Non-linéarité et couplages lumière-matière en électrodynamique quantique en circuit

Non-lin´earit´e et couplages lumi`ere-mati`ere en

´electrodynamique quantique en circuit

par

J´ erˆ ome Bourassa

Th` ese pr´ esent´ ee au d´ epartement de physique

en vue de l’obtention du grade de docteur ` es sciences (Ph.D.)

FACULT´ E DES SCIENCES UNIVERSIT´ E DE SHERBROOKE

Sherbrooke, Qu´ ebec, Canada, Juillet 2012

A mes amours, `

iii

Sommaire

L’´ electrodynamique quantique en circuit est un contexte unique pour l’optique quan- tique et le calcul quantique. Dans cette architecture o` u des qubits supraconducteurs, compos´ es de jonctions Josephson, sont fortement coupl´ es au champ ´ electromagn´ etique de r´ esonateurs coplanaires, la dynamique du syst` eme est semblable ` a celle des atomes dans des cavit´ es optiques.

La polyvalence de la conception des circuits supraconducteurs permet d’´ etudier l’inter- action lumi` ere-mati` ere de diff´ erents r´ egimes et mani` eres. Ainsi, plusieurs qubits peuvent ˆ

etre coupl´ es ` a un seul r´ esonateur afin de les enchevˆ etrer. Une jonction Josephson peut

´

egalement ˆ etre int´ egr´ ee directement au r´ esonateur afin de produire une interaction non lin´ eaire entre les photons. De la mˆ eme mani` ere, il a ´ et´ e sugg´ er´ e que le couplage qubit- r´ esonateur pourrait devenir l’´ echelle d’´ energie dominante du syst` eme : le r´ egime de cou- plage ultrafort.

Malgr´ e que la dynamique qubit-r´ esonateur soit bien comprise, les mod` eles actuels ne permettent pas de pr´ edire correctement les effets dispersifs du r´ esonateur sur les qubits tels : le d´ ecalage de Lamb, l’interaction d’´ echange virtuelle et le temps de relaxation.

Comme il n’y a pas non plus de mod` ele g´ en´ eral permettant de d´ eterminer les caract´ eris- tiques d’un r´ esonateur non lin´ eaire, on comprend mal comment rendre la non-lin´ earit´ e plus forte, ni mˆ eme si le r´ egime de couplage ultrafort peut ˆ etre physiquement r´ ealis´ e dans ces circuits.

Dans le cadre de ma th` ese, je me suis int´ eress´ e ` a la mod´ elisation de qubits et de r´ esonateurs afin de mieux comprendre l’interaction lumi` ere-mati` ere en circuits, dans le but de d´ evelopper des conceptions alternatives d’architectures plus performantes ou qui explorent des r´ egimes d’interactions m´ econnus. Pour ce faire, j’ai d´ evelopp´ e une m´ ethode

v

analytique g´ en´ erale permettant de trouver l’hamiltonien exact de circuits distribu´ es non lin´ eaires, une m´ ethode bas´ ee sur la m´ ecanique lagrangienne et la repr´ esentation des modes propres d’oscillation. La grande qualit´ e de la m´ ethode r´ eside dans la description analy- tique d´ etaill´ ee des param` etres de l’hamiltonien du syst` eme en fonction de la g´ eom´ etrie et des caract´ eristiques ´ electromagn´ etiques du circuit. Non seulement le formalisme d´ eve- lopp´ e r´ econcilie le mod` ele quantique avec l’´ electromagn´ etisme classique et la th´ eorie des circuits, mais va bien au-del` a en formulant d’importantes pr´ edictions sur la nature des interactions et l’influence des fluctuations du vide du r´ esonateur sur la dynamique des qubits supraconducteurs. ` A l’aide d’exemples num´ eriques r´ ealistes et compatibles avec les technologies actuelles, je montre comment de simples optimisations de conception permettraient d’augmenter grandement l’efficacit´ e et la rapidit´ e d’ex´ ecution de calculs quantiques avec l’architecture, en plus d’atteindre des r´ egimes de non-lin´ earit´ e et de couplage lumi` ere-mati` ere in´ edits.

En permettant de mieux comprendre l’interaction lumi` ere-mati` ere dans les circuits et d’optimiser l’architecture afin d’atteindre de nouveaux r´ egimes de couplages, la m´ e- thode d’analyse de circuit d´ evelopp´ ee dans cette th` ese permettra de tester et raffiner nos connaissances sur l’´ electrodynamique quantique et la physique quantique.

Mots-cl´ es: Information quantique, ´ electrodynamique quantique, supraconductivit´ e,

´

electromagn´ etisme, qubit supraconducteur, r´ esonateur non lin´ eaire, couplage ultrafort,

effet Kerr

Remerciements

Je voudrais premi` erement remercier le Professeur Michel Devoret d’avoir accepter d’´ evaluer ma th` ese de doctorat. Votre savoir, votre intuition et votre mani` ere imag´ ee de faire de la physique m’ont ´ et´ e d’une grande inspiration tout au long de mes ´ etudes. J’ai beaucoup appr´ eci´ e les discussions que nous avons eu sur les sujets trait´ es dans cette th` ese et votre apport ` a ma compr´ ehension des circuits quantiques supraconducteurs m’a ´ et´ e d’une grande importance.

Merci ´ egalement aux Professeurs Ren´ e Cˆ ot´ e et Patrick Fournier d’avoir eu la patience de passer ` a travers ces quelques dizaines de pages. Je me trouve choy´ e de vous avoir eu sur mon jury car vous ˆ etes des personnes admirables et des physiciens hors pairs avec qui j’ai beaucoup appris. Je pense bien honnˆ etement que la rigueur scientifique qui m’habite est principalement due ` a votre enseignement et tout particuli` erement avec les nombreuses ann´ ees pass´ ees ` a travailler avec toi, Ren´ e. Merci beaucoup.

Lorsque j’ai connu Alexandre, il y a fort longtemps, il terminait sa maˆıtrise. D´ ej` a, avec mes co´ equipiers du bac, on appr´ eciait beaucoup son enseignement et entrevoyait d´ ej` a un avenir tr` es prometteur en science. Quand j’ai appris son retour au d´ epartement suite ` a son s´ ejour fort fructueux ` a l’Universit´ e Yale, il m’´ etait impensable de passer ` a cˆ ot´ e d’une si belle occasion pour faire une th` ese. Une bi` ere et quelques projets ´ ecrits ` a l’endos d’une napkin et voil` a ! j’´ etais charm´ e. Alexandre, ta passion, ton ´ energie et ton enthousiasme m’ont conquis. Mon premier March Meeting ` a Denver en ta compagnie m’a fait une tr` es grande impression qui s’est confirm´ ee avec le temps. Tu es parmi les rares qui sont au sommet de leur art et les gens t’´ ecoutes lorsque tu interviens. Inversement, tu t’int´ eresses beaucoup ` a ce que les autres font autour de toi. Comme tu es une personne particuli` erement agr´ eable avec qui travailler, ils n’h´ esitent pas ` a te lancer des id´ ees et

vii

l’inviter ` a faire parti de leurs projets. Bien que difficile ` a suivre pour un n´ eophyte, ce dynamisme d´ ebordant a rendu le travail ` a tes cˆ ot´ es tr` es excitant. Ma situation familiale

´

etant un peu particuli` ere, j’ai pu profiter de ton ouverture, ta patience et ta g´ en´ erosit´ e pour passer plus de temps avec ma famille. ´ Etant toi-mˆ eme Papa, j’ai toujours eu l’im- pression que tu comprenais ce que je vivais et que tu essayais de m’aider du mieux que tu le pouvais. Si j’avais seulement une chose ` a retenir de ces ann´ ees pass´ ees en ta compagnie, c’est qu’il y a toujours quelque chose de bon ` a retirer d’une mauvaise situation. Tu me disais : « Au moins, on aura apprit quelque chose... ». Dans les pires moments, ¸ca sonnait

`

a mes oreilles comme un relent du catholicisme qu´ eb´ ecois, semblable ` a la fameuse risette ou du petit pain qu’on ne valait pas. Avec le recul, je me rends maintenant compte ` a quel point c’est tout ce qui compte dans ce que nous faisons. Que c’est la raison fondamentale qui nous pousse ` a faire de la recherche. Pour cette sagesse et tout le reste, Alex, je te remercie beaucoup pour ces belles ann´ ees o` u j’ai tant appris.

All of this work would not have been possible without the incredible talent and wit of Jay Gambetta. Hands down, you are the best guy around to bounce off ideas with and to get motivated. Along with your intensity and confidence, I am sure that you will be able to realize your wildest dreams. I would also like to thank Professor Barry Sanders and Jaewoo Joo with whom I collaborated on very interesting work in quantum optics. Addi- tionally, the many conversations that I had over the years with very smart, talented and creative people such as Dave Schuster, Andreas Wallraff, Stefan Filipp, Rob Schoelkopf and Markus Brink, have certainly helped me comprehend the fine details and subtle- ties surrounding the very fine art of studying quantum mechanics with superconducting electronic devices.

Au fil des ans ` a naviguer les corridors du d´ epartement et de la facult´ e, il y a de ces personnes qui sont indispensables au maintient pr´ ecaire de l’esprit sain d’un physicien.

Sophie, Alex, Maxime B et Maxime D : ces derni` eres ann´ ees au d´ epartement ont pass´ ees beaucoup plus vite grˆ ace ` a vous, votre humour, votre esprit aiguis´ e et vos int´ erˆ ets si diversifi´ es. ¸ Ca a toujours ´ et´ e un plaisir d’ˆ etre diverti par votre pr´ esence. Je voudrais

´

egalement remercier les membres de l’´ equipe Blais : Kevin, Marcus, F´ elix et Clemens

avec qui je ne me suis jamais senti gˆ en´ e de lancer des id´ ees farfelues, ni de vous faire

part de mes ´ etats d’ˆ ame. Merci surtout ` a F´ elix de t’ˆ etre occup´ e de ma chatte, ¸ca m’a

grandement aid´ e. Dans la mˆ eme veine, je souhaiterais remercier mes autres coll` egues du

D4-2017 : ´ Emilie, Guillaume, Olivier et Gabrielle. Mˆ eme si je n’ai pas toujours compris

ce que vous faˆıtes, ¸ca a ´ et´ e fort agr´ eable de vous cˆ otoyer. Merci aux autres membres de

ix l’´ EPIQ David, Julien, Patrick et Chlo´ e, on ne s’ennuie jamais en votre compagnie.

J’ai la chance d’avoir des amis tr` es proches avec qui je partage tant de choses. Avec les ann´ ees, le groupe s’est ´ elargi : amis du secondaire, amis des amis, coll` egues physicien(ne)s et sales rockeurs. Malgr´ e votre grande diversit´ e de personnalit´ es, vous partagez tous un point en commun : vous ˆ etes des passionn´ es. Que ce soit dans les arts visuels, la science, la politique, la culture, la musique ou le cin´ ema, vous avez enrichi ma vie et mon intellect en plus d’ouverir mon esprit. Sans vous nommer tous (car vous ˆ etes trop nombreux !), je tiens ` a vous remercier pour votre amiti´ e et votre soutient constant au fil du temps m’ont aid´ e ` a passer au travers de mon doctorat. Je tiens particuli` erement ` a remercier Micha¨el et Catherine, membres honoraires de ma petite famille, d’avoir ´et´e pr´esents dans notre vie depuis quelques ann´ ees d´ ej` a. Votre amour, votre chaleur et r´ econfort ont ´ et´ e tr` es appr´ eci´ es durant ces ´ etudes parfois difficiles.

A mes parents, fr` ` ere, soeurs, neveux et ni` eces et ma belle-famille, merci beaucoup pour votre affection et votre soutient tout au long de mes ´ etudes gradu´ ees. Vous m’aidez

`

a me garder pr` es de ce qui est r´ eellement important et ` a mettre les choses simples (et compliqu´ ees) de la vie en perspective. Je voudrais particuli` erement remercier mes parents d’avoir toujours cru en moi et de m’avoir laisser faire mes d´ elires universitaires.

A mes trois amours et rayons de Soleil, Chlo´ ` e, Olivier et Anne-Sophie, vous qui me r´ eveillez tˆ ot le matin avec un sourire et un cˆ alin. Grˆ ace ` a votre simplicit´ e et votre na¨ıvet´e, vous avez ´ et´ e une source d’inspiration constante pour moi. Je suis terriblement chanceux de vous avoir eu ` a ce moment important dans ma vie. C’est d´ efinitivement ` a ma conjointe Nathalie que je garde mes plus profonds et sinc` eres remerciements. Tu as toujours ´ et´ e l` a pour me soutenir, me relever et me pousser dans le dos pour faire de mon mieux. Grˆ ace ` a toi je suis bien plus qu’un physicien, mais aussi (et surtout) un p` ere et un conjoint. Merci d’avoir fait de cette th` ese une aventure incroyable dont je suis tr` es fier d’avoir r´ eussi.

En terminant, je voudrais remercier le CRSNG ainsi que le FQRNT pour le soutient

financier durant mes ´ etudes doctorales.

Table des mati` eres

Table des mati` eres xi

Liste des tableaux xv

Liste des figures xvii

Chapitre 1 Atomes et cavit´ es 1

1.1 L’´ electrodynamique quantique en cavit´ e . . . . 1

1.2 Circuits quantiques supraconducteurs . . . . 4

1.3 Probl´ ematiques abord´ ees dans la th` ese . . . . 8

1.3.1 Les harmoniques d’un r´ esonateur . . . . 8

1.3.2 Sch´ emas alternatifs de couplage lumi` ere-mati` ere . . . . 11

1.3.3 Combiner la jonction Josephson et le r´ esonateur . . . . 14

1.4 Vue d’ensemble de la th` ese . . . . 16

Chapitre 2 R´ esonateurs lin´ eaires supraconducteurs 19 2.1 Th´ eorie des circuits non dissipatifs . . . . 19

2.1.1 Equations constitutives . . . . ´ 19

2.1.2 Degr´ es de libert´ e d’un circuit . . . . 21

2.1.3 M´ ecanique lagrangienne et hamiltonienne . . . . 23

2.1.4 Repr´ esentation matricielle . . . . 24

2.1.5 Quantification canonique et l’oscillateur harmonique quantique . . 25

2.2 Th´ eorie quantique de la dissipation dans les circuits . . . . 26

2.2.1 Mod` ele de Caldeira-Leggett des circuits dissipatifs . . . . 27

xi

2.2.2 Th´ eor` eme de fluctuation-dissipation quantique . . . . 29

2.2.3 Equation maˆıtresse de Born-Markov . . . . ´ 31

2.3 R´ esonateurs homog` enes id´ eaux . . . . 34

2.3.1 Caract´ eristiques des lignes ` a transmission supraconductrices . . . 34

2.3.2 Mod` ele 1D du r´ esonateur homog` ene id´ eal . . . . 36

2.4 R´ esonateurs non homog` enes id´ eaux . . . . 40

2.4.1 Alt´ erations distribu´ ees . . . . 40

2.4.2 R´ esonateur avec ports d’entr´ ee et de sortie . . . . 42

2.5 Dissipation dans les r´ esonateurs supraconducteurs . . . . 45

2.5.1 R´ esistance et conductance dans les circuit supraconducteurs . . . 46

2.5.2 Modes propres de r´ esonateurs dissipatifs . . . . 48

2.5.3 Mod` ele Caldeira-Leggett de la dissipation dans les r´ esonateurs . . 49

2.5.4 R´ esultats . . . . 53

2.6 Conclusion de chapitre . . . . 55

Chapitre 3 Mod` ele ` a modes multiples de l’´ EDQ en circuit 57 3.1 Les qubits de charge supraconducteurs . . . . 58

3.1.1 La boˆıte ` a paires de Cooper . . . . 58

3.1.2 Le transmon . . . . 61

3.2 Mod` ele ` a modes multiples d’un transmon coupl´ e ` a un r´ esonateur . . . . . 63

3.2.1 Lagrangien de l’architecture ` a ´ EDQ en circuit . . . . 63

3.2.2 Les modes internes du transmon . . . . 67

3.2.3 Le mode ‘qubit’ du transmon . . . . 68

3.2.4 Hamiltonien de l’architecture ` a ´ EDQ en circuit . . . . 70

3.2.5 Hamiltonien de Rabi multimode . . . . 72

3.3 R´ egime dispersif multimode . . . . 73

3.3.1 Syst` eme ` a un qubit . . . . 74

3.3.2 Syst` eme ` a deux qubits . . . . 75

3.3.3 Effets dispersifs de l’interaction avec le bain . . . . 76

3.3.4 L’effet Purcell . . . . 78

3.4 G´ eom´ etrie et l’interaction lumi` ere-mati` ere . . . . 79

3.4.1 Convergence des s´ eries dispersives . . . . 81

3.5 R´ esultats num´ eriques . . . . 83

3.5.1 Corrections dispersives multimode . . . . 86

xiii

3.6 Effets de r´ etroaction des miroirs sur les qubits . . . . 89

3.6.1 Emission spontan´ ´ ee devant un miroir . . . . 89

3.6.2 Qubits supraconducteurs comme m´ emoire quantique . . . . 92

3.6.3 R´ egime de couplage qubit-qubit tr` es fort . . . . 96

3.7 Le mode slotline comme m´ ecanisme de perte . . . . 98

3.8 Conclusion de chapitre . . . . 101

Chapitre 4 R´ esonateurs non lin´ eaires quantiques 103 4.1 Hamiltonien du r´ esonateur non lin´ eaire . . . . 104

4.1.1 Lagrangien du circuit . . . . 105

4.1.2 Modes normaux . . . . 107

4.1.3 Hamiltonien du circuit lin´ earis´ e . . . . 111

4.2 Hamiltonien quantique non lin´ eaire . . . . 112

4.3 Trois r´ egimes de non-lin´ earit´ e . . . . 115

4.3.1 K < κ : amplification et conversion param´ etrique . . . . 117

4.3.2 K > κ : blocage de photon et g´ en´ eration d’´ etat-chat . . . . 124

4.3.3 K κ : le transmon en-ligne . . . . 130

4.4 A quel point le couplage peut-il ˆ ` etre fort ? . . . . 134

4.5 Conclusion de chapitre . . . . 140

Chapitre 5 Couplage dipolaire magn´ etique ultrafort en ´ EDQ en circuit 141 5.1 Qubits de flux supraconducteurs . . . . 142

5.1.1 Qubit de flux ` a trois jonctions . . . . 144

5.2 Sch´ emas de couplage magn´ etique entre un qubit de flux et un r´ esonateur 147 5.2.1 Couplage g´ eom´ etrique . . . . 147

5.2.2 Couplage direct . . . . 149

5.2.3 Comparaison et r´ esultats num´ eriques . . . . 151

5.3 EDQ en circuit avec des qubits de flux . . . . ´ 153

5.4 R´ egime de couplage ultrafort . . . . 155

5.4.1 Battre la constante de structure fine . . . . 156

5.4.2 Changement de paradigme . . . . 159

5.5 La physique au-del` a de Jaynes-Cummings . . . . 160

5.6 Conclusion de chapitre . . . . 162

Conclusion 165

Annexe A Equation maˆıtresse de Born-Markov ´ 169 Annexe B Caract´ eristiques ´ electriques de r´ esonateurs coplanaires supra-

conducteurs 171

B.1 Capacit´ e, inductance et imp´ edance . . . . 171 B.2 R´ esistance de surface . . . . 172 Annexe C Modes propres d’un r´ esonateur dissipatif 175 Annexe D Transformation dispersive multimode 179 D.1 Transformation dispersive ` a un qubit . . . . 179 D.2 Transformation dispersive ` a deux qubits . . . . 181 Annexe E Calcul classique du taux de relaxation d’un circuit LC 185 Annexe F Temps de d´ ecoh´ erence et limite d’occupation d’un r´ esonateur

non-lin´ eaire 187

Annexe G Contrˆ ole coh´ erent de la r´ eponse spectrale d’un syst` eme ` a trois

niveaux 189

G.1 Introduction . . . . 189 G.2 Th´ eorie . . . . 190 G.3 Proposition exp´ erimentale . . . . 194 Annexe H S´ eparation du champ d’une ligne ` a transmission selon le do-

maine de fr´ equence 199

Bibliographie 214

Liste des tableaux

Chapitre 1 Atomes et cavit´ es 1

Chapitre 2 R´ esonateurs lin´ eaires supraconducteurs 19 Chapitre 3 Mod` ele ` a modes multiples de l’´ EDQ en circuit 57 Chapitre 4 R´ esonateurs non lin´ eaires quantiques 103 Chapitre 5 Couplage dipolaire magn´ etique ultrafort en ´ EDQ en circuit 141

5.1 Param` etres de r´ esonateurs non homog` enes pour couplage direct avec un qubit de flux . . . . 152

Conclusion 165

Annexe A Equation maˆıtresse de Born-Markov ´ 169 Annexe B Caract´ eristiques ´ electriques de r´ esonateurs coplanaires supra-

conducteurs 171

Annexe C Modes propres d’un r´ esonateur dissipatif 175 Annexe D Transformation dispersive multimode 179 Annexe E Calcul classique du taux de relaxation d’un circuit LC 185

xv

Annexe F Temps de d´ ecoh´ erence et limite d’occupation d’un r´ esonateur

non-lin´ eaire 187

Annexe G Contrˆ ole coh´ erent de la r´ eponse spectrale d’un syst` eme ` a trois

niveaux 189

Annexe H S´ eparation du champ d’une ligne ` a transmission selon le do-

maine de fr´ equence 199

Liste des figures

Chapitre 1 Atomes et cavit´ es 1

1.1 L’´ electrodynamique quantique en cavit´ e . . . . 2

1.2 L’´ electrodynamique quantique en circuit . . . . 5

1.3 Qubit de charge supraconducteur . . . . 6

1.4 Mesures exp´ erimentales du temps de relaxation Purcell . . . . 10

1.5 Architectures alternatives pour l’´ EDQ en circuit . . . . 13

Chapitre 2 R´ esonateurs lin´ eaires supraconducteurs 19 2.1 Exemple d’un r´ eseau de circuit . . . . 20

2.2 Exemple d’arbre d´ ecrivant un circuit ´ electrique . . . . 22

2.3 Repr´ esentation de Caldeira-Leggett d’´ el´ ements dissipatifs . . . . 28

2.4 R´ esonateur homog` ene id´ eal . . . . 35

2.5 R´ esonateur avec des ports d’entr´ ee et de sortie . . . . 43

2.6 Maille ´ el´ ementaire d’une ligne ` a transmission avec pertes . . . . 46

2.7 Taux de relaxation dans un r´ esonateur supraconducteur . . . . 54

Chapitre 3 Mod` ele ` a modes multiples de l’´ EDQ en circuit 57 3.1 La boˆıte ` a paires de Cooper . . . . 58

3.2 La dispersion de charge d’une BPC . . . . 60

3.3 Architecture ` a ´ EDQ en circuit . . . . 63

3.4 Effets g´ eom´ etriques sur le couplage qubit-r´ esonateur . . . . 80

3.5 Convergence des quantit´ es dispersives . . . . 82

3.6 Corrections multimode au d´ ecalage de Lamb . . . . 86

xvii

3.7 Corrections multimode ` a l’´ echange virtuel J . . . . 87

3.8 Corrections multimode au temps de relaxation Purcell . . . . 88

3.9 R´ etroaction d’un miroir sur un atome . . . . 90

3.10 Suppression de l’´ emission spontan´ ee . . . . 93

3.11 R´ egimes de l’interaction d’´ echange virtuel J . . . . 95

3.12 Couplage fort entre deux qubits par un r´ esonateur . . . . 97

3.13 Effet du mode slotline sur le temps T

d’un qubit . . . . 99

Chapitre 4 R´ esonateurs non lin´ eaires quantiques 103 4.1 Approche perturbative d’un circuit non lin´ eaire . . . . 104

4.2 Sch´ ema de circuit d’un r´ esonateur non lin´ eaire . . . . 106

4.3 Modes normaux d’un r´ esonateur non lin´ eaire . . . . 109

4.4 Repr´ esentation ´ el´ ementaire ´ equivalente d’un r´ esonateur non lin´ eaire . . . 113

4.5 Fr´ equence et non-lin´ earit´ e d’un r´ esonateur avec jonction Josephson . . . 116

4.6 Caract´ eristiques d’un r´ esonateur faiblement non lin´ eaire vs. x

. . . . 118

4.7 Caract´ eristiques d’un r´ esonateur faiblement non lin´ eaire vs. Φ

. . . . . 123

4.8 Caract´ eristiques d’un r´ esonateur fortement non lin´ eaire ajustable . . . . . 125

4.9 Transition classique-quantique du r´ esonateur non lin´ eaire . . . . 127

4.10 G´ en´ eration d’´ etats-chat dans un r´ esonateur fortement non lin´ eaire ajustable129 4.11 Le r´ esonateur non lin´ eaire comme un transmon en-ligne . . . . 131

4.12 Architecture ` a ´ EDQ en circuit avec un transmon en-ligne . . . . 133

4.13 Couplage ultrafort d’un transmon au courant d’un r´ esonateur . . . . 135

4.14 Couplage ultrafort d’un transmon ` a la phase d’un r´ esonateur . . . . 137

4.15 Anti-croisement d’un transmon et d’un mode du r´ esonateur dans le r´ egime ultrafort . . . . 139

Chapitre 5 Couplage dipolaire magn´ etique ultrafort en ´ EDQ en circuit 141 5.1 Couplage g´ eom´ etrique entre un qubit de flux et un r´ esonateur . . . . 144

5.2 Le spectre du qubit de flux . . . . 146

5.3 Couplage direct entre un qubit de flux et un r´ esonateur . . . . 149

5.4 G´ eom´ etrie d’un r´ esonateur non-homog` ene . . . . 151

5.5 Premier mode d’un r´ esonateur non homog` ene avec une constriction . . . 153

5.6 Impl´ ementation physique de l’architecture ` a ´ EDQ en circuit avec des qubits de flux . . . . 154

5.7 Premier mode d’un r´ esonateur non lin´ eaire . . . . 156

xix 5.8 Couplage dipolaire magn´ etique d’un r´ esonateur non-lin´ eaire avec un qubit

de flux . . . . 157

5.9 R´ egime de couplage ultrafort pour les harmoniques sup´ erieures d’un r´ eso- nateur non-lin´ eaire . . . . 159

5.10 Impl´ ementation physique du sch´ ema de couplage ultrafort avec des qubits de flux . . . . 161

Conclusion 165 Annexe A Equation maˆıtresse de Born-Markov ´ 169 Annexe B Caract´ eristiques ´ electriques de r´ esonateurs coplanaires supra- conducteurs 171 Annexe C Modes propres d’un r´ esonateur dissipatif 175 Annexe D Transformation dispersive multimode 179 Annexe E Calcul classique du taux de relaxation d’un circuit LC 185 E.1 Imp´ edance de l’environnement dans un r´ esonateur . . . . 186

Annexe F Temps de d´ ecoh´ erence et limite d’occupation d’un r´ esonateur non-lin´ eaire 187 Annexe G Contrˆ ole coh´ erent de la r´ eponse spectrale d’un syst` eme ` a trois niveaux 189 G.1 Syst` eme atomique ∆ . . . . 191

G.2 Fonction de r´ eponse d’un syst` eme ∆ . . . . 192

G.3 Contrˆ ole coh´ erent de la fonction de r´ eponse d’un syst` eme ∆ . . . . 193

G.4 Caract´ eristiques quantiques d’un fluxonium . . . . 194

G.5 Proposition exp´ erimentale pour l’observation de la TIEA . . . . 195 Annexe H S´ eparation du champ d’une ligne ` a transmission selon le do-

maine de fr´ equence 199

Atomes et cavit´ 1 es

L’une des premi` eres choses qu’on apprend en m´ ecanique quantique est que le vide n’est pas compl` etement vide, mais qu’il est plutˆ ot un environnement o` u le champ ´ elec- tromagn´ etique fluctue autour de z´ ero. Pour un atome plac´ e dans le vide, les fluctuations causent l’´ emission spontan´ ee ` a partir de ses ´ etats excit´ es et lui procure un d´ eplacement de ses raies spectrales : le fameux d´ ecalage de Lamb [1]. Cette quantit´ e mesurable en labora- toire a ´ et´ e un d´ efi de taille pour les th´ eoriciens alors que la th´ eorie de l’´ electromagn´ etisme indique que ce l´ eger d´ eplacement induit par le vide est infini. C’est Bethe [2] qui fut le premier a obtenir un accord qualitatif avec l’exp´ erience avec un calcul non-relativiste astucieux qui « soustrait » des infinit´ es. Ce n’est qu’apr` es l’av` enement de la th´ eorie de la renormalisation qu’un calcul relativiste pˆ ut finalement pr´ edire pr´ ecis´ ement le d´ ecalage de Lamb. L’accord avec l’exp´ erience est si ´ eloquent qu’il d´ emontre sans ´ equivoque la quantification du champ ´ electromagn´ etique, marquant la naissance d’un nouveau champ d’´ etude de la physique moderne : l’´ electrodynamique quantique (ou ´ EDQ).

1.1 L’´ electrodynamique quantique en cavit´ e

L’un des aspects les plus fascinants de ce champ de recherche est comment on peut affecter fondamentalement les propri´ et´ es d’´ emission de l’atome en changeant son environ- nement. L’exp´ erience de pens´ ee la plus simple pour illustrer ces effets est repr´ esent´ ee ` a la Fig. 1.1. Elle consiste en un atome, avec seulement deux niveaux quantiques d’int´ erˆ ets

| ↓ i et | ↑ i, plac´ e entre deux miroirs d’un interf´ erom` etre de Fabry-P´ erot de sorte ` a n’ˆ etre coupl´ e qu’` a un seul mode du champ ´ electromagn´ etique. Ainsi, un photon pi´ eg´ e dans la cavit´ e peut ˆ etre absorb´ e par l’atome et, inversement, un atome initialement excit´ e peut

1

Figure 1.1: L’´ electrodynamique quantique en cavit´ e. En pla¸ cant un atome dans une cavit´ e Fabry-P´ erot, le photon ´ emis par l’atome lors de sa relaxation est r´ efl´ echi par les miroirs et peut ˆ etre r´ eabsorb´ e par l’atome ` a la fr´ equence g = dE

/ ~ d´ etermin´ ee par l’amplitude du couplage dipolaire ´ electrique. Dans le r´ egime de couplage fort o` u g domine sur les pertes de photons en dehors de la cavit´ e au taux κ, et l’´ emission de photon par l’atome ailleurs que dans la cavit´ e au taux γ , le processus d’´ emission spontan´ ee et irr´ eversible de l’atome est remplac´ e par un ´ echange coh´ erent d’´ energie entre l’atome et le champ au rythme de 2g.

relaxer en ´ emettant un photon dans celle-ci. Cette interaction entre la lumi` ere et la ma- ti` ere se produit ` a une fr´ equence g = dE

/ ~ , d´ etermin´ ee par le couplage entre le moment dipolaire ´ electrique de l’atome d et l’amplitude du champ ´ electrique dans la cavit´ e E

. La physique de l’´ electrodynamique quantique en cavit´ e est d´ ecrite par l’hamiltonien de Jaynes-Cummings [3]

H

= ~ ω

a

a + ~ ω

2 σ

+ ~ g(a

σ

+ aσ

) (1.1)

et est caract´ eris´ e par trois quantit´ es : la fr´ equence de la cavit´ e ω

, la fr´ equence de la transition atomique ω

et le couplage lumi` ere-mati` ere g. Dans cette notation, a

et a sont les op´ erateurs de cr´ eation et d’annihilation d’un photon dans la cavit´ e, σ

l’op´ erateur repr´ esentant la population de l’atome, alors que σ

et σ

placent l’atome dans son ´ etat excit´ e ou son ´ etat fondamental. Un syst` eme physique r´ ealiste n’est pas ` a l’abri de pertes alors que les photons peuvent s’´ echapper de la cavit´ e ` a un taux κ. Il se peut aussi que l’atome soit coupl´ e ` a d’autres sources de relaxation, comme des d´ efauts dans les miroirs, qui lui permettent d’´ emettre un photon ailleurs que dans la cavit´ e au taux γ.

Dans la situation o` u l’interaction lumi` ere-mati` ere domine face aux pertes, c’est-` a-dire

dans un r´ egime de couplage fort o` u g κ, γ, un atome initialement excit´ e peut ´ emettre un

photon dans la cavit´ e et le r´ eabsorber ` a un taux 2g. Ce qui initialement ´ etait un processus

§1.1. L’´ electrodynamique quantique en cavit´ e 3 irr´ eversible, l’´ emission spontan´ ee d’un atome pi´ eg´ e dans une cavit´ e, s’est transform´ e en un processus coh´ erent et r´ eversible d’´ echange d’´ energie entre la cavit´ e et l’atome : les oscillations de Rabi du vide. Les effets de la quantification du champ ´ electromagn´ etique sont si prononc´ es qu’ils permettent la g´ en´ eration et la d´ etection d’´ etats quantiques de lumi` ere et de ph´ enom` enes optiques non-lin´ eaires n’utilisant qu’un seul photon [4, 5].

L’atteinte du r´ egime de couplage fort dans une exp´ erience n’est pas chose ais´ ee alors qu’on doit accroˆıtre le couplage dipolaire ´ electrique g sans en affecter les pertes (κ, γ).

Il s’agit alors d’utiliser des atomes avec le plus gros moment dipolaire d possible. Aussi, le volume V de la cavit´ e doit ˆ etre minimal afin de concentrer les fluctuations du champ

´

electromagn´ etique puisque E

=

~ ω

/2

V . ` A cette fin, les travaux novateurs de deux groupes de recherche ont permis d’observer divers ph´ enom` enes quantiques fondamentaux comme la d´ ecoh´ erence et l’enchevˆ etrement avec des atomes dans une cavit´ e. L’approche adopt´ ee par Serge Haroche et Jean-Michel Raymond de l’´ ENS ` a Paris consiste ` a prendre des atomes de Rydberg voyageant ` a travers une cavit´ e micro-onde ` a haut facteur de qualit´ e et o` u la dynamique atome-champ est inf´ er´ ee par une mesure de l’´ etat atomique apr` es le passage dans la cavit´ e [6]. L’approche de l’´ equipe de Jeff Kimble ` a Caltech est plutˆ ot bas´ ee sur des atomes de c´ esium tomb´ es d’un pi` ege magn´ eto-optique dans une cavit´ e optique et o` u la dynamique intracavit´ e est sond´ ee par une mesure de la transmission d’un rayonnement laser ` a travers la cavit´ e [7]. Entre autres, en manipulant le champ de la cavit´ e et les atomes, l’´ equipe de Haroche et Raymond a r´ eussi ` a d´ etecter la pr´ esence des photons dans la cavit´ e sans les d´ etruire [8] et ` a g´ en´ erer et mesurer des ´ etats quantiques de lumi` ere dans la cavit´ e [9].

Les implications de ce syst` eme ne s’arrˆ etent pas l` a alors qu’en principe le champ de la cavit´ e peut ˆ etre transform´ e en un bus quantique pour enchevˆ etrer des atomes distants en contrˆ olant l’interaction atome-champ. En plus de permettre de sonder la nature subtile de l’enchevˆ etrement quantique, l’´ electrodynamique quantique en cavit´ e constituerait une base pour une architecture de calcul quantique. Cependant, plusieurs obstacles techniques doivent ˆ etre surmont´ es pour y arriver comme la possibilit´ e d’avoir plusieurs atomes dans la cavit´ e ainsi qu’une m´ ethode de contrˆ ole et de mesure individuelle pour chacun d’eux.

En plus du probl` eme d’extensibilit´ e, l’architecture est intrins` equement limit´ ee en ra-

pidit´ e d’ex´ ecution alors que la vitesse de l’´ echange de l’information entre les syst` emes

quantiques est dict´ ee par le couplage g. En unit´ e de la fr´ equence de l’atome, on trouve

que g [10]

g ω

∝ α

√ V . (1.2)

Mˆ eme en utilisant la plus petite cavit´ e possible, l’amplitude de couplage demeure tr` es faible, de l’ordre 10

, ` a cause de la petitesse de la constante de structure fine α ≈ 1/137.

1.2 Circuits quantiques supraconducteurs

Profitant de d´ ecennies d’avanc´ ees technologiques et de savoir-faire technique sur la conception de circuits micro-´ electroniques ` a grand d´ eploiement, les circuits supraconduc- teurs constituent une architecture alternative int´ eressante alors qu’ils exhibent naturel- lement une coh´ erence quantique ` a l’´ echelle macroscopique.

Les photons constituent le quantum d’excitation d’un oscillateur harmonique comme une cavit´ e optique. Dans les circuits imprim´ es, ceux-ci sont plutˆ ot les excitations d’un oscillateur harmonique ´ electrique compos´ e d’une inductance et d’une capacit´ e. Une r´ ea- lisation possible d’un tel oscillateur harmonique est une ligne ` a transmission coplanaire r´ esonante telle que repr´ esent´ ee ` a la Fig. 1.2. Avec ses petites dimensions transverses, le guide d’ondes contraint le champ ´ electromagn´ etique ` a se propager dans un petit volume le long de la ligne. En interrompant l’´ electrode centrale avec des interstices s´ epar´ es d’une demi-longueur d’onde, on cr´ e´ e des capacit´ es de couplage qui agissent comme des miroirs pour les photons micro-ondes, formant une version unidimensionnelle de l’interf´ erom` etre de Fabry-P´ erot. Le taux de perte des photons du r´ esonateur est contrˆ ol´ e par la taille et la g´ eom´ etrie des capacit´ es de couplages et, ` a des temp´ eratures de l’ordre du milliKelvin, ces r´ esonateurs ont d´ emontr´ es des facteurs de qualit´ e de l’ordre de Q ∼ 10

. C’est-` a-dire qu’un photon de 10 GHz dans un r´ esonateur d’un centim` etre y demeure pour 15 µs, le temps de parcourir plus de 10 kilom` etres avant d’en sortir.

Il reste maintenant ` a obtenir l’analogue d’un atome avec les circuits. Il se trouve que

les circuits supraconducteurs jouissent de la pr´ esence de la jonction tunnel Josephson

comme ´ el´ ement de circuit avec des propri´ et´ es uniques. Constitu´ ee d’une barri` ere isolante

s´ eparant deux ´ electrodes supraconductrices, la jonction Josephson permet le passage d’un

supercourant de paires de Cooper sans perte, telle une inductance non lin´ eaire et non

dissipative. En combinant la jonction Josephson avec des capacit´ es et des inductances,

on peut fabriquer diff´ erents circuits dont l’espacement en fr´ equence entre les niveaux

§1.2. Circuits quantiques supraconducteurs 5

Entrée

~ 10 GHz

Sortie

Figure 1.2: L’´ electrodynamique quantique en circuit. Avec les circuits supraconducteurs, on peut fabriquer un r´ esonateur coplanaire (en bleu) qui joue le rˆ ole d’une cavit´ e Fabry-P´ erot o` u les manques dans l’´ electrode centrale s´ epar´ es par λ/2 cr´ e´ es des miroirs pour des photons micro- ondes. En pla¸ cant un qubit de charge (un transmon, en vert) dans le r´ esonateur, on atteint le r´ egime de couplage fort en combinant le grand moment dipolaire du qubit (de grandeur L) au fort confinement du champ ´ electromagn´ etique dans le r´ esonateur (sur une distance r). En

´

eclairant le r´ esonateur avec de la lumi` ere micro-onde de ∼ 10 GHz, l’information sur l’´ etat du r´ esonateur ou du qubit peut ˆ etre inf´ er´ ee en mesurant l’amplitude et la phase du signal ` a la sortie.

quantiques est non-´ equidistant (anharmonique). Dans les bonnes conditions, les deux plus bas niveaux d’´ energie peuvent ˆ etre isol´ es et faire en sorte que la fr´ equence de transition ω

entre ces deux niveaux soit de quelques gigahertz, beaucoup plus grande que l’´ energie thermique. Une de ces r´ ealisations de ces circuits supraconducteurs quantiques, ou qubits, est le qubit de charge. Repr´ esent´ e ` a la Fig. 1.3 o` u une jonction Josephson s´ epare une

´

electrode du plan de masse de sorte ` a cr´ eer des ´ etats quantiques de charge bien d´ efinie.

Avec la d´ emonstration exp´ erimentale de la quantification des niveaux d’´ energie par Clarke et al. [11] et des premi` eres oscillations coh´ erentes d’un qubit de charge par Nakamura et al. [12], force est d’admettre que ces circuits se comportent clairement comme des

« atomes avec des fils ´ electriques » [11].

Contrairement ` a ceux qu’on retrouve dans la nature, les qubits supraconducteurs

sont versatiles alors que leurs propri´ et´ es sont d´ efinies ` a la fabrication. Qui plus est,

bon nombre de ces circuits ´ electriques quantiques peuvent ˆ etre interconnect´ es dans un

r´ eseau complexe par le biais de capacit´ es et inductances, permettant l’´ etablissement de

nouveaux types et r´ egimes d’interaction. Cette flexibilit´ e vient ` a un prix alors que les

qubits supraconducteurs sont aussi fortement coupl´ es ` a leur environnement ce qui limite

s´ ev` erement leur temps de coh´ erence ` a quelques 10 ns.

a)

,

b)

0 20 40 60

0

Én er gi e [ GH z]

Figure 1.3: Qubit de charge supraconducteur a) En couplant un ˆılot m´ etallique ` a un r´ eservoir ` a l’aide d’une jonction Josephson, une boˆıte de paires de Cooper est form´ ee. b) L’´ ener- gie Josephson d´ efinie un potentiel p´ eriodique en cosinus de la phase φ ` a travers la jonction et d´ etermine les ´ etats et ´ energies propres du qubit.

Toutefois, un qubit de charge plac´ e ` a l’int´ erieur d’un r´ esonateur supraconducteur, comme ` a la Fig. 1.2, voit son ´ emission spontan´ ee fortement att´ enu´ ee alors que le bruit de l’environnement ext´ erieur est filtr´ e par le r´ esonateur. Connu comme ´ etant l’effet Pur- cell [13], ceci a pour effet d’augmenter le temps de relaxation du qubit vers T

∼ κ

en r´ esonance, soit de l’ordre de quelques microsecondes. Aussi le couplage g se trouve

`

a ˆ etre grandement am´ elior´ e alors qu’on combine le grand moment dipolaire ´ electrique du qubit avec le fort confinement du champ ´ electrique dans le r´ esonateur. Combin´ e aux faibles pertes, le r´ egime de couplage fort en cavit´ e peut ˆ etre atteint avec les circuits avec g κ, γ. ` A travers leurs travaux th´ eorique [14] et exp´ erimental [15], des chercheurs de l’Universit´ e Yale ont mis en ´ evidence la nature quantique du champ du r´ esonateur dans les circuits micro-ondes. En accord avec la physique Jaynes-Cummings de l’´ Eq. (1.1) dans le r´ egime de couplage fort, ces travaux ont marqu´ e le d´ ebut de ce qui est commun´ ement appel´ e l’´ electrodynamique quantique en circuit [16].

Un des b´ en´ efices ` a travailler avec des circuits est que le couplage lumi` ere-mati` ere peut ˆ

etre largement plus grand qu’avec des atomes. Un calcul simple du couplage capacitif entre un r´ esonateur de taille transverse r et un dipˆ ole ´ electrique de longueur L r´ ev` ele que le ratio g/ω

peut s’exprimer comme [16]

g ω

∼ L

r

s

2α

π . (1.3)

§1.2. Circuits quantiques supraconducteurs 7 Bien que toujours limit´ e par la constante de structure fine α, le confinement 1D permet d’en r´ eduire sa d´ ependance. Comme un qubit supraconducteur tel le transmon [17] peut ˆ

etre fabriqu´ e pour remplir l’espace entre l’´ electrode et le plan de masse avec L/r ∼ 1, la fraction de couplage g/ω

peut facilement atteindre quelques pourcents dans les circuits, soit quatre ordres de grandeur sup´ erieurs ` a ce qui est retrouv´ e en cavit´ e [18].

Avec un couplage lumi` ere-mati` ere fort, on peut entrer dans le r´ egime dispersif de l’in- teraction lorsque le d´ esaccord de fr´ equence entre le qubit et le r´ esonateur est important,

∆ ≡ ω

− ω

g, la conservation d’´ energie n’est plus respect´ ee et l’´ echange devient forte- ment inhib´ e. Cependant, l’´ echange virtuel de photons avec le r´ esonateur demeure permis et cause des d´ ecalages en fr´ equence du qubit et du r´ esonateur. Dans cette situation, le syst` eme est dor´ enavant d´ ecrit par l’hamiltonien dispersif H

[14, 19]

H

= ~ ω

+ g

∆ σ

!

a

a + ~

ω

+ g

/∆

σ

/2, (1.4)

o` u, en plus de procurer un d´ ecalage de Lamb sur le qubit δ

= g

/∆, une interaction lumi` ere-mati` ere dispersive proportionnelle aux populations du qubit et du r´ esonateur

´

emerge. De l’ordre de g

/∆ . g/10, le couplage dispersif peut tout de mˆ eme ˆ etre large- ment sup´ erieur aux pertes.

Couramment r´ ealis´ e dans les circuits, les cons´ equences frappantes de ce r´ egime n’ont

´

et´ e observ´ ees que rarement en optique quantique en cavit´ e. Dans une exp´ erience phare du groupe de Yale [20], un seul qubit d´ eplace la fr´ equence du r´ esonateur par ±35κ selon qu’il est dans son ´ etat fondamental ou excit´ e. Ainsi, avec une simple mesure de la transmission du r´ esonateur, l’´ etat du qubit peut ˆ etre d´ etermin´ e sans le d´ etruire. R´ eciproquement, on peut ´ egalement voir l’interaction dispersive comme un d´ ecalage de la fr´ equence du qubit ω

= ω

+ 2(ha

ai + 1/2)g

/∆ qui diff` ere pour chaque ´ etat de Fock du r´ esonateur et proportionnel ` a sa probabilit´ e d’occupation. Dans cette exp´ erience, l’analyse du spectre du qubit r´ ev` ele directement l’´ etat quantique du champ dans le r´ esonateur.

D’autres exp´ eriences de l’optique quantique ont ´ et´ e r´ ep´ et´ ees dans les circuits et

montrent sa capacit´ e ` a effectuer de la communication quantique, plus particuli` erement la

g´ en´ eration des photons micro-ondes uniques et le transfert d’information entre un qubit

et un photon [21, 22]. Ce qui d´ emarque les qubits supraconducteurs des atomes en cavit´ e

est l’inh´ erente facilit´ e d’´ etablir une communication distante entre deux qubits dans le

mˆ eme r´ esonateur sans ´ echanger de photons puisque ceux-ci ne peuvent se d´ eplacer et

sortir. Lorsque deux qubits sont coupl´ es dispersivement au r´ esonateur, une interaction

effective entre le qubit (1) et le qubit (2) ´ emerge suivant H

= ~ J(σ

σ

+ σ

σ

) r´ esultant de l’´ echange de photons virtuels avec le r´ esonateur. Ici l’amplitude J est d´ eter- min´ ee par les couplages g

et d´ ecalages en fr´ equences ∆

= ω

− ω

pour les qubits i = 1, 2 suivant

J = g

g

2

1

∆

+ 1

∆

. (1.5)

Dans la limite o` u J κ, γ, des ´ etats enchevˆ etr´ es ` a deux qubits avec un long temps de vie peuvent ˆ etre g´ en´ er´ es. Suite aux premi` eres d´ emonstrations exp´ erimentales d’en- chevˆ etrement ` a deux qubits [23, 24], peu de temps s’est ´ ecoul´ e avant que les premiers algorithmes ` a deux et trois qubits furent ex´ ecut´ es dans ces circuits [25–27]. Ces derni` eres exp´ eriences d´ emontrent ´ egalement une violation des in´ egalit´ es de Bell confirmant la vraie nature quantique des ph´ enom` enes observ´ es.

Ces r´ ecents travaux th´ eoriques et exp´ erimentaux montrent l’incroyable capacit´ e des circuits supraconducteurs ` a effectuer de la communication et du calcul quantique. Pas mˆ eme une d´ ecennie s’est d´ eroul´ ee depuis la premi` ere proposition th´ eorique qu’on entrevoit d´ ej` a la prochaine ´ etape logique soit de coupler davantage de qubits et de r´ esonateurs pour produire un processeur quantique [28].

1.3 Probl´ ematiques abord´ ees dans la th` ese

Au cours de ma th` ese de doctorat, je me suis attard´ e ` a diff´ erents probl` emes et ques- tions ouvertes dans le domaine de l’´ electrodynamique quantique en circuit. Plus parti- culi` erement, je me suis int´ eress´ e aux principes fondamentaux de l’interaction lumi` ere- mati` ere et lumi` ere-lumi` ere dans ce syst` eme. J’ai orient´ e mes travaux selon trois axes diff´ erents et j’expose ici le contexte et les questions importantes pour chacun d’eux.

1.3.1 Les harmoniques d’un r´ esonateur

Une des cons´ equences in´ evitables associ´ ees ` a l’´ etude de nouveaux syst` emes et de

nouveaux r´ egimes est l’observation d’effets in´ edits qui d´ emontrent les limites de notre

compr´ ehension. Les circuits supraconducteurs ne font pas exception alors que des discor-

dances importantes sont mises en ´ evidence entre le mod` ele de Jaynes-Cummings ` a un

mode et les observations exp´ erimentales.

§1.3. Probl´ ematiques abord´ ees dans la th` ese 9 Par exemple, Fragner et al. [29] ont mesur´ e la fr´ equence de transition d’un qubit dans un r´ esonateur en fonction du d´ esaccord de fr´ equence ∆ pour quantifier le d´ ecalage de Lamb induit par le vide. Apr` es une caract´ erisation minutieuse du spectre des premiers niveaux du syst` eme qubit-r´ esonateur, ils ont extrait la fr´ equence du r´ esonateur ω

, la s´ eparation de Rabi du vide 2g et la fr´ equence du qubit ω

de l’hamiltonien Jaynes- Cummings de l’´ Eq. (1.1). En mesurant la d´ eviation de la fr´ equence de transition du qubit depuis sa fr´ equence nue ω

, ils obtiennent le d´ ecalage de Lamb du qubit. Alors que les mesures exp´ erimentales concordent avec le r´ esultat de la diagonalisation exacte pr` es de la r´ esonance avec −3g . ∆ < 0, une d´ eviation syst´ ematique d’au moins 10% avec la th´ eorie est observ´ ee alors que le syst` eme entre dans le r´ egime dispersif avec ∆ < −3g. Une mesure ind´ ependante de la temp´ erature de la radiation dans le circuit exclut la possibilit´ e que des photons excit´ es thermiquement en exc` es dans le r´ esonateur en soient la cause.

Bien que minime, cet ´ ecart de la th´ eorie sugg` ere que l’hamiltonien ´ Eq. (1.1) ne d´ ecrit pas exactement le syst` eme.

Pour deux qubits dans un r´ esonateur, on proc` ede de la mˆ eme mani` ere pour d´ eterminer l’amplitude de l’interaction d’´ echange virtuel J ` a partir de l’interaction qubit-r´ esonateur des deux qubits g

, g

et de l’´ Eq. (1.5). Cette valeur est ensuite compar´ ee ` a la mesure directe de l’amplitude de l’anti-croisement des raies spectrales d’excitations des deux qubits ` a proximit´ e de leur r´ esonance mutuelle ω

≈ ω

. Dans l’exp´ erience du bus quantique, Majer et al. [23] ont constat´ e que le r´ esultat dispersif J = g

g

/∆ s’´ ecarte par plus de 100% de l’observation exp´ erimentale. Dans cet article, il est mentionn´ e que plusieurs modes du r´ esonateur ont ´ et´ e pris en compte dans l’analyse de J, mais le nombre total de ceux-ci fut d´ ecid´ e de mani` ere arbitraire de fa¸con ` a obtenir un accord quantitatif appr´ eciable. Cet aspect de l’interaction d’´ echange virtuel n’est toutefois pas discut´ e dans le texte.

La confirmation de l’hypoth` ese concernant l’importance des harmoniques sup´ erieures du r´ esonateur vient de la mesure du temps de relaxation d’un qubit de charge dans un r´ esonateur. Dans le r´ egime dispersif, l’´ emission radiative du qubit est caus´ ee par la sortie de la fraction photonique g/∆ de l’´ etat du qubit en dehors du r´ esonateur. Loin de la r´ esonance et en l’absence d’autres sources de d´ ecoh´ erence, le taux de relaxation du qubit devrait suivre le taux Purcell dispersif [14]

γ

=

g

∆

2

κ. (1.6)

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

Temps de relaxation [ns]

14 12 10 8 6 4 2

Modèle d’admittance Modèle quantique à un mode Émission dans le continuum

Frequence du qubit [GHz]

a) b)

Qubit

Qubit c)

Figure 1.4: Mesures exp´ erimentales du temps de relaxation Purcell. a) Mesures ex- p´ erimentales (points rouges) de Houck et al. [30] du temps de relaxation T

d’un qubit dans un r´ esonateur en fonction de la fr´ equence du qubit. En pla¸ cant un qubit dans un r´ esonateur hors r´ esonance, l’´ emission spontan´ ee est fortement inhib´ ee en comparaison ` a un qubit dans l’espace ouvert unidimensionnel (pointill´ e vert). Ces mesures exp´ erimentales contredisent directement la th´ eorie du mod` ele de Jaynes-Cummings dans la limite dispersive (ligne noire). Par contre, en traitant le r´ esonateur comme un ´ el´ ement de circuit distribu´ e connect´ e ` a des r´ esistances repr´ e- sent´ e en b), le temps de relaxation dict´ e par la r´ esistance ´ equivalente en c), T

= C

/<{Y[ω

]}, est en accord qualitatif avec l’exp´ erience, r´ ev´ elant la contribution importante des nombreuses harmoniques du r´ esonateur (ligne pointill´ ee rouge).

Mais, comme on peut le constater par les mesures de Houck et al. [30] ` a la Fig. 1.4a), cette formulation ne parvient nullement ` a d´ ecrire correctement le comportement observ´ e du temps de relaxation des qubits en r´ esonateurs alors qu’il surestime par plus de deux ordres de grandeur la valeur de T

lorsque ω

> ω

.

Afin de d´ ecrire leurs observations, les auteurs ont exploit´ e le mod` ele de Caldeira- Leggett [31, 32] qui lie le th´ eor` eme de fluctuation-dissipation et l’admittance caract´ eris- tique Y[ω] d’un circuit arbitraire [33]. Dans ce cadre, la relaxation du qubit (alors consi- d´ er´ e comme un circuit LC) de capacit´ e C

s’effectue au taux classique γ

= C

/<{Y[ω]}

o` u l’admittance g´ en´ eralis´ ee Y[ω] comprend tout l’environnement ´ electromagn´ etique au- quel le qubit est coupl´ e. Dans ce mod` ele, et tel que repr´ esent´ e ` a la Fig. 1.4b), le r´ esonateur est trait´ e comme une ligne ` a transmission r´ esonante comportant plusieurs harmoniques.

Le tr` es bon accord quantitatif du mod` ele th´ eorique avec l’exp´ erience a permis aux au- teurs de conclure que les harmoniques sup´ erieures contribuaient de mani` ere importante au temps de relaxation du qubit.

Bien que simple, une g´ en´ eralisation du mod` ele Jaynes-Cummings comprenant les

harmoniques sup´ erieures du r´ esonateur ne fait qu’empirer l’estim´ e du taux Purcell alors

§1.3. Probl´ ematiques abord´ ees dans la th` ese 11 que le poids de ces harmoniques est trop important. Ceci est caus´ e, d’une part, parce que le couplage dipolaire ´ electrique de la m-i` eme harmonique (de fr´ equence ω

= m × ω

) s’accroˆıt avec la fr´ equence du mode g

∝ √

ω

et, d’autre part, parce que les capacit´ es de couplages agissent comme des miroirs d´ ependants de la fr´ equence de sorte que le taux de relaxation du mode m va comme κ

∝ ω

[34]. Na¨ıvement, dans un tel mod`ele Jaynes-Cummings multimode, le taux Purcell serait donn´ e par la contribution de chaque mode

γ

=

m

g

∆

2

κ

, (1.7)

une s´ erie alg´ ebrique qui diverge rapidement avec le nombre de mode.

En fait, on constate rapidement que ce probl` eme de divergence s’´ etend ` a toutes les quantit´ es dispersives. En prenant en compte l’interaction dispersive des harmoniques sup´ erieures, on obtient les s´ eries suivantes pour le d´ ecalage de Lamb δ

et l’´ echange virtuel J :

δ

=

m

g

∆

, (1.8)

J =

m

g

g

2

1

∆

+ 1

∆

!

. (1.9)

Ces s´ eries sont divergentes ` a cause de la d´ ependance en fr´ equence du couplage dipo- laire ´ electrique. Le syst` eme analogue compos´ e d’atomes en cavit´ e souffrant des mˆ emes probl` emes, on peut peut-ˆ etre s’affranchir de ces divergences en utilisant les mˆ emes stra- tag` emes : c’est-` a-dire en invoquant la taille finie du qubit, en imposant une fr´ equence de coupure ultraviolette ad hoc comme le gap supraconducteur par exemple, ou par le biais de la th´ eorie de la renormalisation. Mais le fait que la th´ eorie classique des circuits permet de pr´ edire correctement le temps de relaxation indique que le probl` eme r´ esiderait plutˆ ot dans la mod´ elisation du circuit sur lequel l’hamiltonien Jaynes-Cummings est bas´ e. Dans le cadre de ma th` ese de doctorat, je me suis int´ eress´ e ` a r´ egler la question des divergences du mod` ele dispersif dans les circuits supraconducteurs.

1.3.2 Sch´ emas alternatifs de couplage lumi` ere-mati` ere

Tel que mentionn´ e plus tˆ ot, en raison de sa grande taille, le transmon permet d’aug-

menter l’amplitude de couplage qubit-champ significativement. L’autre point fort de cette

conception de qubit est sa tr` es faible sensibilit´ e au bruit de charge environnant, ce qui lui permet d’augmenter significativement le temps de coh´ erence dans cette architecture [17].

Cependant, ces gains sont faits au d´ etriment d’une anharmonicit´ e r´ eduite entre les ni- veaux du qubit, limitant la vitesse des portes logiques pour ´ eviter des fuites de population vers les ´ etats sup´ erieurs.

Pour tenter de r´ esoudre ce probl` eme et pour ´ etudier d’autres formes de couplage lumi` ere-mati` ere, on peut concevoir une architecture alternative bas´ ee sur l’interaction dipolaire magn´ etique avec des qubits de flux [35]. Form´ es d’une inductance de boucle interrompue par une (ou plusieurs) jonctions Josephson, les ´ etats propres du qubit de flux sont des ´ etats de courant circulant de part et d’autre de la boucle avec une fr´ equence de transition dans les micro-ondes. Grˆ ace ` a son grand moment dipolaire magn´ etique, un faible champ magn´ etique alternatif peut ˆ etre appliqu´ e ` a l’int´ erieur de la boucle et permet le contrˆ ole coh´ erent [36], l’enchevˆ etrement ` a un circuit LC [37] et des portes ` a deux qubits [38].

Pour r´ ealiser une interaction forte avec les fluctuations magn´ etiques du r´ esonateur, le qubit de flux est plac´ e ` a proximit´ e de l’´ electrode centrale du r´ esonateur afin d’avoir une forte inductance mutuelle g´ eom´ etrique avec celui-ci. Cette m´ ethode de couplage dipolaire magn´ etique pourrait, en principe, atteindre le r´ egime de couplage fort de l’´ EDQ en cavit´ e [39, 40]. Pour y arriver, la faible amplitude des fluctuations magn´ etiques du point z´ ero du r´ esonateur, par rapport au champ ´ electrique, doit ˆ etre compens´ ee par une augmentation significative de l’inductance mutuelle, et donc de la surface de la boucle du qubit. Ce faisant, le qubit devient toutefois plus sensible au bruit de flux environnant. On en conclut donc que cette approche est loin d’ˆ etre id´ eale, alors que l’obtention d’amplitudes de couplage g comparables ` a celles obtenues avec les transmons n’est pas r´ ealisable sans compromettre s´ ev` erement le temps de d´ ecoh´ erence du qubit.

Il se trouve cependant que l’inductance mutuelle g´ eom´ etrique n’est pas la seule m´ e- thode pour coupler magn´ etiquement deux objets alors qu’on peut profiter de l’inductance cin´ etique de minces fils supraconducteurs. Dans le cadre de ma th` ese, je me suis int´ eress´ e

`

a analyser le couplage direct d’un qubit de flux ` a un r´ esonateur et si cela pouvait engendr´ e de meilleurs couplages.

Cette id´ ee de fusionner le qubit et le r´ esonateur ensemble pour obtenir une interac-

tion directe est l’un des aspects qui distingue les circuits supraconducteurs des autres

syst` emes physiques. Comme Devoret, Girvin et Schoelkopf [10] l’ont d´ emontr´ e, le cou-

plage direct est une m´ ethode fondamentalement diff´ erente de faire interagir la lumi` ere et

§1.3. Probl´ ematiques abord´ ees dans la th` ese 13

b)

a) b)

a)

Figure 1.5: Architectures alternatives pour l’ ´ EDQ en circuit. Diff´ erents types d’ar- chitectures peuvent ˆ etre ´ elabor´ es pour r´ esoudre certains probl` emes ou pour explorer diff´ erents r´ egimes d’interactions. En a) pour ´ etudier d’autres formes de couplage lumi` ere-mati` ere on peut

´

elaborer une architecture ` a EDQ en circuit sur des qubits de flux coupl´ es aux fluctuations magn´ etiques du vide du r´ esonateur. Alternativement, en ins´ erant un qubit de charge dans l’´ electrode centrale du r´ esonateur, on aurait un syst` eme d’´ ecrit par le circuit effectif en b) o` u le qubit est directement coupl´ e aux fluctuations de courant du r´ esonateur. Cette architecture en-ligne propos´ ee par Devoret et al. [10] pourrait atteindre un r´ egime de couplage ultrafort avec g/ω

> 1.

la mati` ere alors qu’elle n’est pas sujette aux mˆ emes limitations. Pour d´ emontrer ce fait,

ceux-ci sugg` erent d’ins´ erer un qubit de charge directement dans l’´ electrode centrale d’un

r´ esonateur. D´ ecrit par le circuit effectif de la Fig. 1.5b), l’interaction se fait par le biais

du passage des fluctuations de courant du r´ esonateur directement ` a travers la jonction

Josephson du qubit. Les auteurs montrent que, dans cette situation, le couplage lumi` ere-

mati` ere n’est alors plus limit´ e par la constante de structure fine alors que g/ω

∝ α

,

contrairement au couplage dipolaire ´ electrique ` a l’´ Eq. (1.3). Cette architecture, dite en-

ligne, permettrait des amplitudes de couplages in´ egal´ ees o` u g/ω

> 1. Dans ce r´ egime de

couplage ultrafort, les constituants ne peuvent plus ˆ etre consid´ er´ es ind´ ependamment et le

couplage ne peut plus ˆ etre trait´ e comme une perturbation [41]. Encore m´ econnue autant

du point de vue th´ eorique qu’exp´ erimental, l’´ etude de ce nouveau r´ egime d’interaction

permettrait de contribuer significativement ` a la connaissance et ` a la compr´ ehension du

couplage lumi` ere-mati` ere. D´ esireux d’´ etudier plus profond´ ement la possibilit´ e d’atteindre

le r´ egime de couplage ultrafort dans les circuits, j’ai analys´ e dans le d´ etail l’hypoth` ese de

Devoret et al. dans ma th` ese de doctorat.

1.3.3 Combiner la jonction Josephson et le r´ esonateur

L’interaction dispersive lin´ eaire d’un atome dans une cavit´ e le fait agir comme un milieu d’indice de r´ efraction quantique changeant de signe selon que l’atome est dans son

´

etat fondamental ou excit´ e. En rempla¸cant l’atome par un milieu optique non lin´ eaire, diff´ erents effets quantiques de la lumi` ere peuvent ˆ etre mis au jour. Par exemple, pour un cristal optique non lin´ eaire ` a effet Kerr, l’indice de r´ efraction du cristal d´ epend de l’intensit´ e lumineuse le traversant. Ainsi, un milieu Kerr dans une cavit´ e procure une interaction dispersive non lin´ eaire entre les photons. D´ ecrit par l’hamiltonien

H = ~ ω

a

a − ~ K

2 (a

a)

, (1.10)

la cavit´ e non lin´ eaire poss` ede une fr´ equence d’oscillation qui d´ epend de l’intensit´ e du champ qu’elle contient, une version optique d’un oscillateur de Duffing bien connu [42].

Lorsque l’oscillateur est excit´ e par une faible force oscillante, sa susceptibilit´ e non li- n´ eaire fait en sorte que la r´ eponse du syst` eme peut ˆ etre fortement affect´ ee. Les cristaux optiques non lin´ eaires n’ayant qu’une tr` es faible non-lin´ earit´ e optique et beaucoup de pertes internes, ceux-ci requi` erent de fortes puissances optiques pour ˆ etre utilis´ es.

Dans les circuits supraconducteurs, la situation est toute autre en raison de la grande non-lin´ earit´ e et de l’absence de dissipation de la jonction Josephson. En pla¸cant une jonc- tion dans un r´ esonateur, on peut rendre ce dernier non lin´ eaire et ainsi concevoir un circuit analogue ` a la cavit´ e optique non lin´ eaire [43]. Autour de la fr´ equence de r´ esonance, le sys- t` eme est caract´ eris´ e par un simple circuit LC [44] dont la fr´ equence ω

= 1/

(L + L

)C d´ epend de l’inductance totale du circuit. Parce que l’inductance Josephson s’accroˆıt de mani` ere non monotone avec le courant la traversant, celle-ci agit de mani` ere similaire ` a un cristal Kerr. De plus, rempla¸cant la jonction par un SQUID, la fr´ equence de r´ esonance de l’oscillateur est contrˆ olable sous l’application d’un champ magn´ etique externe dans la boucle [45].

Avec une non-lin´ earit´ e K bien inf´ erieure aux pertes radiatives, plusieurs ph´ enom` enes d’optique quantique dans le domaine micro-onde ont ´ et´ e d´ emontr´ es avec des r´ esona- teurs non lin´ eaires comme l’amplification de signaux micro-ondes [43], la bistabilit´ e et la bifurcation [46]. ` A cause de leur pertes internes quasi-inexistantes, ces r´ esonateurs non- lin´ eaires approchent mˆ eme la limite quantique d’amplification pour le niveau de bruit ajout´ e dans le signal amplifi´ e [47, 48].

Alors que ces exp´ eriences montrent que le r´ esonateur non lin´ eaire est un outil d’optique