Mod` ele Caldeira-Leggett de la dissipation dans les r´ eso- eso-nateurseso-nateurs

Pour rendre mon approche pleinement coh´erente avec la m´ecanique quantique, je m’attarde maintenant `a obtenir un mod`ele Caldeira-Leggett pour les pertes ohmiques, di´electriques et radiatives dans le r´esonateur. Dans le cadre du mod`ele d’amortissement proportionnel, cela ne revient alors qu’`a consid´erer l’effet de bains ind´ependants agissant sur l’ensemble des oscillateurs harmoniques repr´esentant le r´esonateur en pr´esence de capacit´es de couplage aux lignes externes.

Taux de relaxation r´esistif

Les pertes ohmiques ´etant caus´ees par les fluctuations de fluxφ_ν `a travers l’imp´edance Z[ω]en s´erie avec l’inductance de la ligne, le couplage flux-flux avec le bain prend alors la formeH<sub>m,R</sub> =<sup>P</sup><sub>ν</sub>g<sup>R</sup><sub>m,ν</sub>ψˆ<sub>m</sub>φˆ<sub>ν</sub> o`u l’op´erateur de flux du bain s’´ecritφˆ_ν =^q~/2C_νω_ν(b^†_ν+b_ν) et le param`etre de couplage r´esonateur-bain ohmique g_m,ν^R demeure inconnu.

Dans l’approximation s´eculaire n´egligeant les termes proportionnels `a a^†_mb^†_ν +a_mb_ν oscillant rapidement, l’hamiltonien d’interaction entre un mode m du r´esonateur et le bain ohmique s’´ecrit

H_m,R =^X

ν

~λ^R_m,νb^†_νa_m+b_νa^†_m. (2.93)

o`u les amplitudes de couplage λ^R_m,ν sont telles que λ^R_m,ν = g_m,ν^R

2

√ 1

C_ΣC_νω_mω_ν. (2.94)

Apr`es ´elimination des degr´es de libert´e du bain et suivant l’approche pr´esent´ee `a l’An-nexe A, j’obtiens de nouveaux dissipateurs dans l’´equation maˆıtresse du r´esonateur de la forme κ^R_m(ω_m)D[am]ρ+κ^R_m(−ωm)D[a^†_m]ρ, o`u le taux de relaxation r´esistif κ^R_m est de la

forme de l’´Eq. (2.54). En particulier, si on d´efinitg_m,ν^R ≡^qC_Σω_mω_ν/L⁰, on trouve que le taux de relaxation r´esistif s’´ecrit simplement

κ^R_m(ω) = <{Z[ω]}

L⁰ , (2.95)

soit de la mˆeme forme que le r´esultat d´eriv´e des ´equations de Kirchoff `a l’´Eq. (2.91). En associant la partie r´eelle de l’imp´edance `a la r´esistance de surface <{Z[ω]} = FR⁰_s(ω), l’´Eq. (2.95) d´ecrit le taux de relaxation r´esistif d’un mode du r´esonateur coplanaire.

Taux de relaxation di´electrique

Les pertes di´electriques sont provoqu´ees par les fluctuations de la charge qˆ_ν `a tra-vers l’admittance Y[ω] de sorte que le couplage avec le bain est donn´e par H_m,D =

P

νg_m,ν^D ψˆ_mqˆ_ν. Ce couplage charge-flux est analogue `a un amortissement proportionnel `a la vitesse dans un syst`eme m´ecanique. Encore ici, le param`etre de couplageg_m,ν^D est `a d´ e-terminer. D`es lors, l’hamiltonien d’interaction r´esonateur-bain di´electrique s’´ecrit (apr`es l’approximation s´eculaire)

H_m,D =^X

ν

~λ^D_m,νb^†_νa_m+b_νa^†_m, (2.96)

avec une amplitude de couplage de la forme λ^D_m,ν = g_m,ν^D

2

sC_νω_ν

C_Σω_m. (2.97)

Suivant la mˆeme d´emarche que pr´ec´edemment, des dissipateurs similaires sont obtenus avec un taux de relaxation di´electrique qui se simplifie `a

κ^D_m(ω) = <{Y[ω]}

C⁰ , (2.98)

soit le r´esultat escompt´e de l’´Eq. (2.92), si au pr´ealable on a d´efini le couplage g^D_m,ν ≡

q

C_Σω_mω_ν/C⁰. Ainsi, le taux de relaxation di´electrique d’un mode du r´esonateur est obtenu en choisissant <{Y[ω]}=C⁰ωtan [δ].

On peut gagner beaucoup plus d’intuition sur la formulation des couplages aux bains en utilisant les propri´et´es des modes propres du r´esonateur. En effet, on sait que la valeur RMS du potentiel et du courant sont respectivement donn´es par V_m^RMS(x) =

§2.5. Dissipation dans les r´esonateurs supraconducteurs 51

q

~ω_m/(2C_Σ)|u_m(x)| et I_m^RMS(x) = ^q~/(2C_Σω_m)|∂_xu_m(x)/L⁰(x)|. En utilisant les pro-duits scalaires aux ´Eqs. (2.76) et (2.77) et le fait que le mod`ele d’amortissement soit proportionnel `a C⁰ et L⁰, on peut d´emontrer que les puissances dissip´ees par unit´e de temps, ~κ^R(D)_m ω_m, s’´ecrivent tel qu’attendu dans un circuit ´electrique. Comme Z[ω, x]et Y[ω, x]peuvent en g´en´eral va-rier selonxde sorte `a respecter le mod`ele d’amortissement proportionnel, les fluctuations de charge et de flux sont donc fonctions de la position.

Pour ˆetre rigoureux, le mod`ele de Caldeira-Leggett pour des pertes intrins`eques doit

´

egalement tenir compte du changement de la vitesse de phase dans le milieu donn´e par κ^D_mκ^R_m. Pour ce faire, un terme suppl´ementaire de la forme

doit ˆetre ajout´e dans l’hamiltonien pour renormaliser l’´energie potentielle du syst`eme. `A l’aide des d´efinitions d’admittance et d’imp´edance g´en´eralis´ees, le d´ecalage en fr´equence tel que pr´evu dans le mod`ele classique suivant ω⁰²_m =ω_m² −κ^R_mκ^D_m, est obtenu.

Taux de relaxation radiatif

En couplant des lignes `a transmission externes d’imp´edance Z(ω) au r´esonateur, les photons contenus dans ce dernier pourront alors s’´echapper dans le continuum. Le la-grangien total du circuit donn´e par l’´Eq. (2.80), dans la base des modes propres{m} du r´esonateur l’hamiltonien total dans la repr´esentation Caldeira-Leggett des imp´edances d’entr´ees et de sortie s’´ecrira

Hˆ =^X

L’ensemble des oscillateurs harmoniques Hˆ_m est coupl´e aux bains Hˆ_α (avec α=e,s) par un terme interaction charge-charge :

Hˆ_α,m =^X

ν

C_αu_m(x_α)

C_ΣC_ν qˆ_νqˆ_m. (2.103)

Dans l’approximation s´eculaire, l’interaction Hˆ_α,m prend la forme de l’´Eq. (2.49) avec comme amplitude de couplage

~λ^(α)_m,ν = C_α 2

sω_mω_ν C_Σ

q

ω_νZ^(α)_ν u_m(x_α) (2.104)

avec Z^(α)_ν = ^qL_ν/C_ν est l’imp´edance caract´eristique de l’oscillateur de fr´equence ω_ν = 1/√

L_νC_ν du bainα. Le taux de relaxation d’un photon du modemdu r´esonateur provient de la contribution des deux bains, κ^ext_m = ^P_ακ^α_m(ω_m). `A partir de l’´Eq. (2.54) pour le taux de relaxation et de la forme du couplageλ_m,ν de l’´Eq. (2.104), on trouve que le taux de relaxation radiatif au port α s’exprime selon

κ^α_m(ω) = C²_αu²_m(x_α)ω_m

2~C_Σ S_V^(α)_ˆVˆ(ω). (2.105)

Proportionnel `a la densit´e spectrale de bruit du potentiel SVˆVˆ(ω), le taux d´epend de mani`ere quadratique de la capacit´e de couplage et de l’amplitude du champ `a l’extr´emit´e.

Comme j’ai montr´e `a la section §2.4.2, l’amplitude um(xα) est fix´ee par des condi-tions aux fronti`eres qui d´ependent du ratio de l’imp´edance de la capacit´e `a la sortie et de l’imp´edance caract´eristique de la ligne, Z<sub>Ce</sub>(ω<sub>m</sub>)/Z<sup>0</sup>. On s’attend alors `a ce que le comportement du taux de relaxation refl`ete le caract`ere de filtre passe-haut des capacit´es.

Dans la situation o`u C_e=C_s, pour les modes de basse fr´equence avec|Z_Ce(ω_m)| Z⁰,

|u_m(x_α)| ≈√

2, le taux de relaxation total dans la limite quantique prend la forme κ^ext_m = 4C_e

C_Σω²_m<{Z[ω_m]}. (Limite basse fr´equence) (2.106) Dans l’approximation ohmique des bains o`u<{Z[ω]}=R, le taux a une d´ependance qua-dratique de la fr´equence du mode et il s’agit du r´esultat standard en utilisant l’approche classique des imp´edances de circuits [34].

Dans la limite des hautes fr´equences, le comportement deκ^ext_m est tout autre puisque les capacit´es de couplage ne se trouvent plus `a isoler le r´esonateur du bruit `a hautes

§2.5. Dissipation dans les r´esonateurs supraconducteurs 53 fr´equences. Lorsque|Z_Ce(ω_m)| Z⁰, j’ai d´emontr´e `a la pr´ec´edente section que l’amplitude suit |u_m(x_α)| ≈√

2Z_Ce(ω_m)/Z⁰ et le taux de relaxation total est alors donn´e par κ^ext_m ≈ 4

R(ω_m)C_Σ, (Limite haute fr´equence) (2.107)

ce qui correspond au taux de d´echarge d’une capacit´e CΣ/2connect´e `a deux r´esistances effectives R(ω) = Z<sup>02</sup>/<{Z[ω]} plac´ees en parall`ele. Ind´ependant des capacit´es de couplages et du mode du r´esonateur, le taux de relaxation `a haute fr´equence devient constant si <{Z[ω]}=R. Finalement, on note que les lignes `a transmission ne procurent aucun d´ecalage de fr´equence ∆_m des modes du r´esonateur suivant l’´Eq. (2.53) si elles sont consid´er´ees comme des bains ohmiques avec ={Z[ω]}= 0.

On en conclut donc que la d´ependance enω²_mdu taux de relaxation radiatif n’est bonne que pour les premiers modes du r´esonateur puisque le taux se trouve ´eventuellement `a saturer aux hautes fr´equences. Comme on le verra au prochain chapitre, ce comportement est d’une grande importance dans le calcul du taux d’´emission spontan´ee d’un qubit supraconducteur situ´e dans un r´esonateur.

2.5.4 R´ esultats

Ayant mod´elis´e le r´esonateur et ses sources de bruits, on est ainsi en mesure de mieux comprendre l’influence des sources de pertes sur les qualit´es de propagation de signaux et de stockage de photons d’un r´esonateur coplanaire supraconducteur.

A cette fin, je fais une analyse quantitative des diff´` erents processus de pertes en fonction de la fr´equence des modes d’un r´esonateur supraconducteur homog`ene typique des exp´eriences en ´electrodynamique quantique en circuit. Ayant les dimensions {t=

200 nm, S= 5 µm, S+2W= 15 µm}, la ligne `a transmission supraconductrice poss`ede une imp´edance caract´eristique de Z⁰ = 50 Ω ainsi qu’une capacit´e et une inductance par unit´e de longueur de C⁰ = 0.151 nF/m et L⁰ = 0.378 µH/m respectivement. Long de 2` = 1.23cm, le r´esonateur `a une capacit´e de couplage `a l’entr´ee C<sub>e</sub> = 1.5 fF beaucoup plus petite que celle `a la sortie C_s = 60fF. Le r´esonateur a son premier mode `a la fr´equence ω₁/2π = 5.21GHz et est essentiellement harmonique avec ω_m ≈ mω₁. Finalement, on prend une tangente de perte conservatricetan [δ] = 10⁻⁵ et une r´esistivit´e du m´etal dans l’´etat normal de ρ_N ∼ 2× 10⁻⁹ Ωm [34] ou de ρ_N ∼ 4×10⁻⁸ Ωm [73] selon que le r´esonateur est fait d’aluminium ou de niobium.

0 200 400 600 800 1000 10⁴

Al Nb

0 200 400 600 800 1000

10⁴ 10⁶

10² 10⁰ 10^-2

10² 10⁰

a) b)

Al Nb

Figure 2.7: Taux de relaxation dans un r´esonateur supraconducteur. Taux de re-laxation κ_m en a), et facteurs de qualit´e Q_m =κ_m/ω_m en b), en fonction de la fr´equence du mode du r´esonateur ωm pour les m´ecanismes de pertes : radiatives `a l’entr´ee (κ<sup>e</sup><sub>m</sub>, Q<sup>e</sup><sub>m</sub>) et `a la sortie (κ^s_m,Q^s_m), di´electriques (κ^D_m, Q^D_m) et r´esistives (κ^R_m, Q^R_m). Les param`etres du r´esonateur sont donn´es dans le texte. Dans les hautes fr´equences le taux de relaxation radiatif tend vers la limite de l’ ´Eq. (2.107) de2/RCΣ. Les pertes r´esistives n’apparaissent que lorsqueω >2∆/~, soit `a∼90 GHz pour l’aluminium, ou `a∼660GHz pour le niobium. Mˆeme pour des fr´equences bien au-del`a du gap supraconducteur, le r´esonateur conserve un facteur de qualit´e Q1/2et demeure un bon guide d’onde malgr´e les fortes pertes.

Avec ces param`etres, on obtient les taux de relaxations radiatif (κ<sup>e(s)</sup><sub>m</sub> ), ohmique (κ<sup>R</sup><sub>m</sub>) et di´electrique (κ<sup>D</sup><sub>m</sub>) en fonction de la fr´equence des modes du r´esonateur, taux qui sont repr´esent´es `a la Fig. 2.7. On constate alors qu’´etant donn´e la tr`es faible tangente de perte, les pertes di´electriques demeurent faibles en comparaison avec des pertes radiatives.

Elles ne se trouvent `a dominer la relaxation que pour les premiers modes et lorsque le r´esonateur est tr`es faiblement coupl´e aux ports d’entr´ee/sortie. C’est dans cette situation que le temps de d´ecoh´erence des photons dans le r´esonateur est maximal et peut atteindre 1/κ∼5µs.

Ayant initialement un comportement suivant ω_m², les pertes radiatives tendent et saturent vers la limite haute fr´equence `a l’´Eq. (2.107) rapidement lorsque la capacit´e de couplage devient importante. Cette limite haute fr´equence est du mˆeme ordre que les pertes ohmiques au-del`a du gap supraconducteur du m´etal, et comparable aussi `a la s´eparation en fr´equence des modes du r´esonateur (ω<sub>m+1</sub> −ω<sub>m</sub>)/2π ≈ 5 GHz. `A partir de ce moment, les fr´equences de r´esonance du r´esonateur sont mal d´efinies et on peut

`

a toutes fins pratiques consid´erer le r´esonateur comme une simple ligne `a transmission bruyante dans ce r´egime. En regard aux facteurs de qualit´e de la Fig. 2.7b), on en conclut que le r´esonateur reste un bon milieu de propagation pour les ondes ´electromagn´etiques mˆeme `a tr`es hautes fr´equences malgr´e les fortes pertes ohmiques puisque les facteurs de