Lagrangien de l’architecture ` a ´ EDQ en circuit

a un r´ esonateur

Le circuit typique de l’architecture `a ´electrodynamique quantique en circuit est sch´ e-matis´e `a la Fig. 3.3, o`u un transmon est plac´e dans l’interstice d’un r´esonateur coplanaire supraconducteur. Comme il a ´et´e mentionn´e en introduction, ce syst`eme est d´ecrit par l’hamiltonien de Jaynes-Cummings [14] o`u l’interaction forte entre le qubit et un mode du r´esonateur permet l’observation d’effets quantiques entre un atome et un photon [15].

Contrairement `a ce qui est habituellement fait dans la litt´erature, je m’attarde dans cette section `a la description du circuit complet de l’architecture r´esonateur+transmon en utilisant la repr´esentation distribu´ee du circuit et des modes propres d’oscillations. On verra que l’architecture est d´ecrite par un hamiltonien de Rabi multimode dont l’hamil-tonien Jaynes-Cummings usuel `a l’´Eq. (1.1) est une approximation.

3.2.1 Lagrangien de l’architecture ` a ´ EDQ en circuit

Dans la repr´esentation distribu´ee du circuit, chaque pi`ece m´etallique de l’architecture poss`ede une capacit´e et une inductance intrins`eque. Pour ˆetre repr´esentatif de la r´ealit´e exp´erimentale, les deux plans de masses du r´esonateur coplanaire sont consid´er´es comme

ind´ependants l’un de l’autre. Dans un mod`ele quasi-unidimensionnel, la g´eom´etrie en forme de doigts intercal´es des plaques m´etalliques du transmon ne fait que renormaliser la capacit´e et l’inductance par unit´e de longueur, une approximation ad´equate ´etant donn´e la longueur tr`es courte et l’espacement uniforme des doigts.

Comme toutes les pi`eces m´etalliques sont `a proximit´e les unes des autres, une capacit´e se d´eveloppe entre chacune d’elles pour former un r´eseau complexe tel que repr´esent´e `a la Fig. 3.3a). Suivant la num´erotation d´ecrite dans la l´egende de la Fig. 3.3 et consid´erant la jonction `a la position x = x_J, on d´efinit un champ ψ_i(x) pour chacune des pi`eces supraconductrices. Depuis la description lagrangienne des circuits distribu´es de la section

§2.3, le lagrangien de l’architecture de la Fig. 3.3 s’´ecrit L= ^X

soit la somme sur toute la puce des termes capacitifs dont on soustrait la somme des termes inductifs. Dans cette notation, `a la fois les champs, les capacit´es et les inductances sont d´efinis localement et o`u la capacit´e C_ij est celle d´evelopp´ee entre les ´el´ements i et j. Dans le d´etail, on a : 1 est le plan de masse inf´erieur, 2 et 3 sont les ´electrodes du transmon, 4 est ´electrode centrale du r´esonateur, 5 est plan de masse sup´erieur, 6 et 7 sont les ´electrodes centrales des lignes d’entr´ee et sortie, respectivement. De plus, on a pris soin de s´eparer les ´el´ements ponctuels des ´el´ements distribu´es pour simplifier la description.

Les variables pertinentes ´etant les diff´erences de flux, il est plus appropri´e de d´efinir de nouvelles variables de champ. Pour les plans de masses, on d´efinit les variables ψ±

comme

ψ± ≡ ψ₅±ψ₁

2 , (3.12)

et repr´esentant des oscillations en phase et en quadrature du champs entre les plans. Ce dernier correspond au mode de fente (ouslotline, en anglais) bien connu en micro´ electro-nique [78]. De mˆeme, on d´efinit le champ du r´esonateur ψ_R et les champs `a l’entr´ee et

`

a la sortie ψ_e(s) comme le champ de l’´electrode centrale par rapport au mode commun,

§3.2. Mod`ele `a modes multiples d’un transmon coupl´e `a un r´esonateur 65 soit :

ψR ≡ψ₄−ψ₊, (3.13)

ψ_e≡ψ₆−ψ₊, (3.14)

ψ_s≡ψ₇−ψ₊. (3.15)

Pour le transmon, il est convenu d’utiliser des variables similairesφ± pour les oscillations en phase et en quadrature du champ entre ses plaques, soit

φ± ≡ ψ₃±ψ₂

2 . (3.16)

Finalement, il est tr`es pratique de choisir comme r´ef´erence en tout point de l’espace le mode ψ₊ des plans de masse de sorte qu’on fixera ψ₊(x)≡0 ∀x.

En d´efinissant le vecteur de champsψ~^T ≡ {ψ_e, ψ_s, ψ−, ψ_R, φ₊, φ−}qui est une fonction de la position et du temps, le lagrangien total du circuitL=T −V s’´ecrit d’une mani`ere compacte `a l’aide de la matrice des capacit´es C et des inductances L. Pour le terme cin´etique on a

alors que le terme potentiel s’´ecrit V = 1

La matrice des capacit´es C, de dimension 6×6, d´etermine les capacit´es intrins`eques et de couplages :

Les ´el´ements diagonaux, correspondant aux capacit´es des lignes d’entr´ee et de sortie C⁰_e(s),

alors que les ´el´ements hors-diagonaux, correspondant aux capacit´es de couplage entre les diff´erents ´el´ements de circuits, s’´ecrivent

C⁰_e,SL =C⁰₆₅−C⁰₁₆,

Avec ce choix de variables, le terme de potentiel inductif est diagonal par bloc

[L] =

La structure du r´eseau de capacitance fait en sorte que pratiquement tous les modes d’oscillations dans le syst`eme sont coupl´es entre eux. Il est alors essentiel de choisir une

§3.2. Mod`ele `a modes multiples d’un transmon coupl´e `a un r´esonateur 67 conception de circuit qui ´equilibre le r´eseau de capacit´es et qui minimise les couplages ind´esirables.

Simplifications du circuit

Je proc`ede maintenant `a quelques simplifications qui all`egeront l’analyse du circuit.

L’´electrode centrale de la ligne `a transmission ´etant fabriqu´ee `a ´egale distance des deux plans de masse semi-infinis, on peut prendre C⁰_e,SL =C⁰_s,SL =C⁰_SL,R = 0 sans probl`emes.

Je peux aussi consid´erer la capacit´e parasitaire interne du transmon C⁰_+,- comme ´etant n´egligeable dans la mesure o`u les plans de masses et l’´electrode centrale se couplent `a chacun des ˆılots de mani`ere ´equivalente. En supposant que les ˆılots du transmon aient les mˆemes dimensions, leur inductance devrait ˆetre similaire de sorte qu’on puisse n´egliger toute asym´etrie dans la matrice d’inductance. Ces deux approximations permettent de d´ecoupler les oscillations en phase de celles qui sont en quadrature dans le transmon.

Comme on le voit plus loin, elles simplifient largement l’analyse du transmon pour faire ressortir la physique importante du circuit.

Avant de voir plus en d´etail l’architecture dans son ensemble, une base de modes propres pour le transmon doit ˆetre d´etermin´ee. Pour ce faire, j’analyse le transmon en l’absence de potentiels externes en ne consid´erant que les ´el´ements de matrices n’impli-quants que les variables φ± li´ees `a celui-ci.