G´ eom´ etrie et l’interaction lumi` ere-mati` ere

Ainsi, malgr´e un calcul d´etaill´e de l’hamiltonien dispersif multimode, les s´eries al-g´ebriques des quantit´es dispersives demeurent divergentes. La croissance en √

ω_m du couplage dipolaire ´electriqueg_m en ´etant la cause principale. Comme il a ´et´e mentionn´e pour des atomes en cavit´e, il est commun en optique quantique d’avoir recours `a une approximation de la taille finie de l’atome, ou `a une fr´equence de coupure ultraviolette ad hoc pour s’affranchir des divergences (voir par exemple [60] et [82]). `A la prochaine section, je d´emontre que la taille finie du qubit est appropri´ee dans le contexte des circuits supraconducteurs puisqu’elle permet de r´esoudre les probl`emes de divergence en plus de rendre le mod`ele multimode coh´erent avec la th´eorie des circuits.

3.4 G´ eom´ etrie et l’interaction lumi` ere-mati` ere

Le contexte physique de l’´electrodynamique quantique en circuit est bien diff´erent du cas atomique alors qu’il est r´egit par l’´electromagn´etisme `a la fois pour le r´esonateur, le couplage lumi`ere-mati`ere et pour l’atome artificiel. Il est donc ´etrange de retrouver dans les circuits un couplage dipolaire ´electrique qui croˆıt avec la fr´equence en g_m ∝ √

ω_m, alors que l’imp´edance de la capacit´e responsable du couplage d´ecroit en ZC(ω)∝1/ω. Il semblerait donc que le pr´esent mod`ele d´ecrivant le couplage qubit-r´esonateur ne soit pas ad´equat pour tenir compte de ce fait.

A la section` §2.5.3, on a vu qu’avant de prendre en compte l’influence de la capacit´e sur la condition fronti`ere, le couplage capacitif du r´esonateur aux lignes d’entr´ee et sortie allait commeλ_m ∝√

ω_m. Toutefois, comme la capacit´e agit comme un miroir d´ependant de la fr´equence, celle-ci fait en sorte que le couplage au port acquiert une d´ependance en 1/ω dans les hautes fr´equences. En cons´equence, le couplage d´ecroit en λ_m ∝ω_m^−1/2 et le taux de relaxation du r´esonateur sature au taux de d´echarge κ_m →1/RC bien connu.

Suivant cette mˆeme logique, un qubit de charge plac´e en s´erie avec le r´esonateur d´ e-velopperait un couplage dipolaire ´electrique d´ecroissant en fr´equence avec gm ∝ ω^−1/2_m . Les quantit´es dispersives seraient alors des s´eries convergentes avec des termes propor-tionnels `aω<sup>−3</sup><sub>m</sub> pour le d´ecalage de Lamb δ<sub>r</sub>, et enω<sup>−2</sup><sub>m</sub> pour l’´echange virtuel J et le taux de relaxation radiatif γ<sub>κ</sub>. Il semblerait donc n´ecessaire que g<sub>m</sub> refl`ete le comportement en fr´equence de l’imp´edance de la capacit´e de couplage, mˆeme lorsque le qubit est plac´e `a l’int´erieur du r´esonateur, en parall`ele avec ce dernier.

En pla¸cant le qubit en parall`ele avec l’´electrode centrale du r´esonateur, il est ´egalement parall`ele `a l’axe de propagation des ondes ´electromagn´etiques. Le couplage d´epend alors

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

"""""""""""""

"

Figure 3.4: Effets g´eom´etriques sur le couplage qubit-r´esonateur.Capacit´e de couplage normalis´ee |C_m,g(x_q)/C_g| entre un transmon de longueur 2`<sub>q</sub> = 300 µm et un r´esonateur, en fonction de la fr´equence ωm du mode du r´esonateur. Chaque point indique un mode du r´esonateur. Dans la limite ponctuelle du dipˆole, Cm,g n’est modul´ee que par l’amplitude locale du champ (ligne pointill´ee). Pour un qubit plac´e en s´erie avec le r´esonateur (cercles noirs), la condition `a la fronti`ere impose une d´ecroissance en 1/ωm. Il en va de mˆeme pour un qubit plac´e en parall`ele (carr´es bleus) si la g´eom´etrie du circuit est prise en compte. Param`etres du r´esonateur pour le calcul : r´esonateur avecω<sub>0</sub>/2π= 5 GHz, 2`= 9.4 mm.

de la g´eom´etrie du circuit via le recouvrement des champs ´electriques du qubit et du r´esonateur qui procure la capacit´e de couplage effective C_g,m de l’´Eq. (3.36). `A partir de la forme analytique des modes du r´esonateur u_m(x) de l’´Eq. (2.60) et de la forme du champ du mode de plus basse ´energie du qubit de charge, l’int´egrale de l’´Eq. (3.36) donne

C_g,m =C_R,-sinc[k_m`_q]u_m(x_q). (3.65)

La capacit´e effective d´epend de la position du qubit le long du r´esonateur (x_q) et de la longueur d’onde du mode λ_m = 2π/k_m relative `a la taille du qubit 2`_q.

Lorsque la longueur d’onde est tr`es grande face `a la taille du dipˆole, on a k_m`<sub>q</sub> 1 et le dipˆole est consid´er´e comme ponctuel. Dans cette limite, C<sub>g,m</sub> ≈ 2`_qC⁰_gu_m(x_q), de sorte que gm ∝ √

ωmum(xq) tel qu’attendu [14]. Ce r´esultat est illustr´e en fonction de la fr´equence du mode par la courbe noire pointill´ee de la Fig. 3.4. Il est aussi montr´e

`

a la Fig. 3.4 que pour une taille de transmon typique de 2`<sub>q</sub> ∼ 300 µm, le champ du r´esonateur se moyenne pour les modes o`u k_ml_q . 1. Ce faisant, la capacit´e de couplage effective diminue en fr´equence suivant C_g,m ∝ ω_m⁻¹ ce qui procure une d´ependance en g_m ∝ ω_m^−1/2 pour le couplage dipolaire ´electrique. Pour un qubit plac´e en parall`ele `a la propagation du champ, la g´eom´etrie du circuit permet donc de retrouver le comportement

§3.4. G´eom´etrie et l’interaction lumi`ere-mati`ere 81 en fr´equence de la capacit´e de couplage tel que prescrit par l’´electromagn´etisme.

Le comportement en ω_m^−1/2 du couplage lumi`ere-mati`ere n’est pas unique au couplage dipolaire ´electrique alors qu’il est ´egalement retrouv´e pour l’interaction dipolaire magn´ e-tique. Dans ce cas, ce n’est pas tant le comportement du recouvrement des fluctuations de courant du r´esonateur sur la taille du qubit (donnant l’inductance mutuelle) qui procure la d´ependance d´esir´ee, mais plutˆot parce que les fluctuations magn´etiques sont moins fortes que les fluctuations ´electriques par un facteur 1/ω_m.

Contrairement aux atomes, le couplage lumi`ere-lumi`ere dans les circuits supraconduc-teur d´ecroˆıt en fr´equence `a cause des lois de l’´electromagn´etisme. Grˆace `a cette particula-rit´e propre aux circuits, les quantit´es dispersives peuvent donc ˆetre calcul´ees exactement sans probl`emes.

3.4.1 Convergence des s´ eries dispersives

Comme je l’ai d´emontr´e `a la section pr´ec´edente, l’inclusion des effets g´eom´etriques et des conditions fronti`eres sur le couplage est crucial dans le calcul des expressions des diff´erentes quantit´es dispersives. Bien que les s´eries convergent `a l’infini, elles ne convergent pas au mˆeme rythme. Dans cette section, je v´erifie la convergence et estime l’erreur num´erique sur la somme tronqu´ee en comparant la valeur calcul´ee de la quantit´e dispersive `a un nombre de modes donn´e, `a celle obtenue en utilisant un tr`es grand nombre de ceux-ci (typiquement10⁴).

Des exemples de courbes de convergence pour des transmons dans un r´esonateur sont trac´ees `a la Fig. 3.5 pour δ<sub>r</sub>, J et γ<sub>κ</sub> respectivement. La grande taille du transmon fait en sorte que les calculs convergent rapidement en fonction du nombre de modes, ce qui permet d’atteindre une pr´ecision num´erique inf´erieure `a <1% en utilisant seulement les 30 premiers modes pour le d´ecalage de Lamb, ou environ une centaine pour l’´echange virtuel.

Outre la d´ependance plus forte envers ω_m, l’´echange virtuel J est une s´erie altern´ee dont le signe d´epend de l’amplitude (positive ou n´egative) relative du champ `a l’endroit des deux qubits et converge plus lentement. Finalement, le taux de relaxationγκ n´ecessite davantage de modes (∼3000) pour atteindre une pr´ecision <1% alors que l’interf´erence entre les modes accentue le poids des harmoniques sup´erieures dans le calcul. Toutefois, il est important de remarquer qu’un calcul approximatif n’incluant que quelques modes dans l’approximation s´eculaire ne peut r´ev´eler toute la richesse de l’interaction dispersive

Nombre de modes^{0 40 80}

Erreur absolue sur J [%] Erreur relative sur J [MHz]

Nombre de modes

Figure 3.5: Convergence des quantit´es dispersives. Exemples de calcul d’erreur relative et absolue du d´ecalage de Lamb (a), de l’´echange virtuel (b) et du taux d’´emission spontan´ee en r´esonateur (c) en fonction du nombre de modes utilis´es dans la s´erie des quantit´es disper-sives. La valeur exacte est celle utilisant 10 000 modes. En incluant les effets g´eom´etriques et des conditions fronti`eres du champs dans le circuit ainsi que l’effet dispersif des termes non-s´eculaires d’interaction lumi`ere-mati`ere, les quantit´es dispersives convergent toutes `a des vitesses diff´erentes. Les courbes ont ´et´e liss´ees pour aider la compr´ehension.

entre les qubits et le r´esonateur. `A titre d’exemple, je d´emontre plus loin que seul le calcul pr´ecis deJ etγ<sub>κ</sub> [depuis les ´Eqs. (3.54) et (3.63)] met en ´evidence un effet de r´etroaction des conditions fronti`eres du r´esonateur sur les qubits qui permet d’isoler un qubit de son environnement ´electromagn´etique et de l’utiliser comme m´emoire quantique.

Alors que plusieurs milliers de modes sont n´ecessaires pour obtenir une bonne pr´ecision num´erique sur des quantit´es dispersives, on est en droit de se demander si ces calculs n’outre-passent pas le domaine de validit´e du mod`ele th´eorique du circuit. Entre autres, en sommant jusque dans le domaine des THz on d´epasse largement le gap supraconducteur

∆ du mat´eriau avec ~ω_m >2∆ (avec 2∆∼90 GHz pour l’aluminium et 2∆∼660 GHz pour le niobium) o`u des quasi-particules commencent `a ˆetre excit´ees. Il faut cependant mettre les choses en perspectives. Plus tˆot `a la section §2.5.4, on a montr´e dans le calcul des pertes ohmiques du r´esonateur dues `a l’excitation de quasi-particules que le r´esonateur demeure un bon guide d’ondes malgr´e qu’il devienne r´esistif pour les fr´equences au-del`a du gap supraconducteur, si bien que mˆeme les modes `a tr`es haute fr´equence demeurent pertinents dans le calcul dispersif alors qu’ils peuvent ˆetre excit´es.

Aussi, il faut savoir que, ´etant donn´e un qubit dans son ´etat excit´e, l’interaction