R´ egime dispersif multimode

proportionnelle `a √

ω_m et o`u on d´efinit les ´el´ements de matrice du dipˆole selon n_jk = hj|nˆ|ki=i| hj|nˆ|ki | .

On peut appr´ecier la richesse du contenu de l’hamiltonien de Rabi multimode par le nombre d’approximations n´ecessaires pour obtenir l’hamiltonien Jaynes-Cummings `a un mode [17,79]

H_JC =~ω_ra^†a+~ω_a

2 σ_z+~g(a^†σ−+aσ₊), (3.42)

souvent employ´e pour caract´eriser les r´ealisations exp´erimentales. Pour y arriver, on doit d’abord tronquer l’espace de Hilbert du r´esonateur `a un seul mode. Il faut ensuite prendre la limite grandes longueurs d’ondes pour le couplage de sorte que C<sub>g,m</sub> →C−,0. Finalement, on arrive `a la forme ´Eq. (3.42) apr`es avoir fait l’approximation s´eculaire qui n´eglige les termes en (a^†σ₊+aσ−).

La bonne question qui doit ˆetre pos´ee `a ce stade-ci est la suivante : A quel point le` mod`ele de Jaynes-Cummings `a un mode s’´eloigne-t-il du mod`ele exact pour les param`etres exp´erimentaux pertinents ? Formellement, le calcul analytique des ´etats propres de cet hamiltonien serait n´ecessaire pour faire une ´etude exacte de l’impact des harmoniques sup´erieures, mais ce dernier d´eborde malheureusement du cadre de cette th`ese².

Toutefois, dans la limite dispersive pertinente pour la plupart des exp´eriences dans le domaine et o`u le d´esaccord de fr´equence respecte |ω<sub>a</sub>− ω<sub>m</sub>| g<sub>m</sub>, une th´eorie de perturbation constitue une bonne avenue pour comprendre la physique du syst`eme o`u les harmoniques sup´erieures sont inclues. La r´eponse `a cette question sera alors contenue dans le calcul des quantit´es dispersives de ce mod`ele. La prochaine section s’attarde `a la description multimode du r´egime dispersif.

3.3 R´ egime dispersif multimode

Il serait tentant d’invoquer maintenant l’approximation s´eculaire pour r´eduire l’hamil-tonien de l’´Eq. (3.34) `a une forme Jaynes-Cummings. Cette approximation n’est pas ad´ e-quate dans l’approche multimode puisque pour les modes de fr´equence ´elev´eeω<sub>m</sub> ω<sub>a</sub>, les termes non-s´eculaires et s´eculaires oscillent `a des fr´equences comparables alors que ω_m+ω_a ∼ω_m−ω_a. L’approche perturbative doit inclure l’effet des termes non-s´eculaires

2. La solution analytique exacte du mod`ele de Rabi standard n’a ´et´e obtenue que r´ecemment par Daniel Braak [80] suite aux d´eveloppements entourant le couplage ultrafort dans les circuits supracon-ducteurs qui seront discut´es au chapitre§5 de cette th`ese

du couplage lumi`ere-mati`ere en plus des harmoniques sup´erieures du r´esonateur.

3.3.1 Syst` eme ` a un qubit

Dans le r´egime dispersif o`u|ω<sub>a</sub>−ω<sub>m</sub>| g<sub>m</sub>, l’´echange d’´energie entre le qubit et le r´ e-sonateur est fortement inhib´e. L’hamiltonien de Rabi est diagonalis´e approximativement par une transformation unitaire en utilisant une approche perturbative similaire `a ce qui est fait pour l’hamiltonien de Jaynes-Cummings `a un mode [14]. On d´efinit la matrice de transformation unitaire U

U =exp

( X

m

[Λmamσ++βmamσ−−c.h.]

)

, (3.43)

qui est une fonction des op´erateurs d’´echelle du qubit et du r´esonateur similaire `a l’hamil-tonien d’interaction du syst`eme. En utilisant la formule de Campbell-Baker-Haussdorff, l’hamiltonien dispersifH_D =U H_SU^† est d´ecrit par une s´erie de commutateurs. Jusqu’au deuxi`eme ordre des petits param`etres Λ_m etβ_m, l’hamiltonien dispersif H_D s’´ecrit

H_D =e^AˆH_Se^−Aˆ =H_S+^hA, Hˆ _Sⁱ+1 2

hA,ˆ ^hA, Hˆ _Sⁱⁱ+· · · . (3.44) A l’annexe` §D, je montre que cette transformation unitaire diagonalise l’hamiltonienH<sub>S</sub> au deuxi`eme ordre en Λ_m, β_m avec

Λ_m ≡ g_m

∆_m, β_m ≡ g_m

Σ_m, (3.45)

o`u ∆<sub>m</sub> ≡ ω<sub>a</sub>−ω<sub>m</sub> etΣ<sub>m</sub> ≡ ω<sub>a</sub>+ω<sub>m</sub>. Comme il a ´et´e discut´e au premier chapitre, il en r´esulte un hamiltonien dispersif similaire `a l’´Eq. (1.4)

H_D ≈^X

m

~ω_ma^†_ma_m+ ~

2(ω_a+δ_r)σ_z+^X

m

~χ_ma^†_ma_mσ_z, (3.46) mais qui comprend tous les modes du r´esonateur ainsi que leur influence sur le d´ecalage de Lamb δ_r et l’effet Stark χ_m. Suite `a la transformation, les op´erateurs d’´echelles du

§3.3. R´egime dispersif multimode 75 syst`eme sont des combinaisons lin´eaires d’op´erateurs du qubit et du r´esonateur

U a^†_mU^†≈a^†_m+λmσ₊+βmσ−, (3.47)

U σ₊U^†≈σ₊+^X

m

λ_ma^†_m−β_ma_m. (3.48)

Dans cette bas´ee habill´ee, les transitions virtuelles avec les modes du r´esonateur renor-malisent la fr´equence du qubit ω_a par un d´ecalage de Lamb δ_r

alors que la pr´esence de photons dans le r´esonateur produit un d´ecalage de Stark χm

χ_m =g_m²

La contribution en g_m²/Σ_m est le d´ecalage de Bloch-Siegert [81] et provient de l’effet dispersif des termes non-s´eculaires et n’est d´etectable exp´erimentalement que lorsque le couplage g_m n’est plus n´egligeable devant ω_a+ω_m [54]. Par cette contribution, les termes non-s´eculaires procurent une d´ependance en1/ω_madditionnelle `a la s´erie deδ<sub>r</sub> par rapport `a l’extension multimode simplisteδ_r=^P_mg_m²/∆_m de ´Eq. (1.8) faite au premier chapitre. Avec un couplage dipolaire ´electrique g_m ∝ √

ω_m tel qu’obtenu `a l’´Eq. (3.41), la s´erie du d´ecalage de Lamb devientδr ∝<sup>P</sup><sub>m</sub>ω<sup>−1</sup><sub>m</sub> et diverge tout de mˆeme de mani`ere logarithmique.

3.3.2 Syst` eme ` a deux qubits

En pr´esence d’un ou plusieurs autres qubits dans le syst`eme l’approximation dispersive doit ˆetre effectu´ee pour chacun d’eux. L’hamiltonien `a plusieurs qubits d’indice j ´etant de la forme il peut ˆetre approximativement diagonalis´e dans le r´egime dispersif suivant la mˆeme m´ethode qu’`a un qubit [79]. Encore ici, on g´en´eralise l’approche en incluant les termes contre-rotatifs et les harmoniques sup´erieures du r´esonateur. `A partir de la matrice

uni-taire U `a plusieurs qubits suivant les ´Eqs. (3.49) et (3.50), les fluctuations du champ du r´esonateur procurent une interaction d’´echange effective qubit-qubit d’amplitudeJ par l’entremise de l’´emission et de la r´eabsorption de photons virtuels dans le r´esonateur. D´ecrit par la formule

J =^X

l’´echange virtuel est optimal lorsque les deux qubits sont en r´esonance ω_a⁽¹⁾ =ω_a⁽²⁾. Contrairement au d´ecalage de Lamb, les termes non-s´eculaires de l’hamiltonien de Rabi ont une contribution dispersive qui s’oppose aux termes s´eculaires et ne changent pas la d´ependance en ω_m de la s´erie. Tout comme la formulation multimode simpliste propos´ee au premier chapitre `a l’´Eq. (1.9), l’expression `a l’´Eq. (3.54) de l’´echange virtuel diverge en J ∝^P_m(−1)^m `a cause de la d´ependance de g_m ∝ω_m^1/2.

3.3.3 Effets dispersifs de l’interaction avec le bain

Pour tenir compte des effets dispersifs des bains sur le syst`eme, la transformation unitaire doit ˆetre appliqu´ee ´egalement aux termes d’interaction syst`eme-bain de l’hamil-tonien total.

§3.3. R´egime dispersif multimode 77 Ainsi, suivant l’´Eq. (3.47) toute interaction r´esonateur-bain H_rB de la forme

HrB =^X

m,ν

λm,ν(a^†_m−am)(b^†_ν −bν), (3.55)

procure une interaction dispersive du qubit avec le bain U H_rBU^†≈H_rB+^X

ν

~Γ_ν(σ₊−σ−)(b^†_ν−b_ν), (3.56) o`u l’amplitude d’interaction Γ_ν est donn´ee par

Γ_ν ≡^X

m

λ_m,ν(Λ_m−β_m). (3.57)

Suivant la th´eorie quantique de la dissipation et l’´equation maˆıtresse de Born-Markov

`

a la Section §2.2.3, les fluctuations du vide du r´esonateur participent au processus de relaxation du qubit au taux γ_κ tel que

γ_κ = 2π^X

ν

|Γ_ν|²[δ(ω_ν−ω_a) +δ(ω_ν +ω_a)]. (3.58) De mani`ere r´eciproque, tout processus de d´ecoh´erence affectant le qubit se trouve

`

a affecter l’´etat du r´esonateur de mani`ere dispersive. Depuis l’hamiltonien d’interaction qubit-bain H_qB,

H_qB =^X

ν

ξ_ν(σ₊−σ₋)(b^†_ν −b_ν), (3.59)

une interaction r´esonateur-bain survient dans le r´egime dispersif U HqBU^†≈HqB+^X

ν,m

~ξ_m,ν⁰ (a^†_m−am)(b^†_ν −bν), (3.60) avec l’amplitude ξ_m,ν⁰ = ξ_ν(Λ_m +β_m). Tout comme pr´ec´edemment, les fluctuations de l’´etat du qubit procurent un taux de relaxation κ_γ,m du mode m du r´esonateur selon

κ_γ,m = 2π^X

ν

|ξ_ν,m|²[δ(ω_ν −ω_m) +δ(ω_ν +ω_m)]. (3.61) Comme je m’int´eresse `a d´eterminer l’effet de l’environnement ´electromagn´etique sur le qubit, je vais me concentrer sur l’effet des ports d’entr´ee et de sortie du r´esonateur sur

le temps de relaxation du qubit.

3.3.4 L’effet Purcell

A la section pr´` ec´edente, j’ai montr´e que l’interaction d’un bain avec le r´esonateur affecte indirectement le qubit dans l’approximation dispersive. Pour l’interaction du r´ e-sonateur avec les lignes d’entr´ee et de sortie de signal, on rappelle que le couplage λ^(α)_m,ν avec le portα =e,s s’´ecrit [´Eq. (2.104)]

Le taux de relaxation radiatif γ_κ est alors γ_κ = 2

Dans ce mod`ele de bruit, les lignes d’entr´ee/sortie sont des imp´edances complexe Z[ω]

`

a l’´equilibre thermique procurant une densit´e spectrale de bruit de potentiel S_VˆVˆ(ω) = 2~ω(n_th(ω) + 1)<{Z[ω]}. `A l’´Eq. (3.63) on voit que chaque mode du r´esonateur filtre le bruit de l’environnement avec une fonction f_m^(α)

f_m^(α)(ω) = gmCα

2C_Σ u_m(x_α)^qC_R,mω_m 2ωm

ω²−ω_m² . (3.64)

Piqu´ee en ω=±ωm, la fonction filtre att´enue fortement le bruit aux fr´equences loin des r´esonances de sorte `a diminuer le taux d’´emission spontan´ee du qubit, correspondant ainsi

`

a l’effet Purcell [13]. Par la forme multimode deγ_κ `a l’´Eq. (3.63), l’effet Purcell r´esulte de l’interf´erence des multiples canaux de d´ecoh´erence que constituent les diff´erents modes du r´esonateur.

En comparant avec l’expression simple `a un mode γ<sub>κ</sub> = κ g<sup>2</sup>/∆<sup>2</sup> mentionn´ee en au premier chapitre `a l’´Eq. (1.6), l’expression multimode de l’´Eq. (3.63) est plus compl`ete alors qu’elle inclut le d´etail de la g´eom´etrie et des conditions fronti`eres du circuit, ainsi que les sp´ecificit´es du mod`ele de bruit de l’environnement ´electromagn´etique. Cependant, la s´erie de l’effet Purcell obtenue `a l’´Eq. (3.63) en1/ωm en d´epit du fait qu’elle comprend le comportement en u_m(x_α) ∝ 1/ω_m du champ du r´esonateur aux fronti`eres dans les hautes fr´equences (voir§2.4.2).