R´ esonateurs non homog` enes id´ eaux

a celui-ci. `A la prochaine section, on voit qu’on peut ´egalement alt´erer localement les propri´et´es ´electriques du r´esonateur afin d’amplifier l’amplitude de ces fluctuations

2.4 R´ esonateurs non homog` enes id´ eaux

Le mod`ele de r´esonateur trait´e pr´ec´edemment suppose qu’il est uniforme sur sa lon-gueur. Bien qu’il soit possible de fabriquer de tels syst`emes, cela suppose n´eanmoins qu’il est isol´e de son environnement de par l’absence de capacit´es ou d’inductances de couplage

`

a d’autres circuits `a proximit´e. Par exemple, on note l’absence de ports d’entr´ee et de sortie de signal permettant de sonder en transmission et en r´eflexion la r´eponse du r´ esona-teur. Tel que mentionn´e au premier chapitre, afin de coupler directement les fluctuations quantiques de courant du r´esonateur `a un qubit de flux, on pourrait ˆetre tent´e d’alt´erer localement l’inductance de la ligne pour maximiser le couplage. Je vais alors g´en´eraliser l’approche des modes propres d’oscillations utilis´ee pr´ec´edemment pour y inclure l’effet de ces alt´erations au circuit de base du r´esonateur coplanaire. Je me concentre dans cette section aux alt´erations distribu´ees et aux ports d’entr´ee/sortie.

2.4.1 Alt´ erations distribu´ ees

Par un changement des dimensions de l’´electrode et des plans de masse le long de la ligne, la capacit´e et l’inductance totale (g´eom´etrique et cin´etique) sont alors des fonctions de la position C⁰(x) et L⁰(x). De ce fait, la densit´e lagrangienne L[x] est

L[x] = C⁰(x) ˙ψ²(x, t)

2 −(∂_xψ(x, t))²

2L⁰(x) . (2.73)

L’´equation du mouvement du champ ψ(x, t) d

dx

"

1 L⁰(x)

∂ψ(x, t)

∂x

#

=C⁰(x) ¨ψ(x, t), (2.74)

d´epend alors explicitement des variations locales des propri´et´es de la ligne. Pour la r´ e-soudre, on suit la m´ethode de d´ecomposition du champ sur une base de modes u_m(x) oscillants de fr´equences ωm telle que d´efinie `a la section §2.3. En consid´erant des condi-tions aux fronti`eres ouvertes, l’´equation du mouvement ´Eq. (2.74) prend la forme d’une

§2.4. R´esonateurs non homog`enes id´eaux 41

o`u les fonctions propres u_m(x) de fr´equences propres ω_m forment une base orthogonale.

Les modes n’ayant pas tous la mˆeme variation dans la r´egion o`u se situe l’alt´eration, celle-ci ne modifie pas autant chacun des modes. Ainsi, les fr´equences propres ne sont pas uniform´ement s´epar´ees et ne sont pas des multiples entiers de la fr´equence fondamentale, ω_m 6=m×ω₁. Dans une telle situation, le r´esonateur est ditinharmonique.

Les solutions de l’´Eq. (2.75) respectent le produit scalaire pond´er´e suivant hu_m(x)·u_n(x)i=

Z `

−`C<sup>0</sup>(x)u<sub>m</sub>(x)u<sub>n</sub>(x)dx=C<sub>Σ</sub>δ<sub>mn</sub>. (2.76) o`u C_Σ =^R<sub>−`</sub><sup>`</sup> C⁰(x)dx. Tout comme dans le cas homog`ene, on peut montrer que le produit scalaire des d´eriv´es est pond´er´e de mani`ere analogue

h∂_xu_m(x)·∂_xu_n(x)i=

Z `

−`

1

L⁰(x)∂_xu_m(x)∂_xu_n(x)dx=C_Σω²_mδ_mn. (2.77) Par le choix de CΣ comme constante de normalisation, `a la fois l’´equation du mouvement et les produits scalaires se r´eduisent au cas du r´esonateur homog`ene lorsque C⁰(x) et L⁰(x) sont constantes.

Sous cette forme pond´er´ee, les produits scalaires aux ´Eqs. (2.76) et (2.77) sont direc-tement reli´es aux ´energies capacitive et inductive totales du lagrangien. Il n’est pas alors surprenant de comprendre que le lagrangien total d’un r´esonateur, homog`ene ou non, soit diagonal dans cette base avec

On peut comprendre intuitivement l’effet des alt´erations par une analogie avec une corde o`u la densit´e lin´eique est analogue `a C⁰ et que la tension est analogue `a1/L<sup>0</sup>. Une augmentation locale de la densit´e de la corde contribue `a son inertie et provoque une diminution de l’amplitude de son mouvement d’oscillation donn´e par u_m(x). Par ailleurs, une augmentation locale de la tension de la corde contribue `a sa rigidit´e et a pour effet de diminuer l’amplitude des variations du mouvement de la corde sur sa longueur, ou

∂_xu_m(x). On aurait alors tout avantage `a alt´erer les propri´et´es de la ligne `a des endroits sp´ecifiques pour maximiser l’effet souhait´e. Par exemple, pour augmenter la variation du champ dans l’espace d’un mode donn´e du r´esonateur, on choisit d’augmenter grandement l’inductance l`a o`u le mode varie le plus, c’est-`a-dire pr`es d’un noeud du champ ψ_m(x).

Sauf qu’en de rares cas o`u les fonctions C⁰(x) et L⁰(x) sont triviales, les solutions de l’´equation diff´erentielle de Sturm-Liouville ne peuvent ˆetre trouv´ees que num´eriquement.

Dans ce travail, j’ai eu recours `a une librairie scientifique MATLAB libre d’acc`es appel´ee MATLISE [64]. Le calcul num´erique des modes du r´esonateur non homog`ene est par contre instable lorsque la taille de la r´egion alt´er´ee est petite par rapport `a la longueur totale du syst`eme. `A moins que la variation des propri´et´es ´electriques soit tr`es importante par rapport au cas homog`ene, les perturbations que l’alt´eration engendre sont tr`es petites.

Dans une tr`es bonne approximation, on pourra dans ce cas n´egliger l’impact de l’alt´eration sur la forme des modes propres et simplement renormaliser la capacit´e totale C<sub>Σ</sub> et l’inductance effective L<sub>m</sub> de sorte `a tenir compte du d´ecalage en fr´equence qu’elle procure.

Par exemple, la capacit´e de couplage C_g entre l’´electrode et un qubit de charge plac´e

`

a une extr´emit´e du r´esonateur contribue, `a la hauteur de C<sub>g</sub>u<sup>2</sup><sub>m</sub>(x) ˙ψ<sub>m</sub><sup>2</sup>/2 `a l’´energie ´ elec-trostatique. Comme le champ est d’amplitude maximale avec |u_m(x = ±`)| = √

2 `a cet endroit, les nouvelles fr´equences propres du r´esonateur ω_m⁰ s’obtiennent depuis les anciennes ωm par renormalisation de la capacit´e totale suivant

ω⁰_m ≈ω_m

v u u t

C_Σ

C_Σ+ 2C_g. (2.79)

Le d´ecalage en fr´equence qui en r´esulte est habituellement tr`es faible. Pour un trans-mon dans un r´esonateur, par exemple, on obtient typiquement un d´ecalage vers le rouge d’environ 50MHz sur un mode de ω₁/2π ∼5GHz, soit une correction de ∼1%.

Dans le cas o`u cette approximation ne peut ˆetre faite, il est alors pr´ef´erable de traiter l’alt´eration comme un circuit discret ins´er´e dans la ligne et une solution analytique exacte des modes propres peut ˆetre trouv´ee. Dans la prochaine section, on s’int´eresse au cas des capacit´es de couplages des lignes d’entr´ee et de sortie.

2.4.2 R´ esonateur avec ports d’entr´ ee et de sortie

Afin de contrˆoler et mesurer l’´etat du r´esonateur, on place des lignes `a transmission

`

a proximit´e de l’entr´ee (`a gauche) et de la sortie (`a droite) de l’´electrode centrale du

§2.4. R´esonateurs non homog`enes id´eaux 43

Figure 2.5: R´esonateur avec ports d’entr´ee et de sortie. En couplant capacitivement des lignes `a transmissions `a l’´electrode centrale du r´esonateur, on peut mesurer la r´eponse spectrale du r´esonateur en analysant le signal transmis du port d’entr´ee (`a gauche) vers le port de sortie (`a droite). Comme ces lignes sont des environnements ´electromagn´etiques bruyants, leur imp´edance Z(ω) cause la relaxation radiative des photons du r´esonateur.

r´esonateur comme `a la Fig. 2.5. Ce faisant, une capacit´e de couplage se d´eveloppe et le circuit repr´esentant la ligne `a transmission r´esonante est modifi´e. Le lagrangien total du circuit est dans ce cas d´ecrit par

L=L_r+L_e+L_s+L_r,e+L_r,s, (2.80)

c’est-`a-dire la somme des lagrangien du r´esonateurL_r, des lignes d’entr´ee et de sortie L_e et L_s ainsi que les lagrangiens d’interaction capacitive entre le r´esonateur et les lignes L_r,e(s) qui sont donn´es par (α ∈ {e,s})

L_r,α = C_α 2

Ψ˙_α(x_α, t)−ψ(x˙ _α, t)², (2.81)

o`u x<sub>α</sub> indique la position de la capacit´e de couplage C<sub>α</sub> et Ψ<sub>α</sub>(x, t) est le champ `a l’int´erieur des lignes. L’ajout de ces ports permet de soumettre le r´esonateur `a un signal d’excitation et de le mesurer `a la sortie. Ces lignes sont aussi des environnements bruyants d’imp´edance Z(ω)et peuvent ˆetre une source dominante de d´ecoh´erence du syst`eme. Pour l’instant, on ne s’int´eresse qu’au r´esonateur et `a l’effet des capacit´es de couplage sur les modes du r´esonateur, le d´etails des lignes d’entr´ee et de sortie n’´etant pas pertinents pour cette analyse.

D´esireux d’avoir un long temps de d´ecoh´erence pour le r´esonateur, les capacit´es de

couplages sont alors tr`es petites C<sub>α</sub> C<sub>Σ</sub> et comme je l’ai mentionn´e `a la section pr´ec´edente, leur impact est tout `a fait n´egligeable si elles sont situ´ees sur le long du r´esonateur. Lorsque plac´ees aux extr´emit´es, cependant, elles perturbent les conditions aux fronti`eres et `a partir des ´equations du mouvement en x=±` on trouve

C_eψ(−`, t)¨ − 1

pour une ligne homog`ene. En d´ecomposant sur la base des modes u_m(x) de la forme g´en´erale de l’´Eq. (2.60), la phase ϕ_m et les vecteurs d’ondes k_m sont solutions d’un ensemble d’´equations coupl´ees

Ainsi, la phase relative ϕ_m est d´etermin´ee par le ratio de l’imp´edance de la capacit´e ZCe(ω) = (iωCe)⁻¹ avec l’imp´edance caract´eristique Z⁰ = ^qL⁰/C⁰ du r´esonateur. Par injection de l’´Eq. (2.84) dans l’´Eq. (2.85), une ´equation transcendante pour les vecteurs d’ondek_m est obtenue dont la solution peut ˆetre d´etermin´ee num´eriquement.

Bien que les conditions aux fronti`eres soient maintenant non triviales, il demeure que le probl`eme reste un cas particulier du r´esonateur non homog`ene. En effet, en ´ecrivant la capacit´e C⁰(x)sous la forme

C⁰(x) = C⁰+C_eδ(x+`) +C<sub>s</sub>δ(x−`), (2.86) les produits scalaires pond´er´es aux ´Eqs. (2.76) et (2.77) demeurent valides avec la capacit´e totale C_Σ = ^R<sub>−`</sub><sup>`</sup> C⁰(x)dx. On note que le r´esonateur perd sa propri´et´e de sym´etrie sous r´eflexion par rapport `a son centre lorsque les capacit´es sont diff´erentes C<sub>e</sub> 6=C<sub>s</sub>. En plus de voir leur fr´equence d´ecal´ee vers le rouge, les modes propres se trouvent aussi `a ˆetre d´eplac´es dans l’espace vers l’extr´emit´e ayant la plus grande capacit´e.

Les conditions aux fronti`eres sont d´ependantes de la fr´equence et comme les capacit´es en s´eries agissent comme filtres passe-haut, il est alors tr`es instructif de comprendre les limites aux basses et aux hautes fr´equences des modes du r´esonateur. Avec de petites