Equation maˆıtresse de Born-Markov ´

On d´esire maintenant savoir comment la dynamique du syst`eme quantique est affect´ee par l’interaction avec son environnement. Dans l’approximation du couplage faible et d’un environnement ayant une dynamique propre rapide, l’´equation du mouvement de la matrice densit´e du syst`eme est d´ecrite par l’´equation maˆıtresse de Born-Markov [60].

Pour un syst`eme quantique d’hamiltonien libre Hˆ<sub>0</sub> coupl´e `a son environnement Hˆ_B selon l’´Eq. (2.37) par le biais deHˆ_Int, le syst`eme en totalit´e est d´ecrit par¹

Hˆ = ˆH₀+ ˆH_B+ ˆH_Int (2.48)

De mani`ere tout `a fait g´en´erale, l’interaction avec le bain prend la forme Hˆ_Int =^X

ν

λ_νa^†b_ν+ab^†_ν, (2.49)

dans l’approximation s´eculaire qui consiste `a n´egliger les termes proportionnels `aa^†b^†_ν+ab_ν

1. Le terme d’interaction originant d’un terme quadratique proportionnel `a P

νην( ˆψν −ψ)ˆ ², il re-normalise la fr´equence naturelle de r´esonance selon∆ω²=−P

νη_ν/C_Σ. Comme cette renormalisation provient de la mod´elisation d’une r´esistance par un ensemble d’oscillateurs, elle n’a pas d’origine phy-sique et doit ˆetre annul´ee par l’ajout d’un terme suppl´ementaire dans l’hamiltonien. Dans le but de simplifier la discussion, dans cette th`ese je supposerai que cette annulation a d´ej`a ´et´e effectu´ee et seules les renormalisations d’origines physiques seront explicites.

qui oscillent `a des fr´equences |ω<sub>0</sub> +ω<sub>ν</sub>| tr`es rapides sur l’´echelle de temps dict´ee par l’interaction avec le bain 1/λ_ν. Dans la repr´esentation d’interaction,Hˆ_Int prend la forme

Hˆ_Int⁰ =B^†(t)a_me^−iωmt+B(t)a^†_me^iωmt, (2.50) avec de nouveaux op´erateurs de bain agissant sur l’oscillateur selon

B^†(t) =^X

ν

λ_νb^†_νe^iωνt. (2.51)

Bien qu’il soit en pratique impossible de d´eterminer la dynamique exacte du syst`eme et de son environnement, on r´eussit `a obtenir une ´equation du mouvement pour la matrice densit´e r´eduite ρS du syst`eme en int´egrant les degr´es de libert´e de l’environnement dans le cadre de certaines approximations. Le d´etail rigoureux de la d´emarche sortant du cadre de cette th`ese, on r´esume ici l’essentiel de l’approche telle qu’il se retrouve dans les R´efs. [60,61].

Tout d’abord, on suppose que le syst`eme et le bain sont mis en interaction au temps t= 0 et qu’ils sont initialement s´eparablesρ(0) = ρ<sub>S</sub>(0)⊗ρ<sub>B</sub>(0). Dans l’approximation de Born, on consid`ere que le couplage est faible et l’environnement suffisamment imposant de sorte que le syst`eme n’affecte pas ce dernier, ainsi on peut prendre ρ(t)≈ρ_S(t)⊗ρ_B(0).

En supposant que l’environnement comporte un grand nombre de degr´es de libert´e `a l’´equilibre thermodynamique, il poss`ede une dynamique interne tr`es rapide. Le couplage avec l’environnement ´etant faible, le syst`eme n’a donc une influence significative sur son

´

evolution que sur une ´echelle de temps dict´ee par l’interaction Hˆ_Int qui est tr`es longue en comparaison `a la dynamique interne du bain. On peut d`es lors supposer que l’´etat de l’environnement au temps t est dict´e par la statistique et ne d´epend essentiellement pas des temps ant´erieurs, restreignant les fonctions de corr´elations des op´erateurs du bain

`

a des temps tr`es courts. C’est grˆace `a cette approximation de Markov que l’interaction avec l’environnement donne lieu aux processus incoh´erents de dissipation et d’excitation thermique du syst`eme quantique. Finalement, c’est par l’int´egration des degr´es de libert´e de l’environnement que survient l’irr´eversibilit´e de ces processus.

Dans cette th`ese, je m’int´eresse particuli`erement `a la dynamique d’un oscillateur har-monique coupl´e `a son environnement. Dans l’approximation de Born-Markov, je montre

`

a l’Annexe A que l’´equation maˆıtresse de l’oscillateur dans la repr´esentation d’interaction

§2.2. Th´eorie quantique de la dissipation dans les circuits 33 prend la forme standard de l’optique quantique [60]

˙

ρI =−i∆^ha^†a, ρI

i+κ(ω₀)D[a]ρI+κ(−ω₀)D[a^†]ρI, (2.52) en d´efinissant le super-op´erateurD[O] agissant surρ tel queD[O]ρ= (2OρO^†−O^†Oρ− ρO^†O)/2. L’interaction de l’oscillateur avec les fluctuations quantiques du vide de l’envi-ronnement donne lieu `a un d´ecalage de Lamb ∆de la forme

∆ =^X

ainsi qu’`a un taux d’´emission spontan´eeκ(ω₀) de l’oscillateur donn´e par κ(ω) = ^X

ν

2πλ²_ν(n_th(ω_ν) + 1) [δ(ω−ω_ν) +δ(ω+ω_ν)]. (2.54) A temp´` erature finie, l’environnement procure un d´ecalage de Stark des niveaux, en plus d’exciter thermiquement l’oscillateur au taux κ(−ω<sub>0</sub>). Dans les ´Eqs. (2.53) et (2.54), on reconnaˆıt imm´ediatement des expressions communes `a la formulation d’admittance et d’imp´edance g´en´eralis´ees. Ainsi, le taux d’´emission spontan´ee κ(ω) est proportionnel `a l’une ou l’autre des densit´es spectrales de bruit de l’environnement.

On note que la d´ependance en fr´equence des couplagesλν est cruciale dans la conver-gence de la s´erie d´eterminant le d´ecalage de Lamb. Toutefois, l’exp´erience montre que cette quantit´e physique est finie et mesurable comme il a ´et´e montr´e par Lamb et Ru-therford pour l’atome d’hydrog`ene [1]. Tel que mentionn´e au premier chapitre, dans le cas atomique, il est cependant n´ecessaire d’employer la th´eorie de la renormalisation et les effets relativistes pour ´eliminer les divergences et d´eterminer pr´ecis´ement ∆. Comme le pr´esent mod`ele simpliste ne peut ˆetre valide pour toutes les fr´equences, on peut in-voquer l’emploi d’une fr´equence de coupure ultraviollette ad hoc pour l’interaction pour ainsi borner la sommation. Historiquement, c’est en partie grˆace `a cette approche que Bethe [2] a pu obtenir un estim´e du d´ecalage pour l’atome d’hydrog`ene tr`es pr`es de la valeur exp´erimentale.

Etant maintenant en mesure de comprendre des circuits quantiques simples avec dis-´ sipation, j’applique maintenant ces notions aux r´esonateurs supraconducteurs.