation totalγ_κ, on consid`ere ici un r´esonateur avec une forte asym´etrie dans les capacit´es de couplages entre l’entr´ee (C<sub>e</sub>) et la sortie (C<sub>s</sub>) avec C<sub>e</sub> = C<sub>s</sub>/10 = 2 fF. L’´emission spontan´ee est favoris´ee vers la sortie par un rapport (C<sub>s</sub>/C<sub>e</sub>)<sup>2</sup> = 100. `A la Fig. 3.10a), on trace le temps de relaxation Purcell γ_κ⁻¹ en fonction de la fr´equence ωa et de la position xq du qubit le long du r´esonateur. Sur pratiquement tout le domaine de param`etres, le temps de relaxation correspond `a ce qui est attendu pour un qubit plac´e dans un r´esonateur avec un fort taux de relaxation. Toutefois, pour certaines valeurs de la position et de la fr´equence du qubit, une augmentation prononc´ee du temps de relaxation est observ´ee sur une ´etroite bande de fr´equences. La position du maximum de γ_κ⁻¹ suit la condition de r´esonance ω_a = v2π/(4d), o`u d = x<sub>q</sub>+` est la distance entre le port d’entr´ee et le qubit. `A cette valeur de ω<sub>a</sub>, le qubit entre en r´esonance avec la condition d’interf´erence destructive o`u le champ ´emis dans le r´esonateur poss`ede un noeud en x<sub>q</sub>. C’est ainsi que l’´emission spontan´ee vers le port de sortie peut ˆetre nulle, le temps de relaxation du qubit s’en trouvant fortement augment´e. Comme des pertes radiatives dues au port d’entr´ee ont tout de mˆeme lieu, celles-ci limitent l’amplitude maximale du temps de relaxation `a 1/γ_κ ≈1/γ_κ^e. Tel qu’illustr´e `a la Fig. 3.10b), la forte asym´etrie des capacit´es `a l’entr´ee et

`

a la sortie fait en sorte qu’un gain d’un facteur 100dans le temps de relaxation du qubit est r´ealis´e.

Comme je l’ai mentionn´e plus tˆot avec les r´esultats de J pr´esent´es `a la Fig. 3.7, l’´emission spontan´ee n’est pas le seul processus qui est influenc´e par la r´etroaction des miroirs sur le qubit alors que l’´echange virtuel de deux qubit dans un r´esonateur peut se retrouv´e compl`etement inhib´e. En effet, `a la Fig. 3.11a) je trace l’amplitude de l’in-teraction virtuelle J d’un qubit plac´e en x<sup>(2)</sup><sub>q</sub> = `/3, en fonction de la fr´equence des qubits ω_a⁽¹⁾ = ω_a⁽²⁾ = ω_a et de la position x⁽¹⁾_q d’un second qubit. Comme on peut le voir, l’interaction J devient nulle lorsque la fr´equence des qubits est ω_a^∗ =v2π/(4d)avec d=x_q+`, r´esonante avec le mode stationnaire entre le port d’entr´ee et le qubit plac´e le plus pr`es enx_q. Sous la mˆeme condition d’interf´erence destructive que pour l’effet Purcell, l’´echange virtuel peut ˆetre modul´e in situ sur plusieurs ordres de grandeur, depuis une valeur th´eorique nulle vers quelques MHz, simplement en ajustant la fr´equence commune

§3.6. Effets de r´etroaction des miroirs sur les qubits 95

-0.5 2

4 6 b)

c)

-0.5 0.0 0.5

0 -50 -100 -150 b)

0 2 4 6 8

c) a)

0 0 0.5

8

0 -100 -200 -300 100

Figure 3.11: R´egimes de l’interaction d’´echange virtuel J. a) Amplitude de |J| en fonction de la fr´equence des qubitsω_a et de la position du qubit 1,x⁽¹⁾q , lorsque que qubit 2 est plac´e enx⁽²⁾q = 2`/3. L’´echange virtuel devient nul lorsque la condition de r´esonance avec le mode stationnaire entre le qubit de gauche et le port de gauche est respect´eeω<sub>a</sub><sup>∗</sup> =v2π/(4(xq+`)).

En b) et en c), l’´echange J atteint des valeurs tr`es grandes comparables `a J ∼ (g⁽¹⁾g⁽²⁾)^1/2 alors que les qubits sont plac´es au mˆeme endroit dans le r´esonateur. Le r´esonateur procure un couplage capacitif direct entre les deux qubits suivant Jdirect de l’ ´Eq. (3.74).

des qubits. Alors que l’amplitude de J d´etermine la vitesse des portes logiques `a deux qubits [79], la possibilit´e d’ajuster J sur demande peut s’av´erer utile pour le calcul. Fi-nalement, bien que l’extinction compl`ete de l’´echange virtuel J = 0 ne se produise que lorsque ω_a⁽¹⁾ =ω_a⁽²⁾, l’´echange virtuel est toutefois largement att´enu´e (J/2π . 1MHz) si ω_a⁽²⁾ est loin de la r´esonance avec le r´esonateur.

Ainsi, non seulement le qubit dans un r´esonateur peut-il ˆetre isol´e du bruit de l’en-vironnement ext´erieur, mais ´egalement de toutes les autres sources agissant `a travers le r´esonateur. On pourrait alors utiliser la r´etroaction des miroirs du r´esonateur pour concevoir une m´emoire quantique avec des qubits supraconducteurs. Cette m´ethode pour isoler un qubit du bruit se compare avantageusement `a une autre approche plus directe en pla¸cant un filtre coupe-bande apr`es le port de sortie, en s´erie avec le r´esonateur [87].

L’avantage de ce«filtre Purcel»est que le gain en temps de d´ecoh´erence ne d´epend que du facteur de qualit´e du filtre. Par contre, ce filtre est un ´el´ement de circuit additionnel sur la puce qui prend beaucoup d’espace et qui n’apporte aucune protection pour le bruit provenant d’autres sources `a l’int´erieur du r´esonateur.